北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解（举一反三单元自测·拔尖卷） 试卷 含答案

第四章因式分解·拔尖卷【新教材北师大版】考试时间：120分钟满分：120分姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（

）A．a2−bC．4m2−92．（3分）已知ab=10，a+b=7，那么代数式A．7 B．10 C．17 D．703．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数nn>1整除，则整数A．3 B．4 C．5 D．94．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数x，y，m满足x2−2xy−4y=1+mA．3 B．4 C．5 D．66．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：8x密文…mmxx8x…明文…我爱中华大地…把密文8xm2A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大7．（3分）若652×11−352×11A．44 B．55 C．66 D．778．（3分）已知a，b为正整数，满足ab−3b−2a−28=0A．28 B．43 C．76 D．789．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有A型，B型，C型三种不同的纸板．其中A型是边长为x的正方形，共有1块；B型为边长为2的正方形，共有2块；C型是长为x，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（

）A．用全部7块纸板 B．加上3块B型纸板C．拿掉2块C型纸板 D．加上1块A型纸板10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式n3−nA．121 B．210 C．335 D．505二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长36cm的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是27cm2，则这两个正方形的边长相差12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知x2−2xy+y2−9=013．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设a=73×1412，b=9322−4802，c=51514．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4=22−02，12=4215．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式a3b+616．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非0的两个实数a，b，规定a■b=a3第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解：(1)3m(2)49x18．（6分）简便计算：(1)2×(2)1−19．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式am+am+(1)请用上述方法因式分解：x2(2)已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题：分解因式：a−解：将“a−b”看成整体，令a−b=M，则原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：(1)因式分解：9+6x(2)因式分解：x2(3)若n为正整数，则n+221．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如a2例如：①用配方法因式分解：a2原式a2②求2x解：2∵x+32∴2x请根据上述材料解决下列问题．(1)用配方法因式分解：a2(2)求2x(3)已知实数x，y满足−x2+5x+22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于x的多项式中，如果x取某个值a使得这个多项式等于0，那么x−a是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于x的二次多项式x2−5x+6中，当x=2时，多项式等于0，于是它有一个因式是x−2，设x2(1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当x=1时，二次多项式x2−5x+4(2)小红问小亮，如果告诉你当x=5时，二次多项式x2−7x+23．（12分）若定义一种运算：a△如：2△−3(1)计算：−x(2)将（1）计算所得的多项式分解因式；24．（12分）（24-25七年级下·四川成都·期中）由于科技创新与产业结构的优化，某种产品的原材料实现了一定幅度的降价，因而厂家决定对产品进行降价，现有三种方案：①第一次降价百分率为a，第二次降价百分率为b；②第一次降价百分率为b，第二次降价百分率为a；③第一、二次降价百分率为a+b2．(其中a>0，b>0，a≠b(1)用含a，b代数式表示A，B，C；(2)在三个方案降价后的产品价格A，B，C中，最高价与最低价之间的价差是多少？(用含a，b代数式表示)

第四章因式分解·拔尖卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析第Ⅰ卷一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．（3分）（24-25八年级上·湖北宜昌·期末）下列各多项式从左到右的变形是因式分解，并分解正确的是（

）A．a2−bC．4m2−9【答案】D【分析】本题考查了因式分解的定义，直接利用因式分解的定义进而分析得出答案，掌握因式分解的定义是解题的关键．【详解】解：A、a2B、x+3C、4mD、y2故选：D．2．（3分）已知ab=10，a+b=7，那么代数式A．7 B．10 C．17 D．70【答案】D【分析】本题主要考查代数式求值，因式分解，先把代数式因式分解，再代入求值，即可．【详解】解：∵ab=10，a∴a2故选：D．3．（3分）（24-25七年级下·福建宁德·期末）已知一个两位数，将其个位数与十位数调换位置后，所得的新两位数与原两位数的乘积能被9整除．若这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数nn>1整除，则整数A．3 B．4 C．5 D．9【答案】A【分析】本题主要考查了列代数式，整式乘法的应用、因式分解，设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为10a+b，调换后的新数为10b+a．根据题意，两数的乘积【详解】解：设原两位数的十位数字为a，个位数字为b，则原数为10a+b原数和新数的乘积为：10∵10a2+101∴a+∴a+又∵这个两位数的个位数与十位数的和一定能被整数nn∴n=3因此，整数n为3，故选：A．4．（3分）（24-25七年级下·江苏泰州·阶段练习）下面有三个结论：①两个连续的偶数的平方差一定是8的倍数；②两个连续的奇数的平方差一定是8的倍数；③任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数．其中正确的是（

