常微分方程 课件高阶方程的降阶法和幂级数解法

第四章高阶微分方程High-OrderODEs第四章高阶微分方程第1节线性微分方程的一般理论

/GeneralTheoryofHigher-OrderLinearODE/第2节常系数线性微分方程的解法/SolvingMethodofConstantCoefficientsLinearODE/

第3节高阶微分方程的降阶和幂级数解法/Step-downOrderMethodandSeriesMethod/

本节内容/Contents/：1.可降阶高阶方程2.幂级数解法（求特解）内容回顾1、n阶齐次线性微分方程2、n阶非齐次线性微分方程方程类型及通解的结构:基本解组常数变易法特解+比较系数法求解方法：Euler待定指数函数法1、n阶常系数齐次线性微分方程：2、n阶常系数齐次线性微分方程：发射人造卫星的最小速度称为第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕太阳运动，称为人造卫星。那么，如何计算第二宇宙速度呢？【第二宇宙速度的计算】实际问题：由万有引力定律，需求解微分模型【分析】其中r(t)表示地球的重心与物体重心之间的距离，为地球半径，为物体发射速度，

为地球质量.类型I不显含未知函数及的方程此时，方程可降为阶的方程，即可降阶.

一、可降阶的方程的类型n

阶方程的一般形式方法：令，则的通解若可求得上方程逐次积分次，可得原方程的通解.n阶微分方程n-k阶微分方程特别地，则两边积分，可得原方程的通解若解得一阶微分方程的通解为即（不显含x）二阶微分方程一阶微分方程解：令，则原方程化为例1求方程的通解.解之得即逐次积分，得例2求方程的通解.类型II不显含自变量t的n阶微分方程n阶微分方程n-1阶微分方程视x为自变量二阶微分方程一阶微分方程分离变量，可得原方程的解。（不显含t）分离变量，可得原方程的解。方法：令，则将代入原方程得假定，则，分离变量，可得原方程的解。，解得即有例3求解方程或解：令，则，从而原方程化为解得故所求解为或①②发射人造卫星的最小速度称为第二宇宙速度。在这个速度下，物体将摆脱地球的引力，像地球一样绕太阳运动，称为人造卫星。那么，如何计算第二宇宙速度呢？【第二宇宙速度的计算】设r(t)表示地球的重心与物体重心之间的距离，则由万有引力定律，有【解】其中为地球半径，为物体发射速度，

为地球质量.（不显含自变量t）齐次线性方程。已知方程(4.2)的k个线性无关的特解，则(4.2)可降低k

阶，即可到n-k阶结论1：本解组可以求得。特别地，如果已知(4.2)的n-1个线性无关的解，则(4.2)的基类型IIIn阶齐次线性微分方程(变系数)特殊情形：二阶变系数齐次线性方程结论2：对于二阶齐次线性方程，若知其一非零解，则可求得通解：解：令代入原方程，得，或，则结论2：对于二阶齐次线性方程，若知其一非零解，则可求得通解：例4、已知是方程的解，试求方程的通解。解：由于，故由结论2知所求通解为二、二阶线性方程的幂级数解法（求特解）解：由于，则，从而例5、的解。求方程的满足初始条件设方程有形如幂级数的解：即代入原方程，得比较系数，得比较系数，得于是注：直接求解，有二阶线性微分方程的幂级数解法:考虑带初始条件的二阶齐次线性微分方程注：若初始时刻，则可引入新变量，方程的类型不变，但初始时刻对应于.定理1若方程(1)中的系数能展开成收敛区间为的幂级数，则初值问题(1)有形如幂级数的特解.定理2若方程(1)中的系数能展开成收敛区间为的幂级数，则初值问题(1)有形如幂级数的特解，其中为待定常数。例6的解。求方程

的满足初始条件对比解：

比较1次项系数，得比较n(n)次项系数，得例7

求初值问题，.

设，则