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第7课时与最值有关的几何问题（一）

2.（2025∙巴蜀）在Rt△ABC中，∠BAC=90°，以BC为腰作等腰Rt△EBC，线段EC与AB相交于点F.（1）如图1，若∠ABC=30°，AC=2，求EF的长度；

（2）如图2，点D为平面内一点且在BC下方，∠CBD=∠ACF，且CD⊥CE，连接FD，求证：EF=CD＋DF；（2）证明：如答案图2，在EF上取点Q，使得EQ=CD，连接BQ.∵△EBC为等腰直角三角形，∴BE=BC，∠E=∠BCE=45°.∵CD⊥CE，∴∠DCE=90°，∴∠BCD=45°=∠E，∴△BEQ≌△BCD（SAS），∴BQ=BD，∠EBQ=∠CBD，∴∠QBD=∠EBC=90°.∵∠A=90°，∴∠ABC＋∠ACB=90°，∴∠ABC＋∠ACF=45°.又∵∠ACF=∠CBD，∴∠ABC＋∠CBD=45°，即∠ABD=45°，∴∠ABQ=45°=∠ABD.又∵BF=BF，∴△BQF≌△BDF（SAS），∴QF=DF.∵EF=EQ＋QF，∴EF=CD＋DF.

（3）解：如答案图3，取BC中点K，连接AK，HK，AM，HM.∵∠ABC=30°，AC=2，∠BAC=90°，点K是BC的中点，∴∠

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