常微分方程 课件 第五章 线性微分方程组

第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/Existence&UniquenessTheoremsofLinearODEs/

§5.1.2线性微分方程组的一般理论§5.2常系数线性微分方程组

*§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

本章目录/Contents/

掌握高阶线性微分方程与线性微分方程组的关系。

理解线性微分方程组解的存在唯一性定理。

熟练掌握解的逐次逼近序列的构造方法。本节要求/Requirements/一、记号与定义/SymbolsandDefinitions/1、一阶微分方程组的一般形式：初始条件：向量形式：，其中注：方程组有类似前面定义的线性与非线性性、解与隐式解、通解与特解

等概念.2、驻定与非驻定方程组若方程组的右端不显含自变量，则称之为驻定（自治）的方程组，即若方程组的右端显含自变量

，则称之为非驻定（非自治）的方程组，即说明：n维非驻定方程组可以转化为

维空间的驻定方程，引入新的时间变

量

，使得，则非驻定方程组可以转化为如下驻定方程组：定义1………(5.1)3、一阶线性微分方程组一般形式：向量形式：………(5.1)

(1)连续:连续。在区间(2)可微:可微。在区间(3)可积:可积。在区间4、矩阵函数与向量函数：上的矩阵函数与向量函数，即分别为定义在区间设及(4)求导法则:定义2设是区间上的连续矩阵，上的连续维是区间………….(5.1)在某区间的解就是向量函数.上连续且满足它在区间4、一阶线性微分方程组的解向量，则一阶微分方程组定义3初值问题(CauchyProblem)…………(5.2)的解就是方程组(5.1)在包含且满足初始条件5、初值问题的解例1

验证向量是初值问题在区间上的解。解：因此是给定初值问题的解。由于而又二、

阶线性微分方程与一阶线性微分方程组的等价令解：例2将二阶微分方程改写成等价的一阶微分方程组。则故该二阶方程等价的一阶微分方程组为：其向量形式为：令对于n阶线性微分方程：则n阶线性微分方程转化为如下微分方程组：写为向量形式：等价n阶线性微分方程一阶线性微分方程组互相构造解例3令将如下初值问题化为与之等价的一阶方程组的初值问题。解：则即也即例4将下列方程组化为高阶方程.解：注意：不是所有方程组都可化为高阶方程，如该方程组即为从而即三、存在唯一性定理初值问题(CauchyProblem)：………….(5.2)定理1且满足初始条件方程组(5.1)存在唯一解定义于整个区间上，f(t)是n

维列向量，它们都在上连续，则对于区间上的任何数任一常数向量如果矩阵，区间及现取，构造皮卡逐步逼近向量函数序列：向量函数称为(5.4)的第k次近似解。例4、求下列方程组的初值问题的第二次近似解。解：令线下作业：P.123第2(1),3题。线上作业：e会学。第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/BasicTheoremsofLinearODEs/

§5.1.2线性微分方程组的一般理论§5.2常系数线性微分方程组

§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

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掌握线性齐次微分方程组的解的性质及代数结构。

掌握线性非齐次微分方程组的解的代数结构，理解常数变易法的基本思想。(1)则(1)称为非齐次线性的。如果(2)若为常数矩阵，则称为常系数线性方程组。则方程(2）称为齐次线性的。如果一、齐线性微分方程组的通解结构定理1如果u(t)和

v(t)是(2)的解，也是(2)的解。则它们的线性组合(2)证明：1、叠加原理推广：如果是(2)的解，则也是(2)的解。可验证是方程组的解，则也是方程组的解。2、向量函数组的Wronskian行列式为这些向量函数的伏朗斯基行列式。称由这n个向量函数构成的行列式，设有n个定义在区间上的向量函数3、Liouville公式定理2构成的伏朗斯基行列式满足设是方程组(2)在上的解，则注：由Liouville公式知，方程（2）的n个解的Wronskian行列式

W(t)在其定义区间[a,b]上要么恒为0，要么恒不为0.4、向量函数组的线性相关与线性无关成立；否则，为线性无关的。定义1：定义在区间上的向量函数是线性相关的，如果存在不全为零的常数使得等式例：线性无关。在任何区间上线性无关。在R内线性相关。5、方程组的解与W(t)之间的关系则它们的伏朗斯基行列式如果向量函数定理3在区间上线性相关，由假设，存在不全为零的常数使得证明:

