超几何分布在不放回抽样中的应用专题试卷及解析

超几何分布在不放回抽样中的应用专题试卷及解析本卷为围绕超几何分布（hypergeometricdistribution）与不放回抽样（samplingwithoutreplacement）编制的专题练习卷，共25题、满分100分，含完整解析与考点归纳。一、试卷说明项目说明试卷性质自编专题练习卷，不是CFA官方真题，也不属于官方题库题目；CFA协会不公开历年真题，市面所谓"某年真题"均为回忆或自编对应范围CFA一级数量方法（QuantitativeMethods）中的概率分布与抽样部分。2025年一级数量的主线为概率树与条件期望、组合数学（portfoliomathematics）、模拟方法、估计与推断、假设检验等；超几何分布属不放回抽样情境的补充工具，按"理解概念＋会算"掌握即可题型结构单项选择20题×3分＝60分；计算与分析5题×8分＝40分建议用时90分钟（选择题45分钟，计算题45分钟）计算约定概率保留4位小数，均值与方差保留4位小数，允许使用计算器的组合数功能二、考点速览项目内容适用情形有限总体N；其中K个为"成功"、N−K个为"失败"；不放回抽取n个；结果只分两类概率函数P(X＝k)＝C(K,k)×C(N−K,n−k)／C(N,n)取值范围max(0,n−(N−K))≤k≤min(n,K)均值E(X)＝n×K／N，记p＝K／N，则E(X)＝n·p方差Var(X)＝n·p·(1−p)×(N−n)／(N−1)有限总体修正因子(N−n)／(N−1)。n＝1时为1；n＝N时为0（全数抽取无不确定性）与二项的关系有放回抽样即二项分布；不放回时若N远大于n（经验上n／N不超过5%），超几何可用二项近似。二者均值相同，超几何方差更小关键结论不放回抽取使各次抽取不独立、成功概率逐次变化，这是超几何与二项最本质的区别三、第一部分单项选择（20题，每题3分，共60分）每题只有一个最符合题意的选项。1.超几何分布最核心的适用条件是：A.每次抽取相互独立，总体规模无限B.有限总体、不放回抽取，每次结果只有两类C.总体可数但每次抽取后放回，各次相互独立D.取值连续，分布呈钟形2.与二项分布相比，超几何分布最本质的差别在于：A.超几何分布的试验次数可以任意增加B.超几何分布要求每次抽取的成功概率保持不变C.不放回抽取使各次抽取不再独立，成功概率逐次变化D.超几何分布只能用于比率型数据3.当总体规模N远大于样本量n（n／N很小）时，超几何分布可近似为：A.泊松分布B.指数分布C.二项分布D.连续均匀分布4.N个元素中含K个"成功"，不放回抽取n个，成功个数X的取值范围是：A.0到nB.max(0,n−(N−K))到min(n,K)C.0到KD.0到N5.超几何分布概率公式的分母是：A.C(N,K)B.C(n,K)C.N的n次方D.C(N,n)6.公式分子中的C(N−K,n−k)表示：A.从K个"成功"中取k个的组合数B.从N−K个"失败"中取n−k个的组合数C.全部样本的组合数D.成功个数为k的概率7.设N＝25、K＝10、n＝6，则X的均值为：A.2.4B.2.0C.1.2D.0.48.当N＝40、n＝8时，有限总体修正因子(N−n)／(N−1)的值为：A.0.8000B.0.8788C.0.2000D.0.82059.在N、K、n相同且p＝K／N的前提下，超几何方差与二项方差的关系是：A.超几何方差更大B.两者恒相等C.超几何方差更小，因为乘了小于1的有限总体修正因子D.两者不可比较10.设N＝20、K＝8、n＝5，则P(X＝0)约为：A.0.0778B.0.0511C.0.3973D.0.003611.承上题（N＝20、K＝8、n＝5），P(X＝2)约为：A.0.3456B.0.2384C.0.2554D.0.397312.若把上题改为有放回抽取（每次成功概率p＝0.4，抽5次），则P(X＝2)约为：A.0.3456B.0.3973C.0.2592D.0.230413.审计场景：60笔凭证中有6笔存在差错，不放回抽取10笔，至少发现1笔差错的概率约为：A.0.3174B.0.9000C.1.0000D.0.682614.