）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】C【分析】本题考查的是利用平方差公式分解因式，因式分解的应用；设两个连续偶数为2n，2n+2，再利用因式分解可判断①，设两个连续奇数为2n+1，2【详解】解：设两个连续偶数为2n，2则2n∵n为整数，所以42n+1∴42故两个连续偶数的平方差一定是4的倍数．故①不符合题意；设两个连续奇数为2n+1，则2n∵n为整数，所以8n+1中的∴8n故两个连续奇数数的平方差一定是8的倍数．故②符合题意；设个位数为5的整数为10n∴10n∴任意一个个位数是5的整数平方后一定是25的倍数，故③符合题意；故选：C．5．（3分）（24-25八年级上·江苏南通·期末）若实数x，y，m满足x2−2xy−4y=1+mA．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本题考查了因式分解、代数式的求值、实数的性质，掌握相关知识点是解题的关键．先将题目的两个等式相加，整理得到x2+2xy+2y2−4y+4=0【详解】解：∵x2−2∴x整理得：x2∴x∴x∴x+y解得：x=−2，y∴1+m∴m故选：A．6．（3分）某课外密码研究小组接收到一条密文：8x密文…mmxx8x…明文…我爱中华大地…把密文8xm2A．中华大地 B．爱我中华 C．爱大中华 D．我爱中大【答案】D【分析】本题考查了因式分解，熟悉掌握平方差公式是解题的关键．提取公因式后，再用平方差公式分解即可．【详解】解：8原式=8=8∴对应密文可得到的字为：爱，我，中，大；故选：D．7．（3分）若652×11−352×11A．44 B．55 C．66 D．77【答案】D【分析】将652本题考查了，因式分解的应用，解题的关键是：熟练掌握提公因式法和公式法进行因式分解．【详解】解：652A、44=22×11B、55=5×11，是11×2C、66=2×3×11，是11×2D、77=7×11，不是11×2故选：D．8．（3分）已知a，b为正整数，满足ab−3b−2a−28=0A．28 B．43 C．76 D．78【答案】C【分析】将ab−3b−2a−28=0利用分组分解法化为a【详解】解：∵ab−3∴ab∴b∴a−3∵a，b为正整数，要使a+2b最大，则b的值应比∴当a−3=1,b−2=34当a−3=2,b−2=17∴a+2故选：C．【点睛】此题考查了分组分解法的应用，解题的关键在于把等号左边的式子化为乘积的形式．9．（3分）（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，有A型，B型，C型三种不同的纸板．其中A型是边长为x的正方形，共有1块；B型为边长为2的正方形，共有2块；C型是长为x，宽为2的长方形，共有4块．现用这7块纸板去拼出一个大的长方形（不重叠，不留空隙），则下列操作可行的是（

