2026-2027学年陕西省汉中东辰外国语学校高三（上）第三次模拟数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年陕西省汉中东辰外国语学校高三（上）第三次模拟数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合A={−1,−2,1,5}，B={x|y=lg(x+2)}，则A∩B=(

)A.{−1,−2,1,5} B.{−1,1,5} C.{1,5} D.⌀2.下列函数中最小正周期等于π的是(

)A.y=sin(4x+π3) B.y=|tanx|

3.在长方形ABCD中，AM=12AB，AC与DM交于点N，则A.13AD−16AB B.24.已知圆锥的侧面积(单位：cm2)为2π，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的体积(单位：cmA.13π B.23π C.5.甲、乙、丙、丁、戊五名同学排成一排照相，则甲与乙相邻的概率为(

)A.12 B.35 C.346.已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)与抛物线E：y2=2px(p>0)有相同的焦点F，椭圆CA.22 B.2−1 C.7.在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则“sin2A+sin2B+cosA.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不允分也不必要条件8.已知函数f(x)及其导函数g(x)的定义域均为R，若f(3x+2)为奇函数，f(x+1)+x为偶函数，g(0)=−2，则k=015g(k)=A.−12 B.−14 C.−15 D.−16二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.设复数z=−1+3i，则A.|z|=2 B.zi的虚部为−3

C.z2+z10.设函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sinA.f(x)=2sin(2x−π4)

B.f(x)的图象可由y=2cos2x图象向左平移π8个单位得到

C.函数f(−x2)11.已知各项都是正数的数列{an}(n∈N∗)的前n项和为SA.{an}是单调递增数列 B.Sn+S三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知数列{an}是等比数列，其前n项的和为Sn，若a4=27a1，13.已知函数f(x)=x2+2x，g(x)=lnx−mx(m∈R)，若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在公共点处的切线相同，则m的值为

14.已知菱形ABCD的边长为2，AB⋅AD=−2，将△ACD沿AC折起到△ACD′位置，使得二面角D′−AC−B的大小为α，且四面体ABCD′的外接球表面积为6π，则tanα=

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

2026年7月31日，DeepSeek的V4−flash正式版发布，该模型在全球范围内引发广泛关注.现为了对其产品用户的使用行为进行统计分析，收集了1000名用户的每日使用时长(单位：分钟)，得到如下所示的频率分布直方图，每日使用时长不小于80分钟的用户称为“忠实粉丝”．

(1)估计该产品用户每日的平均使用时长x−(同一组的数据用该组区间的中点值代替)；

(2)现采用分层抽样的方法从样本中使用时长在[60,80)，[80,100)的用户中随机抽取8人，并从中随机抽取2人作进一步分析，记X为2人中“忠实粉丝”的人数，求X的分布列和期望．16.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，bcosC+bsinC=a+2c.

(1)求B；

(2)AC，BC边上的中线BM，AN交于点P，a=2，c=217.(本小题15分)

在三棱锥D−ABC中，已知△ABD是等边三角形，平面ABD⊥平面ABC，BC⊥AD．

(1)求证：BC⊥AB；

(2)若AB=2，CD=3，CP=λCD，且直线BP与平面ACD所成角的正弦值为35818.(本小题17分)

已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点为F1，C的离心率为22，且C过点(2,2)．

(1)求椭圆C的方程；

(2)已知M(8,0)，N(1,0)，过点N的直线与C交于A，B两点(A,B不在19.(本小题17分)