其系数行列式恰是证毕.Wronskian行列式定理4如果(2)的解线性无关，则它们的设存在一个使得考虑下面的齐次线性代数方程组：(3)证明：用反证法。由于它的系数行列式，所以(3)有非零解以这个非零解作向量函数(4)易知x(t)是(2)的解，且满足初始条件的解。而在上恒等于零的向量函数0也是(2)的满足初始条件因为不全为零，这就与线性无关矛盾。定理得证。由解的唯一性知即结论：或者恒等于零，或者恒不等于零。由(2)的解作成的伏朗斯基行列式W(t)定理5齐次线性方程组(2)一定存在n

个线性无关的解。线性无关定理得证。6、齐次线性方程组的通解结构定理则方程组(2)的任一解x(t)均可表示为定理6是方程组(2)的n个线性无关的解，如果这里是任意常数。6、齐次线性方程组的通解结构定理推论1方程组(2)线性无关解的最大个数等于n

。基本解组：方程组(2)的n个线性无关解。解矩阵：由方程组(2)的n个解的列构成的矩阵。由方程组(2)的n个线性无关解的列构成的矩阵。基解矩阵：标准基矩阵：7、通解结构的向量表示（1）基本解组与基解矩阵注1：方程组(2)的基本解组有无穷多个。注2：若

方程组(2)的一个基本解组，则基解矩阵且定理1*方程组(2)一定存在基解矩阵；若是方程组(2)任一解，则且如果对某一个定理2*一个解矩阵是基解矩阵的充要条件是即例1

验证是方程组的基解矩阵。首先证明是解矩阵。解:表示的第二列.表示的第一列，令又因为是基解矩阵。，所以这表示是方程组的解，因此是解矩阵。推论1如果常数矩阵，则是方程组(2)在区间上的基解矩阵，C是

非奇异也是(2)在区间上的基解矩阵。推论3如果在区间上是某方程组的基解矩阵，则这个方程组为如果在区间上是方程组(2)的两个基解矩阵，则存在一个非奇异常数矩阵C,使得在区间上有推论2例2已知一个一阶线性齐次方程组的基解矩阵为，求该方程组。解:所求方程组为二、非齐线性微分方程组的通解结构(1)是(1)的解。(2)的解，则性质1是方程组(1)的解，

如果是对应齐次方程组1、解的性质性质2是非齐次方程组(1)的任意两个解，是(1)对应齐次线性方程组(2)的解。如果则(2)定理7设是齐次线性方程组(2)的基解矩阵，这里c是任意的常数列向量。都可以是非齐次线性方程组(1)的某一解，则方程组(1)的任一解表示为:2、通解的结构定理3、常数变易法定理8(4)是齐次线性方程组(2)的一个基解矩阵，则如果是(1)的解，且满足初始条件2)非齐次线性方程组(1)满足初始条件的解是(3)从而(1)的通解1)向量函数例3试求下面初值问题的解解：P.124第11，12题作业：P.123第2(1),3，5题第五章线性微分方程组LinearOrdinaryDifferentialSystems§5.1.1线性微分方程组解的存在唯一性定理/Constant-coefficientLinearODEs/

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*§5.3Laplace变换§5.1线性微分方程组的一般理论

本章目录/Contents/1、常系数齐线性微分方程组的基解矩阵的结构，这里A是常数矩阵。2、通过代数的方法，寻求(1)的一个基解矩阵。(1)本节主要内容/MainContents/：一、矩阵指数expA的定义和性质1、无穷矩阵级数的定义如果每个收敛，则收敛。判断无穷矩阵级数收敛的法则：,而级数收敛，则收敛。同理，可给出在区间I上的一致收敛的定义，和函数等类似的结果。定义1

矩阵指数

其中E为n阶单位矩阵,是矩阵A的m次幂。，expA是一个确定的矩阵。证：对于一切正整数k，由于，而收敛，则收敛。(2)2、矩阵指数的定义注：由矩阵指数的定义知注：注：对于一切正整数k，当(c是某一正常数)时，有而数值级数是收敛的，(3)在

t

的任何有限区间上是一致收敛的。定义2

矩阵指数函数因而(5.2.3)在

t

的任何3、矩阵指数函数的定义有限区间上是一致收敛的。4、的性质性质1如果矩阵A，B是可交换的，即AB=BA，则.证：由于级数绝对收敛，故由绝对收敛级数的乘法定理，得另一方面，由二项式定理及AB=BA

