北师大版数学八年级下册 第3章 图形的平移与旋转（单元测试·综合卷） 同步练习 含答案

第3章图形的平移与旋转（单元测试·综合卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．直线关于原点对称的直线为（

）A． B． C． D．2．如图，在中，，把绕点A逆时针旋转得到，连接，当时，的长为（

）A． B．10 C． D．3．如图，绕点P逆时针旋转一个角度得到，则下面选项中不能表示旋转角的是（）A． B． C． D．4．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，，且点B在第一象限内，将绕点O顺时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转后，点B的坐标是（

）A． B． C． D．5．如图所示，在中，，，，将绕上的点O顺时针旋转，得到，连接．若，则的长为（

）A． B．5 C． D．6．如图，在，将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，连接．若，则旋转角的度数为（

）A． B． C． D．7．如图，将直角三角板绕顶点A逆时针旋转到，点D恰好落在BC的延长线上，，，，则为（

）A．2 B．1.5 C．1 D．0.58．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，沿x轴向右平移后得到，且点A的对应点在直线上一点，则点B与其对应点间的距离（）A． B．1 C． D．29．如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，使点的对应点恰好落在边上，、交于点．若，则的度数是（

）（用含的代数式表示）

A． B． C． D．10．如图，在中，，在斜边AB上取两点E、F，使．设，则三边长度分别为x、y、z的三角形的形状为（

）．A．锐角三角形B．直角三角形 C．钝角三角形 D．随x、y、z的值而定填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．如图，两点的坐标分别为，将线段平移到的位置，若，，则的值是．12．如图，在平面直角坐标系中，点，连接，将绕点O逆时针方向旋转得到．则点B的坐标为．（用字母a，b表示）13．如图，中，，在同一平面内，将绕点旋转到的位置，若，则旋转角度数为．14．如图，已知，，，将绕点A逆时针旋转，旋转角为（），当点D恰好落在的边上时，的长为．15．如图，在中，，，，将绕着点C顺时针旋转得到，线段与交于点D，与交于点E，连接，则的值为．16．在平面直角坐标系中，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，．如图，当点落在边上时，旋转角的大小为，点的坐标为．17．如图，为等边三角形，点在直线上运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的最小值为．18．如图，在平面直角坐标系中，三角板的直角顶点的坐标为，，一条直角边与轴的正半轴交于点，另一直角边与轴交于点，三角板绕点在坐标平面内转动的过程中，当为等腰三角形时，请写出所有满足条件的点的坐标．三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）如图1、图2，的顶点都在平面直角坐标系中的网格点上．（1）在图1中画出与关于点O对称的，点的坐标为______；（2）在图2的网格中找一格点C，使得以A，B，O，C为顶点的四边形是中心对称图形．20．（8分）如图，将绕点B顺时针旋转到处，连接，已知，求证：．21．（10分）如图，在中，点E在边上，，将线段绕A点旋转到的位置，使得，连接，与交于点G．（1）求证：；（2）若，求的度数．22．（10分）在中，，，点为线段上一点，将线段绕点逆时针旋转，得到线段，连接．（1）写出之间的数量关系，并证明；（2）取中点，连接，猜想与的位置关系与数量关系，并证明．23．（10分）如图，和都是等边三角形，直线，交于点F．（1）如图1，当A，C，D三点在同一直线上时，的度数为______，线段与的数量关系为______．（2）如图2，当绕点C顺时针旋转时，（1）中的结论是否还成立？若不成立，请说明理由：若成立，请就图2给予证明．（3）若，，当绕点C顺时针旋转一周时，请直接写出长的取值范围．24．（12分）（一）问题探究已知：在钝角中，，把线段绕点A沿逆时针方向旋转得到线段，把线段绕点A沿顺时针方向旋转得到线段，分别连结，，，．（1）如图①，当时，线段与的数量关系是（直接写出结论，不说理由）；（2）如图②，当时，①探究线段与的数量关系，并说明理由；②若，，求的长；（二）解决问题如图③，在四边形中，，，，请直接写出线段的长．（不说理由）参考答案：1．D【分析】本题考查了关于原点的点的坐标，掌握关于原点对称的点的特征是解答本题的关键．若两条直线关于原点对称，则这两条直线平行，即值不变；与轴的交点关于原点对称，即值互为相反数．解：直线关于原点对称的直线为．故选：D．2．C【分析】本题考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形综合、勾股定理等知识点，连接，延长交于点，可证得，求出，即可求解．解：连接，延长交于点，如图所示：由题意得：，∴是等边三角形，∴，，∵∴∴∴∴∴∵∴，∵，∴∴故选：C3．A【分析】本题考查旋转的性质，关键是掌握旋转角的定义．旋转角是指旋转中心与旋转前后的对应点连线的夹角，由此即可判断．解：由旋转角的定义知，、都是旋转角，故B、C、D不符合题意；∵C旋转后的对应点是F，∴不是旋转角，∴A符合题意．故选：A．4．B【分析】本题考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．过点作轴与点，确定的长和，根据第次旋转后，点恰好在y轴的负半轴上，据此即可求解．解：如图，过点作轴与点，

