北师大版数学八年级下册 第4章 因式分解·基础卷 同步练习 含答案

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第四章因式分解·基础通关建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．3．下列由左到右的变形属于因式分解的是（

）A． B．C． D．4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（）A． B． C． D．5．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个6．若，，则的值为（）A．1 B．3 C．6 D．97．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（

）A．－5 B．7 C．9 D．218．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（

）A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（

）A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数”C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：______．12．多项式中，各项的公因式是___________．13．若，则多项式应是______________．14．若，则的值为_____．15．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______．16．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）把下列各式因式分解：(1)；(2)．18．（6分）利用因式分解进行计算：(1)；(2)．19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得则∴解得：，∴另一个因式为，m的值为．问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；(2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解．20．（6分）已知，，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．21．（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子：①；②；③．(1)请结合上述三个式子的规律，写出式子：④__________；⑤__________；(2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________；(3)试证明（2）中的规律的正确性．22．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．(1)通过计算判断45是否为“完美数”；(2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．23．（8分）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下：一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：．请仔细阅读材料，回答下列问题：(1)填空：________；(2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？24．（12分）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解．解：原式第一步第二步第三步①提公因式法；②公式法．(1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）(2)请你按照上述方法分解因式：(3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状．25．（12分）【实践探究】在学习“因式分解”时，小安同学用如图1中编号分别为①②③④的四种长方体（含正方体）若干，进行数学实践探究．(1)若从中选取两个小长方体拼成一个如图2所示的大长方体，请根据体积的不同表示方法，写出一个代数恒等式_____；(2)【问题解决】若要拼成一个棱长为的正方体，其中②号长方体和③号长方体各需要多少个？试通过计算说明理由；(3)【拓展应用】如图3，从一个棱长为的正方体中挖出一个棱长为的正方体，直接写出因式分解的结果，并解答以下问题：已知和分别是两个大小不同的正方体的棱长，且满足等式，若为整数时，求的值．

2025-2026学年八年级下册数学单元自测第四章因式分解·基础通关建议用时：60分钟，满分：120分一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）1．把多项式分解因式，应提取的公因式是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本题主要考查了用提公因式法分解因式，找出多项式各项系数的最大公因数和变量的公共部分，组合即为公因式．【详解】解：∵多项式为中系数2和4的最大公因数为2，变量部分和的公共因子为，∴应提取的公因式为．故选：C．2．下列多项式中，能用平方差公式分解因式的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】需明确平方差公式的形式为，即多项式需是两个平方项的差（一正一负）．【详解】解：A选项：是两个平方项的和，不符合条件；B选项：，是两个平方项的和的相反数，不符合条件；C选项：，是两个平方项的差，符合平方差公式形式，可分解为，符合条件；D选项：中不是平方项，不符合条件．3．下列由左到右的变形属于因式分解的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据因式分解的定义，因式分解是把一个多项式转化为几个整式乘积的形式，据此判断各选项即可．【详解】解：因式分解的要求是将多项式最终变形为几个整式乘积的形式．选项A，是将整式乘积变形为多项式，属于整式乘法，不属于因式分解，该项错误；选项B，将多项式变形为两个整式和的乘积，符合因式分解的定义，该项正确；选项C，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误；选项D，变形后结果不是整式乘积的形式，该项错误．4．下面是小明做的因式分解的题：，其中有一部分被墨汁遮盖住了，则被遮盖住的式子是（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先将左边的式子提取公因式得，再通过对比即可求出被遮盖的式子．【详解】解：，∴被遮盖的式子为．5．下列多项式：①；②；③；④；⑤．其中能用完全平方公式因式分解的有（

）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】A【分析】本题根据完全平方式的结构特征：两数平方和，加上（或减去）两数乘积的2倍，逐一判断每个多项式是否符合该结构，即可得出结果．【详解】完全平方公式因式分解的结构要求为，逐一判断：①对于，①可以用完全平方公式因式分解；②