已知a<1，函数f(x)=xsinx+acosx，x∈(0,π)．

(1)求曲线y=f(x)在点(π2,f(π2))处的切线方程；

(2)证明：f(x)存在唯一的极值点；

(3)若存在a，使得f(x)<−121.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】C

5.【答案】D

6.【答案】B

7.【答案】B

8.【答案】D

9.【答案】AD

10.【答案】BCD

11.【答案】BCD

12.【答案】−313.【答案】−3

14.【答案】215.【答案】解：(1)由0.002×20+0.004×20+0.009×20+a×20+0.012×20+0.003×20=1，解得a=0.02．

x−=0.002×20×10+0.004×20×30+0.009×20×50+0.02×20×70+0.012×20×90+0.003×20×110=68．

∴样本中该产品用户每日的平均使用时长为68分钟，由样本估计总体，

因此估计该产品用户每日的平均使用时长x−=68(分钟)．

(2)由频率分布直方图可知，[60,80)频率20×0.02=0.4，[80,100)频率20×0.012=0.24．

∴两组频率之比为0.40.24=53，∴用分层抽样抽取的8人中，

[60,80)抽取5人(非“忠实粉丝”)，[80,100)抽取3人(“忠实粉丝”)，

从8人中任取2人，X的可能取值为0，1，2，

∴X服从超几何分布，P(X=k)=C52−k⋅X012P5153∴E(X)=0×514+1×1528+2×16.【答案】解：(1)根据边角转换可得sinBcosC+sinBsinC=sinA+2sinC，

sinA=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

则sinBsinC−cosBsinC=2sinC，

sinBsinC−cosBsinC=sinC(sinB−cosB)=2sinCsin(B−π4)，因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，

整理可得1=sin(B−π4)，

又因为B∈(0,π)，所以B=3π4；

(2)设BA=a,BC17.【答案】(1)证明：取AB中点E，连接DE．

因为△ABD是等边三角形，所以DE⊥AB．

又平面ABD⊥平面ABC，平面ABD∩平面ABC=AB，所以DE⊥平面ABC．

因为BC⊂平面ABC，所以DE⊥BC．

又BC⊥AD，DE，AD⊂平面ABD，DE∩AD=D，所以BC⊥平面ABD．

因为AB⊂平面ABD，所以CB⊥AB；

(2)解：在等边△ABD中，AB=2，则DE=3．

由(1)知，DE⊥平面ABC，因为CE⊂平面ABC，所以DE⊥CE．

在Rt△DCE中，CD=3，则CE=CD2−DE2=6．

在Rt△BCE中，BE=12AB=1，所以BC=CE2−BE2=5．

如图，以B为坐标原点，BC，BA为x轴，y轴，以过点B且垂直于平面ABC的直线为z轴，建立空间直角坐标系B−xyz，

则A(0,2,0)，B(0,0,0)，．C(5,0,0)，D(0,1,3)．

设P(x,y,z)，则CD=(−5,1,3)，CP=(x−5,y,z)=λ(−5,1,3)，

所以P(518.【答案】x28+y24=1

(ⅰ)设过点N(1,0)的直线AB的方程为x=my+1，A(x1,y1)，B(x2,y2)，

由x=my+1x28+y24=1，得(m2+2)y2+2my−7=0，Δ>0，

19.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=sinx+xcosx−asinx=(1−a)sinx+xcosx，

所以f′(π2)=(1−a)sinπ2+π2cosπ2=1−a，

又f(π2)=π2，

所以曲线在点(π2,f(π2))处的切线方程为y−π2=(1−a)(x−π2)，即(1−a)x−y+aπ2=0．

证明：(2)由f′(x)=(1−a)sinx+xcosx，a<1，

①当x∈(0,π2]时，f′(x)>xcosx≥0，则f(x)在(0,π2]上单调递增，

②当x∈(π2,π)时，设g(x)=(1−a)sinx+xcosx，则g′(x)=(1−a)cosx+cosx−xsinx=(2−a)cosx−xsinx，

所以g′(x)<−xsinx<0，故g(x)在(π2,π)上单调递减，

又g(π2)=1−a>0，g(π)=−π<0，

所以由零点存在性定理可知，存在唯一x0∈(π2,π)，使得g(x0)=0，即f′(x0)=0．

所以当π2<x<x0时，g(x)>0，