常微分方程 课件线性微分方程组的一般理论

第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/BasicTheoremsofLinearODEs/

§5.1.2线性微分方程组的一般理论§5.2常系数线性微分方程组

§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

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掌握线性齐次微分方程组的解的性质及代数结构。

掌握线性非齐次微分方程组的解的代数结构，理解常数变易法的基本思想。(1)则(1)称为非齐次线性的。如果(2)若为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。则方程(2）称为齐次线性的。如果一、齐线性微分方程组的通解结构定理1如果u(t)和

v(t)是(2)的解，也是(2)的解。则它们的线性组合(2)证明：1、叠加原理推广：如果是(2)的解，则也是(2)的解。可验证是方程组的解，则也是方程组的解。2、向量函数组的Wronskian行列式为这些向量函数的伏朗斯基行列式。称由这n个向量函数构成的行列式，设有n个定义在区间上的向量函数3、Liouville公式定理2构成的伏朗斯基行列式满足设是方程组(2)在上的解，则注：由Liouville公式知，方程（2）的n个解的Wronskian行列式

W(t)在其定义区间[a,b]上要么恒为0，要么恒不为0.4、向量函数组的线性相关与线性无关成立；否则，为线性无关的。定义1：定义在区间上的向量函数是线性相关的，如果存在不全为零的常数使得等式例：线性无关。在任何区间上线性无关。在R内线性相关。5、方程组的解与W(t)之间的关系则它们的伏朗斯基行列式如果向量函数定理3在区间上线性相关，由假设，存在不全为零的常数使得证明:

其系数行列式恰是证毕.Wronskian行列式定理4如果(2)的解线性无关，则它们的设存在一个使得考虑下面的齐次线性代数方程组：(3)证明：用反证法。由于它的系数行列式，所以(3)有非零解以这个非零解作向量函数(4)易知x(t)是(2)的解，且满足初始条件的解。而在上恒等于零的向量函数0也是(2)的满足初始条件因为不全为零，这就与线性无关矛盾。定理得证。由解的唯一性知即结论：或者恒等于零，或者恒不等于零。由(2)的解作成的伏朗斯基行列式W(t)定理5齐次线性方程组(2)一定存在n

个线性无关的解。线性无关定理得证。6、齐次线性方程组的通解结构定理则方程组(2)的任一解x(t)均可表示为定理6是方程组(2)的n个线性无关的解，如果这里是任意常数。6、齐次线性方程组的通解结构定理推论1方程组(2)线性无关解的最大个数等于n

。基本解组：方程组(2)的n个线性无关解。解矩阵：由方程组(2)的n个解的列构成的矩阵。由方程组(2)的n个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：标准基矩阵：7、通解结构的向量表示（1）基本解组与基解矩阵注1：方程组(2)的基本解组有无穷多个。注2：若

方程组(2)的一个基本解组，则基解矩阵且定理1*方程组(2)一定存在基解矩阵；若是方程组(2)任一解，则且如果对某一个定理2*一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是即例1

验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。解:表示的第二列.表示的第一列，令又因为是基解矩阵。，所以这表示是方程组的解，因此是解矩阵。推论1如果常数矩阵，则是方程组(2)在区间上的基解矩阵，C是

非奇异也是(2)在区间上的基解矩阵。推论3如果在区间上是某方程组的基解矩阵，则这个方程组为如果在区间上是方程组(2)的两个基解矩阵，则存在一个非奇异常数矩阵C,使得在区间上有推论2例2已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。解:所求方程组为二、非齐线性微分方程组的通解结构(1)是(1)的解。(2)的解，则性质1是方程组(1)的解，

如果是对应齐次方程组1、解的性质性质2是非齐次方程组(1)的任意两个解，是(1)对应齐次线性方程组(2)的解。如果则(2)定理7设是齐次线性方程组(2)的基解矩阵，这里c是任意的常数列向量。都可以是非齐次线性方程组(1)的某一解，则方程组(1)的任一解表示为:2、通解的结构定理3、常数变易法定理8(4)是齐次线性方程组(2)的一个基解矩阵，则如果是(1)的解，且满足初始条