北京航空航天大学 数值分析期末试卷（含详细答案）

北京航空航天大学数值分析期末试卷（含详细答案）课程名称：数值分析适用专业：工科、理科相关专业考试时长：120分钟满分：100分考试说明：闭卷考试，禁止携带电子设备，可使用简易计算器一、填空题（每空3分，共18分）1.近似数\(x^*=0.0568\)是四舍五入得到的，其有效数字位数为______，绝对误差限为______。2.牛顿插值多项式的优点是______，无需重新计算低阶插值基函数。3.解线性方程组的高斯消去法中，选主元的核心目的是______。4.梯形求积公式的代数精度为______，辛普森求积公式的代数精度为______。5.欧拉法求解常微分方程初值问题的局部截断误差阶为______。二、简答题（每题8分，共24分）1.简述数值计算中舍入误差与截断误差的区别，并各举一例说明。2.简述雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代的核心区别，并给出迭代收敛的一个充分条件。3.简述三次样条插值的定义及核心性质，说明其相比一般三次插值多项式的优势。三、计算题（共58分）1.（12分）误差分析计算已知真值\(x=\sqrt{2}\approx1.41421356\)，近似数\(x^*=1.4142\)，计算该近似数的绝对误差、相对误差，并判断有效数字位数。2.（14分）插值多项式构造已知函数插值节点：\(f(0)=2,\f(1)=3,\f(2)=6\)，利用牛顿插值法构造二次插值多项式\(N_2(x)\)，并计算\(f(1.5)\)的近似值。3.（16分）线性方程组数值求解用高斯列主元消去法求解线性方程组：x4.（16分）数值积分计算分别用梯形公式、辛普森公式计算定积分0111+详细参考答案及解析一、填空题答案（每空3分，共18分）1.3位；\(0.5\times10^{-4}\)解析：四舍五入得到的0.0568，首位非零数字为5，共3位有效数字；绝对误差限为末位的半个单位，即\(0.5\times10^{-4}\)。2.可逐次增加节点，递推计算高阶插值多项式3.避免主元过小导致舍入误差放大，防止除数为零造成计算失效4.1；35.\(O(h^2)\)二、简答题答案（每题8分，共24分）1.舍入误差与截断误差区别（1）截断误差：将无限计算过程有限化产生的误差，是对数学模型的近似取舍产生的误差。（3分）例：将泰勒级数展开式截取有限项近似函数，舍弃高阶无穷小项产生的误差。（1分）（2）舍入误差：计算机存储数字位数有限，对超长数字四舍五入产生的误差，是数值存储与运算的固有误差。（3分）例：用有限位小数近似无理数、无限循环小数产生的误差。（1分）2.雅可比迭代与高斯-赛德尔迭代区别及收敛条件核心区别：雅可比迭代计算第\(k+1\)次迭代值时，全部使用第\(k\)次旧迭代值；高斯-赛德尔迭代实时使用已更新的第\(k+1\)次新迭代值计算后续分量，收敛速度更快。（5分）充分条件：若方程组系数矩阵严格对角占优，则两种迭代方法均收敛。（3分）3.三次样条插值定义、性质及优势定义：对区间\([a,b]\)上的划分节点，分段构造三次多项式，拼接形成的整体插值函数即为三次样条插值。（2分）核心性质：插值函数在整个区间上二阶连续可导，满足节点函数值连续、一阶导数连续、二阶导数连续。（3分）优势：普通分段三次插值仅保证函数连续、一阶导数连续，曲线光滑性差；三次样条插值曲线光滑度更高，拟合效果更贴合原函数，有效避免龙格现象。（3分）三、计算题详细解析（共58分）1.（12分）误差分析计算解：绝对误差：e(x相对误差：er有效数字：近似数\(x^*=1.4142\)从首位非零数字开始共5位有效数字。（4分）2.（14分）牛顿二次插值多项式构造解：构造差商表一阶差商：f[x0二阶差商：f[x牛顿二次插值多项式：N2代入\(x=1.5\)，得f(1.5)≈1.53.（16分）高斯列主元消去法求解方程组解：写出增广矩阵A第一步选第一列主元，最大元素为3（第三行），交换1、3行：A=消去第一列下方元素：rA=第二步选第二列主元，无需换行，消去第二列下方元素：r化简得上三角矩阵：A=回代求解：\(x_3=2,\x_2=2,\x_1=2\)方程组解为：x14.（16分）数值积分计算解：积分区间\([0,1]\)，\(a=0,b=1\)，\(f(x)=\frac{1}{1+x^2}\)（1）梯形公式：T=T=1（2）辛普森公式：S=中点\(x=0.5\)，\(f(0.5)=\frac{4}{5}=0.8\)S=1（3）误差分析：精确值\(\approx0.7854\)梯形公式误差：