，故。性质2

对于任何矩阵A，存在，且.事实上性质3

如果T是非奇异矩阵，则证

A与-A是可交换的，故在中,令B=-A

得定理9证明：由于故是方程组(5.33)的解矩阵，又因为因此,是方程组(5.33)的标准基解矩阵。证毕!(4)矩阵指数函数是方程组(1)：的标准基解矩阵。5、常系数齐次线性微分方程组的基解矩阵(其中未写出的元素均为零)例1

如果A是一个对角矩阵，试求出

的基解矩阵。解：方程组即为据定理9，该方程组的基解矩阵为例2

试求的基解矩阵。解：由于，易验证后面的两个矩阵是可交换的，故有因此，基解矩阵就是但是，故其中常数和非零向量c是待定的。因为，故(6)二、

基解矩阵的计算公式(1)(5)猜想：假设常系数线性微分方程组(1)有形如的解，反过来，和向量c

满足代数方程组(6)，则.逢解必代：将(5)代入(1),得和非零向量c

满足代数方程组(6)：矩阵A的特征方程：是A

的特征值，c

是A

的属于的特征向量。结论：是常系数齐次线性微分方程组(1)的非零解下面分情况来求方程组(1)的基解矩阵.例3

求解方程组.【解】先求系数矩阵A的特征值.，故.再求每个特征值对应的特征向量.最后写通解.是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。定理10如果矩阵

A具有n个线性无关的特征向量CaseI矩阵A有n个线性无关的特征向量特征值分别为(不必各不相同)，它们对应的那么是线性无关的,故【证明】由前面的分析知每一个向量函数都是方程组(1)所以是基解矩阵。的一个解,又【注1】它们对应的特征向量分别为那么是常系数线性微分方程组

的一个基解矩阵。推论（特殊情形）：如果矩阵

A具有n个互不相同的特征值，利用标准基解阵的表示标准基解阵一定为实矩阵。【注2】，可以将复的基解矩阵化为实的基解矩阵，因为【注3】若实系数线性方程组(1)：有复值解，则其实部与虚部都是（1）的解.例4

试求解方程组【解】S1求A

的特征值和对应的特征向量S2求基解矩阵S3写通解【解】例5

试求解S1求A

的特征值和特征向量从而对于任意常数,类似地，可以求出对应于的特征向量为，其中是对应于的特征向量，S2求实基解矩阵从而方程组有两个线性无关的解就是一个基解矩阵，于是进而S3写通解S1:计算特征值，特征向量；求实基解矩阵的步骤(利用定理10):S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例6

求方程组的通解.三个互异的特征根S1:计算特征值，特征向量；S2:求解基解矩阵/求标准基解矩阵（实）；S3:写出方程的通解。例7

求方程组的通解.有重特征值：重数=特征向量的个数即：特征子空间的维数=重数例8

求方程组的通解.有重特征值：重数≠特征向量的个数需要对特征子空间进行直和分解CaseII(一般情形)基解矩阵的计算公式：利用空间的直和分解假设A是一个矩阵，且有k个不同特征值，定理11它们的重数分别为，其中.则方程组(1):满足初始条件从而方程组的(标准)基解矩阵其中而其中而且是n维空间U的直和分解，即.(7)的解可表示为：这时对于任何u

都有(5.53)从而当A只有一个n重的特征根时，无需将特征向量进行分解.推论：【解】S1

求A

的特征值S2

代入公式，求初值问题的解例9

试求解，其中，.S3

求A

的标准基解矩阵【解】S1

求A

的特征值例10试求方程组的解，并求expAt.满足初始条件为了确定三维线性空间的子空间，我们需分别解方程组：S2

确定的分解子空间子空间解之得由此将分解为：，其中.S3

求满足初始条件的解为S4

求出expAt依次令为,得到三个线性无关的解.S5

求通解:x(t)=(expAt)c以这三个解作为列，得公式(5.52)的应用：定理11给定常系数齐次线性微分方程组(1)有：1）若A的特征值的实部都是负的，则(1)的任一解当时都趋于0；2）若A的特征值的实部都是非正的，且实部为0的特征值都是简单特征值，则(1)的任一解当时都保持有界；3）若A的特征值至少有一个具有正实部，则(1)至少有一个解当

时趋于无穷.

三、利用Hamilton-Cayley定理计算基解矩阵设A为n阶矩阵，其特征方程为(递推法)若为A的特征值，则Hamilton-Cayley定理：设是n阶矩阵A的特征多项式，则即：基解矩阵的计算：其中而