∵点，，，且点B在第一象限内，∴，∴，∴，∴，∴，∵将绕点顺时针旋转，每次旋转，∴,∵，∴第次旋转后，旋转，则点恰好在y轴的负半轴上，即第次旋转后，点的坐标是．故选：B．5．A【分析】作于H．连接，．根据证明得，根据勾股定理求出，然后利用面积法求出的长即可求解．解：如图，作于H．连接，．由旋转的性质得，．，∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，∴，在中，∵，，，∴，∴，∴，∴，故选：A．【点拨】本题考查旋转变换，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．6．B【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质．先利用平行线的性质得到，则可计算出，再根据旋转的性质得等于旋转角，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和即可计算出．解：∵，∴，∵，∴，∴，∵将在平面内绕点A逆时针旋转到的位置，∴等于旋转角，∴，∴，故选：B．7．B【分析】本题考查了含30度角的直角三角形：30度角所对的直角边是斜边的一半，以及旋转的性质，根据旋转得出即可求解．解：∵，，，∴由旋转可得：故选：B8．D【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．根据平移的性质知．由一次函数图象上点的坐标特征可以求得点的坐标，所以根据两点间的距离公式可以求得线段的长度，即的长度．解：如图，连接、．∵点的坐标为，沿轴向右平移后得到，∴点的纵坐标是3．又∵点在直线上一点，∴，解得．∴点的坐标是，∴．∴根据平移的性质知．故选：D．9．C【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和等相关内容，由旋转的性质得出和的角度是解题关键．由旋转的性质可知，，，，，因为，所以，，由三角形内角和求出的度数，进而得到的度数．再由三角形内角和定理求出的度数即可．解：由旋转的性质可知，，，，，，，，，．．．故选：C．10．B【分析】本题考查了旋转的应用，直角三角形的判定，三角形全等的判定和性质，熟练掌握旋转和三角形全等的判定和性质是解题的关键．解：将绕点C顺时针旋转得到，连接﹐∴，∴，∴，∴，又，即在中，，故选B．11．【分析】本题考查了点的平移规律与图形的平移，根据平移规律，结合点的坐标，左右移，纵不变，横减加，上下移，横不变，纵加减，可得出的值，再把的值代入算式计算即可得到答案，解题的关键是掌握平移的规律．解：∵平移后对应点的坐标为，∴线段向右平移了个单位，∵点平移后对应的点的坐标为，∴线段向上平移了个单位，∴，，∴，故答案为：．12．【分析】本题考查坐标系下的旋转．熟练掌握旋转的性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．作轴于，作轴于，可证得，进一步得出结果；解：如图1，作轴于，作轴于，，，，，，在和中，，，，，故答案为：13．【分析】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形的内角和等腰三角形的性质，先由得出，根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和计算出，解题的关键是熟练掌握以上知识点的应用．解：∵，∴，由旋转的性质可知，，，∴，∴，故答案为：．14．3或或【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案．解：作斜边上的高，，，，，，，，，，当点D落在边上时，如图1，；当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合，；当点D落在边上时，如图3，；综上所述，的长为3或或．15．【分析】本题考查旋转的性质和勾股定理，熟练掌握旋转的性质，利用旋转的性质得到全等三角形是解题的关键，过点做于，由旋转可得，再利用等面积法可得，再利用勾股定理即可得到的值．解：过点做于，如图所示：∵绕着点C顺时针旋转得到，∴，∴，，∵，∴，∴，在中，，，∴，∴为等腰三角形，∵，∴，在中，，∴∴，，∵，解得：，，∵中，，，故答案为：．16．/45度【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点，点得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，求出即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．解：点，点，，是等腰直角三角形，，，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，旋转角的大小为，，点的坐标为，故答案为：，．