北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解 单元测试 同步练习 含答案

第四章因式分解单元测试总分：120分考生姓名：注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第四章（因式分解）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（

）A． B．2 C． D．3．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（

）A． B． C． D．4．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．分解因式：，则的值为（

）A．7 B． C．25 D．6．如图，将长方形分成四个面积分别为的小长方形，则的长为（

）A． B． C． D．7．已知，则代数式的值是（

）A．2 B．6 C．4 D．8．已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形9．若k为任意整数，则的值总能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除10．已知，，，则多项式的值为（

）A． B． C． D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．分解因式：．12．分解因式：．13．分解因式：．14．已知，则代数式的值为．15．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为．16．因式分解：．17．已知，则的值为．18．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是．三、解答题：本题共8小题，共66分．19．因式分解：(1)；(2)．20．分解因式(1)(2)21．已知：，，分别求下列代数式的值：(1)(2)22．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：）(1)观察图形，发现代数式可以因式分解为_______；(2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．23．阅读材料：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状，并说明理由．24．观察下列等式，解答下列问题：①；②；③；④…(1)第⑤个等式为_____；(2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明．25．某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”．(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：；；(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为．①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值．26．阅读与思考配方法把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式(两数和的平方公式或两数差的平方公式)，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值问题中都有着广泛的应用．例如：①用配方法因式分解：原式②求的最小值．解：先求出的最小值；由于是非负数，所以，可得到，即的最小值为2．进而的最小值为4．请根据上述材料解决下列问题：(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：；(2)用配方法因式分解：；(3)求的最小值．(4)已知实数x，y满足，求的最小值，并指出此时y的值．

第四章因式分解单元测试总分：120分考生姓名：注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4．测试范围：第四章（因式分解）。5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．掌握因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：根据因式分解的定义，可知A，C，D选项不是把一个多项式转化成几个整式积的形式，只有B选项，是因式分解，故选：B．2．把多项式分解因式，应提取的公因式是（

）A． B．2 C． D．【答案】D【分析】本题主要考查了公因式的定义，熟练掌握公因式的定义是解答本题的关键．根据公因式的定义即可解答．【详解】解：多项式的公因式是．故选D．3．下列多项式中，能用平方差公式分解的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据平方差公式的基本特点，判断求解即可．本题主要考查了平方差公式分解因式，熟知平方差公式的结构是解题的关键．【详解】解：A、，无法分解因式，不符合题意；B、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；C、，能用平方差公式分解因式，符合题意；D、，不能用平方差公式分解因式，不符合题意；故选：C．4．下列多项式：（1）；（2）；（3）；（4）其中能用完全平方公式进行因式分解的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，熟知完全平方公式是解题的关键：．【详解】解：（1），符合题意；（2）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；（3）不能用完全平方公式分解因式，不符合题意；（4），符合题意；故选：B．5．分解因式：，则的值为（

）A．7 B． C．25 D．【答案】D【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式将等式右边展开，进而求出的值，代入代数式计算即可．【详解】解：∵，∴，∴；故选D．6．如图，将长方形分成四个面积分别为的小长方形，则的长为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】该题考查了因式分解的应用，表示出长方形的面积，再分解因式求解即可．【详解】解：根据题意可得长方形的面积，当时，不符合图形；当时，符合图形；故，故选：D．7．已知，则代数式的值是（

）A．2 B．6 C．4 D．【答案】A【分析】本题主要查了因式分解，二次根式的混合运算．先利用完全平方公式因式分解，再把，代入计算即可．【详解】解：∵，∴．故选：A8．已知是的三边的长，且满足，则此三角形的形状是（

）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，三角形三边关系，先整理原式得，再根据三角形三边关系，得，则，即可作答．【详解】解：∵，∴，∴，∴，解得或（，故，舍去）∴，∴此三角形的形状是等腰三角形．故选：A．9．若k为任意整数，则的值总能（