）A．用全部7块纸板 B．加上3块B型纸板C．拿掉2块C型纸板 D．加上1块A型纸板【答案】D【分析】本题考查因式分解的应用，根据各选项，列出代数式，进行因式分解即可．【详解】解：A、用全部7块纸板，总面积为：x2B、加上3块B型纸板，总面积为：x2C、拿掉2块C型纸板，总面积为：x2D、加上1块A型纸板，总面积为：2x2+4⋅2x+2×故选D．10．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·期中）设n为某一自然数，代入代数式n3−nA．121 B．210 C．335 D．505【答案】B【分析】本题综合考查因式分解的应用，三个连续自然数的积为偶数等相关知识点，重点掌握因式分解的应用．代数式n3−n【详解】解：由题意可知：原式=n∴n3∴n3∴n3选项只有B，符合条件，又∵210=5×6×7=6故选：B．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．（3分）（24-25七年级下·河南郑州·期中）把一段长36cm的铁丝分成两段，将每一段都围成一个最大的正方形，如果这两个正方形的面积之差是27cm2，则这两个正方形的边长相差【答案】3【分析】本题考查平方差公式的实际应用，设两段铁丝的长分别为acm，bcm，a≥b，根据题意得4a+4b【详解】解：设两段铁丝的长分别为acm，bcm，根据题意，得4a∴a+∵这两个正方形的面积之差是27cm∴a2∴a+∴9a∴a−即这两个正方形的边长相差3cm，故答案为：3．12．（3分）（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知x2−2xy+y2−9=0【答案】9【分析】本题考查了本题主要考查了完全平方公式、整体代入法求代数式的值，首先根据x2−2xy+y2−9=0，可得：x−y2=9【详解】解：∵x2∴x∴x∴x∵x<∴x∴x∴xy∴x故答案为：−9．13．（3分）（24-25八年级上·四川宜宾·期中）设a=73×1412，b=9322−4802，c=515【答案】b>c【分析】本题考查因式分解，将b,【详解】解：b=c=∵73<162<452，∴b>故答案为：b>14．（3分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）若一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，则称这个正整数为“神秘数”（如4=22−02，12=42【答案】13【分析】本题考查平方差的公式及不等式的应用，解题的关键是掌握平方差的公式的运用，找到“神秘数”的规律．根据题意，得“神秘数”的规律为：2n+22【详解】解：∵“神秘数”能表示为两个连续偶数的平方差，∴“神秘数”满足：2n+222n∴42∴n≤12∴0≤n∴在1~100这100个数中，“神秘数”的个数是13故答案为：13．15．（3分）（24-25八年级下·福建宁德·期末）如图，将三个边长分别为a，b的小长方形组成一个大长方形，已知大长方形的周长为12，面积为7．则代数式a3b+6【答案】84【分析】本题考查因式分解，完全平方公式，根据大长方形的周长和面积，得出a+3b=6，ab=7【详解】解：∵大长方形的周长为12，面积为7∴2a+3b∴a+3b=6∴a3故答案为：84．16．（3分）（24-25八年级上·山东烟台·期中）对于非0的两个实数a，b，规定a■b=a3【答案】m【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．由题意给出的定义新运算可得m■9=【详解】解：∵a∴m故答案为：m(第Ⅱ卷三．解答题（共8小题，满分72分）17．（6分）（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）因式分解：(1)3m(2)49x【答案】(1)3(2)4【分析】本题考查因式分解，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键．（1）先提公因式3m（2）先利用整体思想和平方差公式分解因式，再提公因式即可求解．【详解】（1）解：原式=3=3m（2）解：原式=====4518．（6分）简便计算：(1)2×(2)1−【答案】(1)20000(2)11【分析】本题主要考查了利用平方差公式和完全平方公式进行运算，解题的关键是熟练掌握平方差公式和完全平方公式．（1）先提取公因式2，再根据完全平方公式进行计算即可；（2）运用平方差公式进行变形进行计算即可．【详解】（1）解：2×=2=2=2×=20000；（2）解：1−===1119．（8分）（24-25八年级下·广东佛山·期中）阅读材料：要把多项式am+am+(1)请用上述方法因式分解：x2(2)已知a、b、c是△ABC三边的长，且满足a2+【答案】(1)x(2)△ABC【分析】本题考查了因式分解的应用，熟练掌握分组分解法分解因式是解题的关键．（1）利用分组分解法进行因式分解即可；（2）去括号展开后利用分组分解法进行因式分解即可求解．【详解】（1）解：x=(=(=(（2）解：aabb∴b=∴△ABC20．（8分）（24-25八年级下·江西景德镇·期末）先阅读材料，再回答问题：分解因式：a−解：将“a−b”看成整体，令a−b=M，则原式上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想．请你用整体思想解决下列问题：(1)因式分解：9+6x(2)因式分解：x2(3)若n为正整数，则n+2【答案】(1)(3+(2)x(3)见解析【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是仔细读题，从新定义中整理出进一步解题的有关知识．（1）将x+（2）先将前三项看作完全平方式，再利用平方差公式进行分解即可；（3）M=n2+5n，则原式=【详解】（1）解：9+6=(3+（2）解：x2=x=x（3）解：n=令n2则原式=M=M=M原式=n∵n∴n∴代数式n+221．（10分）（24-25八年级下·四川达州·期末）阅读与思考：把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式（形如a2例如：①用配方法因式分解：a2原式a2②求2x解：2∵x+32∴2x请根据上述材料解决下列问题．(1)用配方法因式分解：a2(2)求2x(3)已知实数x，y满足−x2+5x+【答案】(1)a(2)8(3)最小值是−338【分析】本题考查了因式分解的应用，非负数的性质：偶次方，解决本题的关键是按照题中示例解决问题．（1）按照示例①解答即可；（2）按照示例②解答为2x2−4x+10=2（3）根据−x2+5x+y−3=0，得出y=x【详解】（1）解：a====a（2）解：2=2=2=2x因为x−1所以x−1所以2x（3）解：∵−x∴y=代入x+2x==2=2=2=2因为x−所以x−所以当x=94时，x此时y=22．（10分）（24-25八年级下·广东深圳·期中）某学习小组对“分解因式”这一知识进行“再学习”，小亮将自己的学习成果进行了分享，他发现：在一个关于x的多项式中，如果x取某个值a使得这个多项式等于0，那么x−a是这个多项式的一个因式．利用这点可以对某些二次多项式进行分解因式．例如，在关于x的二次多项式x2−5x+6中，当x=2时，多项式等于0，于是它有一个因式是x−2，设x2(1)小颖根据小亮的分享，尝试解决以下问题：已知当x=1时，二次多项式x2−5x+4(2)小红问小亮，如果告诉你当x=5时，二次多项