17．【分析】过点A作于点E，过点Q作于点M，延长，取，连接，过点C作于点F，证明，得出，，说明点Q在过点D，且与的夹角为直线上，根据垂线段最短，得出当点Q在点F处时，最小，且最小值为的长，根据等边三角形的性质，求出最小值即可．解：过点A作于点E，过点Q作于点M，延长，取，连接，过点C作于点F，如图所示：则，∵线段绕点顺时针旋转得到，∴，，∴，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴点Q在过点D，且与的夹角为直线上，∵垂线段最短，∴当点Q在点F处时，最小，且最小值为的长，∵为等边三角形，，∴，∴，∴，∵，，∴为等腰直角三角形，∴，∴最小值为．故答案为：．【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，余角的性质，旋转的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质．18．，或【分析】由点的坐标为，可得，然后分别从，，分别去分析即可求得答案．解：过点作轴于点，坐标为，，∴，∴，∵轴，∴，如图，若，则，，即轴，，轴，点的坐标为：；如图，若，则，，，点与点重合，点的坐标为：；如图，若，则，过点作轴于点，过点作于点，则，，，，，，设，则，，,在中，，即，解得：，点的坐标为：，综上可得：点的坐标为：或或，故答案为：或或．【点拨】此题考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、以及旋转的性质，二次根式的混合运算，此题难度较大，注意方程思想、分类讨论思想以及数形结合思想的应用．19．（1）图见分析，点的坐标为；（2）见分析【分析】（1）分别作出点关于点O对称的点，顺次连接即可得到，再写出点的坐标即可；（2）利用网格的特点找到点C，连接即可．此题考查了中心对称图形的作图，正确做出图形是解题的关键．解：（1）如图，即为所求，点的坐标为，故答案为：（2）如图，四边形即为所求，20．见分析【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形性质及三角形内角和定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；根据旋转的性质得，，再根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理得的度数，再根据角的和差即可解答解：证明：将绕点B顺时针旋转到，，，，，．21．（1）见分析；（2）【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质，证明是解题的关键．（1）由旋转的性质可得，利用证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出；（2）根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求出，那么．由，得出，再根据三角形外角的性质即可求出，进而即可求解．（1）解：∵将线段绕点旋转到的位置，∴，∵，∴，即，在和中，，∴，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，，∴，∵是的外角，∴，∴的度数为．22．（1），证明见分析；（2），，证明见分析【分析】（1）依题补全图形，并连接，如图所示，结合旋转性质，由题中条件，结合全等三角形的判定与性质得到，由勾股定理即可得证；（2）设交于，延长至，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定得到、，结合三角形内角和及外角性质，由全等的性质即可得到边的关系和角的关系，再结合垂直性质即可得到答案．（1）解：数量关系是，证明：依题补全图形，并连接，如图所示：，，，线段绕点逆时针旋转，得到线段，，，在和中，，，，，，，，；（2）解：，，证明如下：设交于，延长至，使，连接，如图所示：是中点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．【点拨】本题考查几何综合，涉及旋转性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、三角形内角和定理、外角性质、互余等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键．23．（1），；（2）成立，理由见分析；（3）【分析】本题考查了等边三角形性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，以及旋转的性质，解答时证明三角形全等是关键．（1）利用等边三角形的性质证明，结