设N＝50、K＝10、n＝4，则P(X＝0)约为：A.0.3968B.0.6032C.0.4096D.0.800015.设N＝12、K＝4、n＝3，则P(X＝1)约为：A.0.2545B.0.5091C.0.2182D.0.333316.计算C(8,2)×C(12,3)／C(20,5)时，分母C(20,5)的值为：A.15504B.5005C.4845D.114017.当n＝1时，超几何分布与下列哪个分布等价：A.n＝1的二项分布（伯努利分布），P(X＝1)＝K／NB.参数λ＝K／N的泊松分布C.区间0到N上的均匀分布D.与任何常见分布都不等价18.10只股票中有3只银行股，不放回选4只，至少含2只银行股的概率约为：A.0.1667B.0.3000C.0.3333D.0.500019.设N＝1000、K＝100、n＝10，比较超几何P(X＝0)与二项近似值0.9的10次方（0.3487）：A.超几何值显著偏大B.超几何值显著偏小C.两者几乎一致（0.3469对0.3487），因为N远大于nD.二者不可比较20.关于方差公式n·p·(1−p)·(N−n)／(N−1)，下列表述正确的是：A.分母N−1应当改为NB.当n＝N时方差达到最大C.式中的p应取样本中成功个数的实际比例D.因子(N−n)／(N−1)体现不放回带来的信息增益，使方差小于有放回情形四、第二部分计算与分析（5题，每题8分，共40分）要求写出公式、代入过程与最终结果。21.某批次20件产品中有8件为次品，不放回抽取5件。求：（1）P(X＝0)；（2）P(X＝1)；（3）P(X≤1)；（4）X的均值与方差。22.某项目库15个项目中有5个为高风险项目，不放回抽取6个评审。求：（1）P(X＝2)；（2）P(X≥3)；（3）X的均值，并说明该均值在管理上的含义。23.审计抽样：60笔凭证中6笔存在差错，不放回抽取10笔。求：（1）至少发现1笔差错的概率；（2）X的均值、方差与标准差；（3）若误用不放回情形的二项方差n·p·(1−p)，结果会高估多少？24.某组合从10只股票（其中3只银行股）中不放回选取4只。求：（1）P(X≥2)；（2）X的均值、方差与标准差。25.设N＝40、n＝8，已知不放回抽取时X的均值为2。（1）求总体中"成功"个数K；（2）求X的方差与标准差；（3）验证此时有限总体修正因子为0.8205。五、答案速查题号12345678答案BCCBDBAD题号91011121314151617181920答案CBDADABAACCD选择题答案分布：A5题、B5题、C5题、D5题。六、逐题解析单项选择题解析1.B。超几何分布由四个条件确定：总体有限、不放回、总体分两类、抽取n个。A是二项/泊松的前提，C描述的是有放回抽样，D是正态分布特征。2.C。不放回时前一次抽走一个元素会改变剩余总体的构成，成功概率不再固定为p，各次抽取不独立，这正是超几何与二项的分界。3.C。当n／N很小时，每次抽取对总体构成的影响可忽略，各次近似独立，超几何趋近于二项；经验上n／N不超过5%时近似可用。4.B。下限来自"失败"只有N−K个，最多能抽到的失败数受限；上限受n与K共同约束。A、C只取了单边约束，D忽略了只能抽n个。5.D。分母是从N个中取n个的全部组合数C(N,n)，代表样本空间的等可能样本点总数。6.B。分子由两部分相乘：C(K,k)取成功，C(N−K,n−k)从失败中补齐剩余名额，二者相乘才是"恰好k个成功"的样本点数。7.A。E(X)＝n×K／N＝6×10／25＝2.4。B是把K／N误算为1/3，C、D属参数错位。8.D。(40−8)／(40−1)＝32／39＝0.8205。A是用n／N代替修正因子，B是算成32／36.4之类的错位，C取反了分子。9.C。超几何方差＝np(1−p)×(N−n)／(N−1)，因修正因子小于1，方差必然小于二项方差np(1−p)；均值则完全相同。10.B。P(X＝0)＝C(8,0)×C(12,5)／C(20,5)＝792／15504≈0.0511。A是二项分布p＝0.4、n＝5时0.6的5次方（0.0778），是典型干扰项。