对于，完全平方结构要求中间项应为，不符合完全平方结构，②不能用完全平方公式分解；③对于，③可以用完全平方公式因式分解；④对于，完全平方结构要求中间项为，与原式不符，不能用完全平方公式分解；⑤对于，常数项为负数，无法写成两数平方和的形式，不符合完全平方结构，不能分解；综上，能用完全平方公式因式分解的多项式有①③共有2个．6．若，，则的值为（）A．1 B．3 C．6 D．9【答案】B【分析】先对所求代数式进行因式分解，再将已知的和的值整体代入计算即可得到结果，用到提取公因式法和完全平方公式．【详解】解：∵，又∵，，∴原式．7．在对二次三项式因式分解时，小刚看错了常数项，分解成，小明看错了一次项系数，分解成，则的值为（

）A．－5 B．7 C．9 D．21【答案】A【分析】此题主要考查了因式分解和多项式乘以多项式，解题的关键是掌握计算法则，正确确定原多项式．小刚看错常数项但一次项系数正确，从小刚分解可得；小明看错一次项系数但常数项正确，从小明分解可得，再求.【详解】解：∵小刚分解为，且看错常数项但一次项系数正确，∴.∵小明分解为，且看错一次项系数但常数项正确，∴.∴.故选：A．8．已知，，是一个三角形三边的长，则代数式的值（

）A．一定是负数 B．一定是正数 C．一定是零 D．可能是零【答案】A【分析】本题考查利用平方差公式进行因式分解的应用，熟练进行因式分解，再结合三角形的三边关系，判断每个因式的符号，进而判断积的符号是解题的关键．将代数式因式分解为平方差形式，利用三角形三边关系判断每个因式的正负，从而确定整个式子的符号.【详解】解：∵==又∵为三角形的三边，∴，，，∴，且，∴∴代数式的值一定为负数.故选：A．9．定义：任意两个数a，b，按规则扩充得到一个新数c，称所得的新数c为“鸿蒙数”．若，则b，c的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出，利用作差法比较大小即可．【详解】解：∵，∴，∴；∴．10．如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（

