北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解（单元测试·培优卷） 试卷 含答案

第4章因式分解（单元测试·培优卷）一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（

）A． B．C． D．2．因式分解，其中m、n都为整数，则m的值是（

）A． B． C． D．43．多项式的公因式是（

）A． B． C． D．4．如果，，则的值是（）A．30 B． C．11 D．5．下列多项式中，能用公式法分解因式的是（

）A． B． C． D．6．已知三个实数a，b，c满足，，则（

）A．， B．，C．， D．，7．将多项式加上一个单项式后，使它能够在我们所学范围内因式分解，则此单项式不能是（

）A． B． C． D．8．下列因式分解正确的是（

）A． B．C． D．9．对于任何整数a，多项式都能（

）A．被a整除 B．被整除 C．被整除 D．被整除10．勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了“赵爽弦图”，流传至今．如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，设每个直角三角形的两条直角边分别为，斜边为，给出下面三个结论：①；

②；

③．上述结论中，所有正确结论的序号是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③二、填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分）11．已知，，则多项式的值为．12．若分解因式，则．13．写出一个含有公因式的多项式.14．在有理数范围内因式分解：．15．因式分解：．16．在对多项式进行因式分解时，M同学看错了b，分解为；N同学看错了a，分解为．（两人后面因式分解没有错误），则，．17．三角形三边分别为、、，且，则这个三角形(按边分类)一定是三角形．18．如图，两个正方形的边长分别为m，n，若，，则图中阴影部分的面积为．

