2026-2027学年辽宁省多校高三（上）联合考试数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年辽宁省多校高三（上）联合考试数学试卷（10月份）一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知向量a=(2,4)，向量b=(3,m)，若向量a与向量b共线，则m的值为(

)A.3 B.4 C.5 D.62.集合A={sinπ4,cos2π3,A.0个 B.1个 C.2个 D.3个3.已知函数f(x)=x3+sinx，则f(2026)+f(−2026)的值为A.0 B.2026

C.−20263−sin20264.函数f(x)=tan2xtanx的最小正周期为(

)A.π B.2π C.3π D.4π5.复数z1=cosθ−isinθ，z2=cos2θ−isin2θ(θ∈R)A.z1与z2 B.z12与z22 C.z16.已知函数f(x)=ln(x+1)，g(x)=ex+x2，则A.1条 B.2条 C.3条 D.4条7.2026年9月24日，我国使用长征六号改运载火箭成功将遥感四十号04组卫星发射升空.在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式为v=qlnM0Mk，其中v为单级火箭的最大理想速度(单位：m⋅s−1)，q为发动机的喷射速度(单位：m⋅s−1)，M0、Mk分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量(单位：kg)A.4.44km⋅s−1 B.7.2km⋅s−18.若函数f(x)=xα1+x+x2在区间(0,+∞)上存在最大值，则A.{1} B.(0,2) C.[0,2] D.(−∞,2)二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.△ABC的内角A、B、C对应的边为a、b、c，若a=3，c=7，b为a与c的等差中项，R为△ABC的外接圆半径，r为△ABC的内切圆半径，则下列说法正确的是(

)A.b=5 B.C=π3 C.R=710.如图，点A，B，C是函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的图象与直线y=32相邻的三个交点，且|BC|−|AB|=πA.ω=4

B.f(9π8)=12

C.函数f(x)在(π3,π2)上单调递减

11.已知数列{an}满足：an+1=aA.当且仅当a1=2或4或6时，数列{an}为常数列

B.当且仅当a1>6或2<a1<4时，数列{an}单调递增

C.存在a1三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.复数z=26−23i13.已知函数f(x)满足：对于∀x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2，f(1)=−1，则f(2026)的值为

．14.已知实数x，y满足x3+y3=6xy，则x+y的取值范围为四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

如图，在边长为3的等边△ABC中，点D为边AB上靠近点B的三等分点，点E为BC中点，AE∩CD=F，连接BF.设AB=a，AC=b．

(1)用a，b表示CD与BF；

(2)求|BF|与|DF16.(本小题15分)

设等差数列{an}满足2a1=−a22+a32=a4，a5>0．

(1)求{an}的通项公式；

(2)设数列{bn}满足bn17.(本小题15分)

在△ABC中，内角A、B、C所对应边分别为a、b、c，满足sin2A+sin2B=3cos(A−B)，且a恒为△ABC的最大边．

(1)若C=π3，则求ac的值；

(2)求a+b18.(本小题17分)

已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若f(x)有三个零点，且a19.(本小题17分)

在人教B版必修一中，我们学习过均值不等式：对∀x，y>0，都有xy≤x+y2，当且仅当x=y时等号成立.相似地，我们可以将该不等式拓展到n维形式，该不等式被称为AM−GM不等式．

(1)证明：对于大于0的实数a1，a2，…，an，有nni=1ai≤i=1nain恒成立；

(2)证明：lnn+e2≤631.【答案】D

2.【答案】C

3.【答案】A

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】ACD

10.【答案】ACD

11.【答案】ACD

12.【答案】213.【答案】2024

14.【答案】(−2,6]

15.【答案】解：(1)由题意，AB=a，AC=b，

由D为AB上靠近B的三等分点，可得AD=23AB=23a，

故CD=AD−AC=23a−b，

E为BC中点，故AE=12a+12b，

因F在AE上，设AF=λAE=λ2a+λ2b，

因F在CD上，设AF=AC+μCD=2μ3a+(1−μ)b，

由向量相等可得对应系数相等，解得λ=45,μ=35，

故BF=AF−AB=−35a+25b；

(2)在等边三角形中，有16.【答案】解：(1)等差数列{an}满足2a1=−a22+a32=a4，a5>0，

设等差数列{an}的公差为d，

则由题意得2a1=a4=a1+3d，

解得a1=3d，因为−a22+a32=a4，

因此−a22+a32=d(a2+a3)=a4，

结合上述方程，联立得d(4d+5d)=3d+3d，

解得d=017.【答案】解：(1)sin2A+sin2B=sin[(A+B)+(A−B)]+sin[(A+B)−(A−B)]

=[sin(A+B)cos(A−B)+cos(A+B)sin(A−B)]+[sin(A+B)cos(A−B)−cos(A+B)sin(A−B)]

=2sin(A+B)cos(A−B)，

结合题意，可得2sin(A+B)cos(A−B)=3cos(A−B)，即[2sin(A+B)−3]cos(A−B)=0，

根据0<sin(A+B)≤1，可得−3<2sin(A+B)−3≤−1，故cos(A−B)=0，

根据a为最大边，可得A>B，结合A、B∈(0,π)，可得A−B=π2，

结合C=π3，解得A=7π12,B=π12，

由正弦定理得a18.【答案】解：(1)f′(x)=3x2+2ax=x(3x+2a)，令f′(x)=0，解得：x1=0，x2=−23a；

当a=0时，f′(x)≥0恒成立，∴f(x)在R上单调递增；

当a>0时，若x∈(−23a,0)，f′(x)<0；若x∈(−∞,−23a)∪(0,+∞)，f′(x)>0，

∴f(x)在(−23a,0)上单调递减，在(−∞,−23a)，(0,+∞)上单调递增，

当a<0时，若x∈(−∞,0)∪(−23a,+∞)，f′(x)>0；若x∈(0,−23a)，f′(x)<0；

∴f(x)在(0,−23a)上单调递减；在(−∞,0)，(−23a,+∞)上单调递增．

综上所述：当a=0时，f(x)在R上单调递增；

当a>0时，f(x)在(−∞,−23a)，(0,+∞)上单调递增，在(−23a,0)上单调递减；

当a<0时，f(x)在(−∞,0)，(−23a,+∞)上单调递增，在(0,−23a)上单调递减．

(2)由(1)知：若f(x)有三个零点，则a≠0；

则f(x)的两个极值为f(0)=b，f(−23a)=427a3+b；

∵f(x)有三个零点，∴f(0)⋅f(−2a3)=b(427a3+b)<0，

∴a>0−427a319.【答案】证明：(1)设g(t)=t−1−lnt，则g′(t)=1−1t=t−1t，

当0<t<1时g′(t)<0，g(t)单调递减；当t>1时g′(t)>0，g(t)单调递增，

故g(t)≥g(1)=0，即lnt≤t−1，记作(∗)，

记A=1ni=1nai>0，在(∗)中取t=aiA，得lnaiA≤aiA−1，

求和：i=1nln