）A．所有“豫数”都是6的倍数 B．28是“豫数”C．50是“豫数” D．最小的“豫数”是2【答案】B【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误．【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，），∵“豫数”可表示为两个连续偶数的平方差，∴豫数豫数是乘以奇数．对选项逐一判断：A、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误；B、，符合“豫数”定义，选项正确；C、不是的倍数，不符合豫数的形式，选项错误；D、最小的“豫数”是，不是，选项错误．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）11．因式分解：______．【答案】【分析】利用平方差公式进行因式分解即可．【详解】解：．12．多项式中，各项的公因式是___________．【答案】3xy/【分析】本题考查了公因式，解题关键是能利用公因式的概念确定公因式．本题可以找出多项式各项系数的最大公约数和字母部分的最低次幂，取它们的积即可求解．【详解】解：多项式中，各项系数分别为9、3、，其最大公约数为3；各项均含有和，且的最低指数为1，的最低指数为1，因此公因式为，故答案为：13．若，则多项式应是______________．【答案】【分析】根据乘法与除法的互逆关系，可得为除以，对被除式运用平方差公式分解因式，进一步计算即可得到结果.【详解】解：∵，∴.14．若，则的值为_____．【答案】2035【分析】此题考查了因式分解的应用，将原式利用平方差公式分解，并代入已知条件，逐步化简即可求解．【详解】解：∵，∴．故答案为：2035．15．2025年“湘超”联赛益阳赛场在边线旁为球员设置长方形临时休息区，如图该休息区的周长为14，面积为（a、b分别为休息区的长和宽，），则的值为______．【答案】【分析】本题考查了求代数式的值，由题意可得，，则，整体代入所求式子计算即可得出结果，采用整体代入的思想是解此题的关键．【详解】解：由题意可得：，，∴，∴，故答案为：．16．山西平遥推光漆器以“推光、描金、镶嵌”闻名，某非遗工坊接到一批定制漆器礼盒订单，礼盒编号为四位数（，为的整数）．已知符合订单要求的礼盒编号能被15整除，且漆器工坊按编号从小到大依次生产，则生产的合格礼盒最小的编号是______．【答案】8070【分析】本题考查数的整除知识，灵活运用数的整除性质是解题关键．礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．被5整除要求个位数字为0或5；被3整除要求数字之和被3整除，即被3整除．为求最小编号，应分类讨论的取值（或），并比较两种情况下得到的最小编号，取其中较小者．【详解】解：礼盒编号为四位数，需被15整除，即同时被3和5整除．由被5整除，可知：或．若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为．若，则被3整除，即是3的倍数，所以，此时最小编号为8175，均大于8070．故最小编号为8070．故答案为8070．三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分）17．（6分）把下列各式因式分解：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】（1）原式直接提取公因式即可；（2）原式提取公因式后，再运用平方差公式解答即可．【详解】（1）解：；（2）解：．18．（6分）利用因式分解进行计算：(1)；(2)．【答案】(1)260(2)2009【分析】本题主要考查了运用提取公因式法分解因式、有理数乘法运算律等知识点，灵活运用提取公因式是解题的关键．（1）先把39分解成，然后提取公因式13，再进行计算求值即可；（2）先提取公因式，然后再运用有理数乘法运算律进行简便运算即可．【详解】（1）解：．（2）解：．19．（6分）仔细阅读下面例题，解答问题：例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值．解：设另一个因式为，得则∴解得：，∴另一个因式为，m的值为．问题：(1)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值；(2)已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解．【答案】(1)，5；(2)．【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可；（2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可．【详解】（1）解：设另一个因式为，得则，∴，由①得：，把代入②得：，∴另一个因式是，a的值为5；（2）解：设另一个因式为，得，则，∴，由①得：，把代入②得：，∴．20．（6分）已知，，求下列代数式的值：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)16(2)(3)32【分析】本题考查了已知式子的值，求代数式的值，平方差公式分解因式，完全平方公式分解因式，二次根式的乘法，二次根式的混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解．（1）先分别求出，，，再将待求式子变形后整体代入求值；（2）平方差公式分解因式，再整体代入求值；（3）将原式分组变形，用含，，的式子表示，再整体代入求值．【详解】（1）解：∵，，∴，，．∴．（2）解：．（3）解：．21．（8分）［核心素养］张老师在黑板上写了下列三个式子：①；②；③．(1)请结合上述三个式子的规律，写出式子：④__________；⑤__________；(2)用含（为正整数）的式子表示上述规律：__________；(3)试证明（2）中的规律的正确性．【答案】(1)(2)(3)证明见解析【分析】（1）由已知式子得到规律；（2）将规律进行总结即可；（3）由平方差公式因式分解即可证明．【详解】（1）解：由已知式子可得④；⑤；（2）解：由已知式子可得规律为；（3）证明：．22．（8分）若一个数能表示成（、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”，例如：因为，所以10是“完美数”，再如：（、是整数），所以也是“完美数”．(1)通过计算判断45是否为“完美数”；(2)已知（、是整数），要使为“完美数”，试求出符合条件的的值．【答案】(1)45是“完美数”(2)符合条件的的值为10【分析】（1）根据“完美数”的定义判断即可得出结果；（2）对进行配方，再结合“完美数”的定义计算即可得出结果．【详解】（1）解：∵，∴45是“完美数”；（2）解：，∵为“完美数”，∴，∴，∴符合条件的的值为10．23．（8分）整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下：一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：．请仔细阅读材料，回答下列问题：(1)填空：________；(2)若可分解为（a，b均为整数），求出整数p的所有可能值有哪些？【答案】(1)(2)7或或2或【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法．（1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘再相加得到，据此可得答案．（2）把展开，得出，，把分解成两个整数的乘积形式，即可得到整数的所有可能值．【详解】（1）解：由题意得，；（2）解：∵可分解为，∴，∴，，∵、为整数，且，∴或或或或或或或∴或或或或或或或∴整数p的所有可能值为7或或2或．24．（12分）瓜瓜在学习了因式分解之后，尝试对多项式进行因式分解．解：原式第一步第二步第三步①提公因式法；②公式法．(1)瓜瓜从第一步到第二步因式分解运用的方法是______法，第二步到第三步因式分解运用的方法是______法（从右框中分别选择一种方法填入序号）(2)请你按照上述方法分解因式：(3)应用：已知的三边长a、b、c满足条件：，试判断的形状．【答案】(1)②，①(2)(3)是等腰三角形或者直角三角形