三、解答题（本大题共6小题，共58分）19．（8分）因式分解：(1)(2)20．（8分）（1）分解因式：；（2）用简便方法计算：21．（10分）已知，，求下列各式的值：(1)；(2)．22．（10分）如图，大长方形是由三个小长方形和一个小正方形拼成的．观察猜想：请根据此图填空：（______）（______）．说理验证：事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形：（______）（______）（提示：提公因式）（______）（______）．于是，我们可以利用此方法进行多项式的因式分解．尝试运用：例题：把多项式因式分解．请利用上述方法将下列多项式因式分解：（1）；（2）．23．（10分）先阅读下面的材料，再分解因式．要把多项式分解因式，可以先把它的前两项分成一组，并提出，再把它的后两项分成一组，并提出，从而得．这时，由于中又有公因式，于是可提公因式，从而得到，因此有．这种因式分解的方法叫做“分组分解法”，如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后，它们的另一个因式正好相同，那么这个多项式就可以利用分组分解法来分解因式．(1)请用上面材料中提供的方法分解因式：①；②．(2)已知的三边长为，，，并且，试判断此三角形的形状．24．（12分）阅读下列材料：教科书中这样写道：“我们把和这样的式子叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式，配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．例1：分解因式：；原式；例2：求代数式的最小值．原式，所以当时，代数式有最小值，最小值是－6．请根据材料用配方法解决下列问题：(1)分解因式：______；(2)求多项式的最小值；(3)已知，求m，n的值．参考答案：1．D【分析】本题主要考查因式分解的定义．直接利用“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”，分析得出答案．【详解】解：A、，属于整式的乘法，故本选项不符合题意；B、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；C、，不属于因式分解，故本选项不符合题意；D、，属于因式分解，故本选项符合题意；故选：D2．C【分析】本题主要考查了因式分解与多项式乘法之间的关系，根据多项式乘法把等式右边展开得到，据此可得答案．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，故选：C．3．B【分析】本题考查找公因式，找数字的最大公因式，字母找相同字母最低指数即可得到答案；【详解】解：由题意可得，的公因式是：，故选：B．4．A【分析】本题考查了因式分解的应用．原式利用提公因式法变形，将已知等式代入计算即可求出值．【详解】解：∵，，∴，故选：A．5．A【分析】本题考查公式法分解因式，公式法分解因式是指利用完全平方公式或平方差公式进行分解因式，完全平方公式形式，平方差公式形式．【详解】解：A选项，式子中单项式有三项，且平方项符号相同，满足完全平方公式分解因式形式，故选项正确；B选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；C选项，式子中单项式有两项，且符号相同，不满足平方差公式分解因式形式，故选项错误；D选项，式子中单项式有两项，且含有相同的字母，应用提取公因式法分解因式，故选项错误；故选：A．6．B【分析】本题主要查了完全平方公式的应用．根据，可得，从而得到，继而得到，再由，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故选：B7．B【分析】将分别与各个选项结合看看是否可以分解因式，即可得出答案．【详解】A.，此选项正确，不符合题意；B.，此选项错误，符合题意；C.，此选项正确，不符合题意；D.，此选项正确，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了因式分解，熟练掌握公式是解题的关键．8．A【分析】本题考查的是多项式的因式分解，掌握因式分解的定义“把一个整式化为几个因式的积的形式”是解题关键．根据因式分解的定义解答即可．【详解】解：A．，分解正确；B．，原式分解左右不相等，原式分解有分式，故不正确；C．，原式分解不完全，故不正确；D．，原式分解左右不相等，故不正确；故选：A．9．D【分析】本题考查的是因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．将原式展开进行因式分解，进而即可得到答案．【详解】解：，∴多项式都能整除，故选：D．10．D【分析】本题主要考查了勾股定理，因式分解的应用．根据三角形的三边关系得：，故①正确；再由，可得，故②正确；根据，可得，故③正确，即可．【详解】解：由三角形的三边关系得：，故①正确；∵，，即，故②正确；由勾股定理得：，∵，∴，∴，∵，∴，故③正确；故选：D．11．【分析】本题考查整式、因式分解的知识，解题的关键是对多项式变形为，再把、的值，代入，即可．【详解】∵，∴当，时，，故答案为：．12．【分析】本题考查了因式分解与整式的乘法运算，掌握因式分解与整式的乘法之间的关系是解题的关键．根据整式的乘法计算，即可求得的值，进而求得代数式的值．【详解】解：∵∴解得．故答案为：3．13．，答案不唯一【分析】本题考查了公因式．根据公因式的定义求解即可．【详解】解：（答案不唯一）．故答案为：（答案不唯一）．14．【分析】本题考查了因式分解，先分组，然后根据完全平方公式与平方差公式进行因式分解，即可求解．【详解】解：故答案为：．15．【分析】本题主要查了多项式的因式分解．先分组，再利用十字相乘法进行因式分解，即可求解．【详解】解：故答案为：16．69【分析】此题考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键分别根据甲乙因式分解的结果确定出与的值，即可作答．【详解】解：依题意，由甲的结果得：，由乙的结果得：，可得，，故答案为：．17．等腰【分析】根据已知等式变形，因式分解为，可得，即可求解．【详解】解：∵，∴，即，∴，∴，∵，∴，即，∴这个三角形(按边分类)一定是等腰三角形，故答案为：等腰．【点睛】本题考查了因式分解的应用，等腰三角形的定义，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．18．【分析】本题考查因式分解的应用，涉及三角形面积、正方形面积，熟练掌握提公因式分解因式是解题关键．先表示阴影部分的面积为，再进一步的运算即可．【详解】解：∵，，∴，故答案为：．19．(1)(2)【分析】本题考查因式分解—提公因式法，（1）直接提取公因式即可，（2）将原式转化为，然后再提取公因式即可；解题的关键是掌握提公因式的一般步骤，确定一个多项式的公因式时，要对数字系数和字母分别进行考虑，可归纳为“五看”：一看系数，若各项系数都是整数，应提取各项系数的最大公因数；二看字母，公因式的字母是各项相同的字母；三看字母的指数，各相同字母的指数取指数最低的；四看整体，如果多项式中含有相同的多项式，应将其看成整体，不要拆开；五看首项符号，若多项式中首项的符号为“－”，则公因式的符号一般为负．【详解】（1）解：；（2）．20．（1）（2）314【分析】本题考查了分解因式，以及提供公因式法和公式法进行因式分解，正确掌握相关性质内容是解题的关键．（1）先提公因式，再根据完全平方公式进行分解因式，即可作答．（2）先提公因式，再根据平方差公式进行分解因式，即可作答．【详解】解：（1）；（2）．21．(1)(2)【分析】本题考查了平方差公式、完全平方公式、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．（1）先利用平方差公式进行分解，再代入的值计算即可；（2）先利用完全平方公式进行变形，再代入的值计算即可．【详解】（1）解：，，；（2）解：，，．22．观察猜想：，；说理验证：，，，；（1）；（2）【分析】本题主要考查了因式分解在几何图形中的应用，十字相乘法分解因式：观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，据此求解即可；说理验证：先提取公因式x和q分组分解因式，再提取公因式进行分解因式即可；（1）仿照题意分解因式即可；（2）把看作一个整体仿照题意分解因式即可．【详解】解；观察猜想：由图可知四个小长方形的面积之和等于大长方形的面积，即，故答案诶：；说理验证：由题意得，故答案为：，，，；（1）；（2）．23．(1)①；②(2)等边三角形【分析】本题考查了因式分解、等边三角形的判定，熟练掌握分组分解法是解题关键．（1）①利用分组分解法分解因式即可得；②利用分组分解法分解因式即可得；（2）根据已知等式可得，再利用分组分解法分解等式的左边，然后根据偶次方的非负性求