）A．被2整除 B．被3整除 C．被5整除 D．被7整除【答案】D【分析】本题考查了整式的混合运算，运用乘法公式展开，再根据整式的加减运算得到，结合k为任意整数，得到是整数，由此即可求解．【详解】解：由条件可知是整数，∴的值总能被7整除，故选：D．10．已知，，，则多项式的值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了利用因式分解把代数式变形，首先把代数式分组，把每一组配成完全平方式，再利用完全平方公式分解因式，可得：原式，把、、分别代入整理后的代数式中计算求值即可．【详解】解：，当，，时，原式故选：D．第Ⅱ卷二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分．11．分解因式：．【答案】【分析】本题考查的是提公因式法分解因式，掌握“公因式的确定以及提公因式法分解因式”是解本题的关键．提取公因式x，即可分解因式．【详解】解：，故答案为：．12．分解因式：．【答案】【分析】本题考查了提取公因式，公式法因式分解，掌握提取公因式，公式法是关键．运用提取公因式，公式法分解因式即可．【详解】解：，故答案为：．13．分解因式：．【答案】【分析】本题考查的是公式法分解因式，掌握因式分解的方法是解本题的关键．利用完全平方公式分解．【详解】解：．故答案为：．14．已知，则代数式的值为．【答案】18【分析】本题主要考查了因式分解的应用，把所求式子先提取公因数2，再利用完全平方公式分解因式得到，据此代值计算即可．【详解】解：∵，∴，故答案为：18．15．一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，则的值为．【答案】【分析】此题考查了因式分解的应用，灵活应用因式分解的方法是解本题的关键．根据长方形周长与面积公式求出与的值，原式提取公因式后，代入计算即可求出值．【详解】解：∵一个长、宽分别为m、n的长方形的周长为8，面积为3，∴，，即，则原式，故答案为：12．16．因式分解：．【答案】【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键；先对代数式进行化简，然后再根据十字相乘法可进行因式分解【详解】解：原式；故答案为：．17．已知，则的值为．【答案】2【分析】本题考查了因式分解的应用,解题的关键是将待求式变形为含有已知条件的形式，将待求式变形为，再将已知条件变形为，代入即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：2．18．如果一个数是某个整数的平方，那么这个数称为完全平方数．已知是完全平方数，则整数的最大值是．【答案】【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用以及因式分解的应用，正确理解“完全平方数”的定义，灵活运用乘法公式是解题的关键．设整理成，分解的因数，列方程组求出和，即可求最大值；【详解】解：设；整理得：；将左右两边同时乘以，则；则；要求最大值，所以为正整数，∵∴当时，解得：；当时（舍去）当时，解得：(舍去），当时，解得：，故最大为；故答案为：三、解答题：本题共8小题，共66分．19．因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了提取公因式法与公式法的综合应用，熟练掌握因式分解是关键．(1)先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可;(2)先利用多项式乘多项式把前两个因式的积算出来，进而利用完全平方公式分解因式即可．【详解】（1）解：；（2）解:．20．分解因式(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】此题考查了因式分解，熟练掌握提公因式法分解因式是关键．（1）利用提公因式法分解因式即可；（2）利用提公因式法分解因式即可．【详解】（1）（2）21．已知：，，分别求下列代数式的值：(1)(2)【答案】(1)(2)【分析】本题考查代数式求值、二次根式的混合运算、平方差公式、完全平方公式，解答本题的关键是熟练掌握运算法则及乘法公式．（1）利用完全平方公式进行计算即可；（2）利用平方差公式进行计算即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，．22．如图，将一张矩形纸板按图中虚线裁剪成九块，其中有两块是边长都为m的大正方形，两块是边长都为n的小正方形，五块是长为m、宽为n的全等小矩形，且．（以上长度单位：）(1)观察图形，发现代数式可以因式分解为_______；(2)若每块小矩形的面积为，四个正方形的面积和为，试求图中所有裁剪线（虚线部分）的长度之和．【答案】(1)(2)【分析】本题主要考查了因式分解，完全平方公式，解二元一次方程组，数形结合，是解题的关键．（1）利用数形结合的思想，表示大长方形的面积，根据大长方形的面积等于长乘以宽，即可得出结论；（2）由题意，得到，，利用完全平方公式求出，，得出，然后求出结果即可．【详解】（1）解：由图可知：表示大长方形的面积，大长方形的边长分别为：，∴；故答案为：；（2）解：由题意，得：，，∴，∴，，∵，∴，，解得：，∴所有裁剪线（虚线部分）的长度之和为：．23．阅读材料：分组分解法指通过分组分解的方式来分解用提公因式法和公式法无法直接分解的多项式，比如：解：原式归纳总结：用分组分解法分解因式要先恰当分组，然后用提公因式法或运用公式法继续分解．请同学们在阅读材料的启发下，解答下列问题：已知a，b，c是的三边，且满足，判断的形状，并说明理由．【答案】为等腰三角形，理由见解析【分析】本题考查了因式分解，三角形的三边关系，等腰三角形的判定，熟练掌握因式分解的方法是解题关键．先利用因式分解，得到，再根据三角形的三边关系，得到，推出，即可判断的形状．【详解】解：为等腰三角形，理由如下：∵，∴，∴，∴，∵a，b，c是的三边，∴，∴，∴，∴，∴为等腰三角形．24．观察下列等式，解答下列问题：①；②；③；④…(1)第⑤个等式为_____；(2)猜想第个等式为_____（用含的式子表示），并证明．【答案】(1)(2)，证明见解析【分析】本题考查了数字变化规律、因式分解的应用，利用代数式正确表示规律是解题的关键．（1）观察前4个等式的规律，即可写出第⑤个等式；（2）观察前4个等式的规律，猜想得到第个等式为，再利用提公因式法分解因式即可证明．【详解】（1）解：由题意得，第⑤个等式为．故答案为：．（2）解：猜想第个等式为，证明如下：．故答案为：．25．某数学兴趣小组研究如下等式：，，，．观察发现以上等式均是“两位数乘以两位数，十位数字相同，个位数字之和是10，且积有一定的规律”．(1)根据上述的运算规律，直接写出结果：；；(2)设其中一个数的十位数字为a，个位数字为．①请用含a，b的等式表示这个运算规律，并用所学的数学知识证明；②上述等式中，分别将左边两个乘数的十位和个位数字调换位置，得到新的两个两位数相乘（如：调换为）．若记新的两个两位数的乘积为m，①中的运算结果为n，若一定能被一个两位数整除，试求这个两位数的最大值．【答案】(1)3016；5625(2)①详见解析；②99【分析】本题主要考查了整式的混合运算，因式分解的应用，明确题意，准确得到规律是解题的关键．（1）根据上述的运算规律计算，即可求解；（2）①根据题意可得这两个两位数分别为，，从而得到这个运算规律为，然后分别计算等式的左右两边，即可；②由①得：，可得新的两个两位数分别为，，进而得到，然后计