11.D。P(X＝2)＝C(8,2)×C(12,3)／C(20,5)＝28×220／15504＝6160／15504≈0.3973。12.A。有放回即二项：P(X＝2)＝C(5,2)×0.4²×0.6³＝10×0.16×0.216＝0.3456。与0.3973的差异正说明不放回会压缩分布、抬高中部的概率。13.D。P(X≥1)＝1−P(X＝0)＝1−C(6,0)×C(54,10)／C(60,10)＝1−0.3174＝0.6826。A是P(X＝0)，B是把期望值误当概率。14.A。P(X＝0)＝C(40,4)／C(50,4)≈0.3968。C的0.4096＝0.8的4次方，是用二项近似的值，N／n＝12.5尚未达到可完全近似的程度。15.B。P(X＝1)＝C(4,1)×C(8,2)／C(12,3)＝4×28／220＝112／220≈0.5091。16.A。C(20,5)＝15504；C(15,6)＝5005属另一组参数，C、D为常见误算值。17.A。n＝1时只有"抽到成功"与"抽到失败"两种结果，P(X＝1)＝K／N，与伯努利分布（即n＝1的二项分布）一致，说明超几何是二项在不放回情形下的推广。18.C。P(X≥2)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝0.3＋0.0333≈0.3333。B只是P(X＝2)，未加P(X＝3)。19.C。超几何0.3469，二项0.3487，相对差异不足1%，因1000远大于10，不放回的信息增益可忽略。20.D。修正因子小于1，说明"已抽走的部分"减少了剩余不确定性，方差下降；n＝N时因子为0，方差为0（全数抽取没有抽样误差），B恰好说反。计算题解析21.（N＝20，K＝8，n＝5）P(X＝0)＝C(8,0)×C(12,5)／C(20,5)＝792／15504≈0.0511。P(X＝1)＝C(8,1)×C(12,4)／C(20,5)＝8×495／15504＝3960／15504≈0.2554。P(X≤1)＝0.0511＋0.2554≈0.3065，即约七成的抽样会抽到2件及以上次品。p＝8／20＝0.4；E(X)＝5×0.4＝2；Var(X)＝5×0.4×0.6×(15／19)＝1.2×0.7895≈0.9474，标准差约0.9733。易错点：方差漏乘修正因子会得到1.2，正是二项值。22.（N＝15，K＝5，n＝6）P(X＝2)＝C(5,2)×C(10,4)／C(15,6)＝10×210／5005＝2100／5005≈0.4196。P(X≥3)＝1−[P(0)＋P(1)＋P(2)]＝1−(0.0420＋0.2517＋0.4196)≈0.2867。E(X)＝6×5／15＝2.0：平均每抽6个就有2个高风险项目，可用于设定评审资源的预期投入。23.（审计：N＝60，K＝6，n＝10）P(X＝0)＝C(54,10)／C(60,10)≈0.3174，故P(X≥1)＝1−0.3174≈0.6826。p＝6／60＝0.1；E(X)＝10×0.1＝1；Var(X)＝10×0.1×0.9×(50／59)＝0.9×0.8475≈0.7627，标准差约0.8733。若误用二项方差0.9，将高估0.9−0.7627≈0.1373（约18%），进而使抽样风险区间被夸大。24.（组合：N＝10，K＝3，n＝4）P(X＝2)＝C(3,2)×C(7,2)／C(10,4)＝3×21／210＝0.3；P(X＝3)＝C(3,3)×C(7,1)／210＝7／210≈0.0333；故P(X≥2)≈0.3333。p＝0.3；E(X)＝4×0.3＝1.2；Var(X)＝4×0.3×0.7×(6／9)＝0.84×0.6667≈0.56，标准差≈0.7483。25.（N＝40，n＝8，E(X)＝2）由E(X)＝n×K／N得K＝E(X)×N／n＝2×40／8＝10，即p＝0.25。Var(X)＝8×0.25×0.75×(32／39)＝1.5×0.8205≈1.2308，标准差≈1.1094。(40−8)／(40−1)＝32／39≈0.8