北京航空航天大学《数理统计学》期末试卷（A卷）

北京航空航天大学《数理统计学》期末试卷（A卷）课程名称：数理统计学适用专业：工科、经管类本科相关专业考试时长：120分钟满分：100分答题要求：闭卷考试，禁止携带任何参考资料及电子设备，解题步骤需完整清晰，结果保留合理精度一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）每题仅有一个正确答案，将正确答案序号填写在题干括号内1.下列随机变量分布中，属于离散型概率分布的是（）A.正态分布B.指数分布C.二项分布D.均匀分布2.设总体X∼P(λ)（泊松分布），X1,XA.λB.λ/nC.nλ3.以下统计量中，不属于描述数据离散程度的是（）A.极差B.样本方差C.中位数D.标准差4.假设检验中，第二类错误（取伪错误）指的是（）A.原假设为真，拒绝原假设B.原假设为假，接受原假设C.备择假设为真，拒绝备择假设D.备择假设为假，接受备择假设5.一元线性回归模型中，决定系数R2A.R2>0，反映残差波动大小B.C.R2≥1，反映模型拟合误差D.6.正态总体、方差未知时，对总体均值进行区间估计，应采用的统计量为（）A.Z统计量B.t统计量C.χ27.简单随机抽样的核心特点是（）A.总体中每个个体被抽取的概率均等且相互独立B.按分层比例抽取样本C.按区域批量抽取样本D.优先抽取典型个体8.极大似然估计的基本思想是（）A.使样本矩等于总体矩B.使当前样本出现的概率最大C.最小化模型残差平方和D.最大化样本方差二、判断题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）正确打√，错误打×，无需改错1.样本标准差s是总体标准差σ的无偏估计量。（）2.两个相互独立的泊松分布随机变量之和，仍服从泊松分布。（）3.矩估计量一定具有唯一性。（）4.置信水平越高，对应的总体参数置信区间宽度越窄。（）5.相关系数为0时，两个随机变量一定相互独立。（）6.方差分析的核心目的是检验多组总体均值是否存在显著差异。（）三、简答题（本大题共3小题，每小题6分，共18分）1.简述简单随机样本需满足的两个核心条件，并说明统计量的定义。2.分别解释假设检验中显著性水平α、检验功效1−β的统计学含义。3.对比说明点估计与区间估计的优缺点及适用场景。四、计算题（本大题共3小题，第1题10分，第2题12分，第3题14分，共36分）1.设总体X服从参数为λ的指数分布，概率密度函数为：f(x;λ)=λe−λx取简单随机样本X1,X2.某车间生产的零件尺寸服从正态分布X∼N(μ,σ2)，现随机抽取16个零件，测得样本均值x=20.2mm，样本标准差s=0.4mm。试在置信水平95%下，求总体均值3.某高校统计学生期末成绩，随机抽取20名学生的单科成绩，样本均值x=78，样本方差s2=36。校方认为该科目总体平均成绩不低于80分，试在显著性水平α=0.05五、综合分析题（本大题1小题，10分）已知一组观测数据满足一元线性回归模型yi=β0+β1参考答案及评分标准一、单项选择题（每题3分，共24分）1.C2.B3.C4.B5.B6.B7.A8.B二、判断题（每题2分，共12分）1.×2.√3.×4.×5.×6.√三、简答题（每题6分，共18分）1.答：简单随机样本需满足：（1）独立性：样本个体之间相互独立；（2）同分布：每个样本个体与总体服从相同的概率分布。（4分）统计量是不含任何未知参数，仅由样本观测值构成的函数，用于推断总体特征。（2分）2.答：显著性水平α：原假设H0为真时，拒绝原假设的最大概率，即第一类错误的概率，是假设检验的判定标准。（3分）检验功效1−β：原假设H3.答：点估计：优点为计算简便、结果直观明确；缺点为无法反映估计误差与可靠性，精度未知。（3分）区间估计：优点为可给出估计的误差范围与置信水平，可靠性清晰；缺点为结果为区间范围，精度略低于点估计。点估计适用于快速粗略推断总体参数，区间估计适用于需要精准、可靠的统计推断场景。（3分）四、计算题（共36分）1.（10分）解：构造似然函数：L(λ)=i=1取对数：ln⁡L(λ)=n对λ求导并令导数为0：dln解得极大似然估计量：λ^2.（12分）解：总体正态、方差未知，采用t区间估计，置信区间公式：X±代入已知条件：x=20.2，s=0.4，n=16，边际误差：E=2.131×0.4置信区间：(20.2−0.2131,20.2+0.2131)=(19.9869,20.4131)（3分）3.（14分）解：完整假设检验步骤：（1）建立假设：H0:μ≥80（校方观点），（2）选择检验统计量：方差未知，采用t统计量t=X（3）代入数据：xt=78−80（4）确定拒绝域：α=0.05，临界值−t0.05(19)=−1.7291（5）结论：检验统计量t≈−1.4907>−1.7291，未落入拒绝域，接