北师大版数学八年级下册 期中学情自测·培优卷（范围：第1章-第4章） 含答案

八年级数学下学期期中学情自测·培优卷【新教材北师大版】时间：120分钟满分：120分测试范围：第1章三角形的证明及其应用~第4章因式分解姓名：___________班级：___________考号：___________考卷信息：本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟．本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（

）A． B． C． D．2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（

）A．a+ba−b=aC．x2−2xy+y3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若a<b，则下列不等式变形正确的是（

）A．a+1<b−1 B．−a<−b C．−1+a<−1+b D．−4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为8cm2，则阴影部分面积等于（

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm25．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（

）A．8 B．12 C．15 D．216．若关于x的不等式组x−23≤mx−1>4m无解，则mA．m>1 B．m≥1 C．m<1 D．m≤17．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：8xm密文…m−nm+nx−yx+y8x…明文…恩爱施美我丽…把密文8xm2−A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=7，则CF的长为（A．4 B．3.5 C．2 D．19．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60cm，则它的面积为（

A．60cm2 B．80cm2 C．10．（25-26八年级上·天津·期末）如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）A．∠ABD=∠ACM B．CN⊥ABC．CM=CD D．AD=CD二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．关于x的方程3x+a=x+7的解是正数，则a的取值范围是___________．12．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长6cm，它们的面积相差60cm2，则这两个正方形的边长之和为13．如图，BD平分∠ABC，∠ADB=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，则△ABD是____三角形．14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，3×3网格由9个边长为1的小正方形组成，以点D为圆心，CD长为半径画圆弧交数轴于点C′，则点C′表示的实数为15．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，如果∠BAD=40°，AD=AE，则∠EDC=______°16．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，AC两条路可到达公路．经测量AC=30m，AB=40m，BC=50m，现需新修建一条从学校A到公路的路，则学校A到公路的最短距离AD为三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：(1)2x+y(2)p−418．（6分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）：(1)1−3x−1(2)x+2>02(x+3)>5x−319．（8分）如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A−2,−4，B0,−4，(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A(3)写出B2、C20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为94cm的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约1.2cm，艺术类图书每本厚约(1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？(2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？21．（10分）先阅读材料，再回答问题：材料：分解因式：a+1+a解：a+1+a====回答问题：(1)材料中最后一步分解因式的结果是___________．(2)分解因式：a+1+aa+1(3)分解因式：a+1+aa+1(4)若x+1+xx+1+xx+122．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm,BC=6dm，AC=10(1)AB与BC垂直吗？请说明理由；(2)据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm，求支架AD23．（12分）24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长，交AD的延长线于点F．(1)求∠F的度数；(2)过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交AD于点H，求证：(3)若AF=a，EF=b，则CE的长为______（用含a，b的式子表示）．24．（12分）（24-25八年级上·宁夏银川·期中）请回忆北师大版八年级上册数学教材的部分内容，该内容阐述了垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两端点距离相等；并给出了证明的方法．(1)结合图①，用几何语言表示上述定理几何语言：​∵∴（）(2)如图②，在△ABC中，直线m、n分别是边BC、AC的垂直平分线，直线m、n交于点O，过点O作OH⊥AB于点H．求证：AH=BH．(3)如图③，在△ABC中，AB=BC，边AB的垂直平分线交AC于点D，边BC的垂直平分线交AC于点E．若∠ABC=120°，AC=9，求

八年级数学下学期期中学情自测·培优卷【新教材北师大版】参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（25-26九年级上·浙江台州·期末）巴黎奥运会项目图标传递“荣誉徽章”理念，下列图标中，是中心对称图形的为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据中心对称图形概念：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此求解即可．【详解】解：根据概念可知，A、B、C不是中心对称图形；D是中心对称图形．故选：D．2．（25-26八年级上·福建泉州·期末）下列各等式中，从左到右的变形是因式分解且分解正确的是（

）A．a+ba−b=aC．x2−2xy+y【答案】D【分析】本题考查了因式分解，根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），结合因式分解的方法逐一判断选项．【详解】解：∴A选项是整式乘法，从整式的积化为多项式，不符合因式分解定义，错误；∵B选项右边是整式与常数的和，不是整式的积的形式，不符合因式分解定义，错误；∵C选项中x2∵D选项中，提取公因式x+2，xx+2∴故选：D．3．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）若a<b，则下列不等式变形正确的是（

）A．a+1<b−1 B．−a<−b C．−1+a<−1+b D．−【答案】C【分析】不等式的两边同时加上（减去）同一个数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个正数，不等式的方向不变；不等式的两边同时乘以（除以）同一个负数，不等式的方向改变．【详解】解：∵a<b，∴a+1<b+1，−a>−b，−1+a<−1+b，−a故只有选项C变形正确，符合题意．4．（25-26八年级上·江苏扬州·期末）如图，在△ABC中，已知点D、E、F分别为边BC、AD、CE的中点，且△ABC的面积为8cm2，则阴影部分面积等于（

A．1cm2 B．2cm2 C．3cm2【答案】B【分析】本题主要考查了三角形的中线的性质，根据三角形的中线平分三角形的面积可得S△BEF=12S△BEC，【详解】解：∵点F是CE的中点，∴S△BEF∵E是AD的中点，∴S△BDE∴S∴S△EBC∴S△BEF∵S∴S△BEF=2cm故选：B．5．若一个三角形的两边长分别是7，14，则它的第三边长不可能是（

）A．8 B．12 C．15 D．21【答案】D【分析】先根据定理求出第三边长的取值范围，再判断哪个选项不符合范围即可．【详解】解：设三角形的第三边长为x，∵两边长分别为7和14，∴14−7<x<14+7，即7<x<21，∴第三边长不可能是21．6．若关于x的不等式组x−23≤mx−1>4m无解，则mA．m>1 B．m≥1 C．m<1 D．m≤1【答案】B【分析】先分别解不等式组中两个不等式得到x的解集，再根据不等式组无解的条件得到关于m的不等式，求解即可得到m的取值范围．【详解】解：解第一个不等式x−2两边同乘3得x−2≤3m，移项得x≤3m+2；解第二个不等式x−1>4m，移项得x>4m+1，∵不等式组无解，∴可得4m+1≥3m+2．解得m≥1，所以m的取值范围是m≥1．7．（25-26八年级上·湖北恩施·期末）某课外密码研究小组接收到一条密文：8xm密文…m−nm+nx−yx+y8x…明文…恩爱施美我丽…把密文8xm2−A．美丽恩施 B．我爱恩施 C．我爱美丽 D．恩爱美丽【答案】B【分析】本题考查因式分解的应用，关键是熟练应用知识点解题；通过提取公因式法和平方差公式对密文进行因式分解，再对应密码手册得到明文．【详解】解：∵原式=8x=8=8∵根据密码手册：8对应“我”，x−y对应“施”，m+n对应“爱”，m−n对应“恩”，∴组合后明文可能为“我爱恩施”，故选：B．8．（25-26八年级上·江西赣州·期末）如图，在四边形ABCD中，AB=AD=12，BC=DC，∠A=60°，点E在AD上，连接BD，CE相交于点F，CE∥AB．若CE=7，则CF的长为（A．4 B．3.5 C．2 D．1【答案】C【分析】连接AC交BD于点O，由题意可证AC垂直平分BD，△ABD、△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形可得AE=CE=7，易得EF=DE=5，再根据线段的和差计算即可．【详解】解：如图：连接AC交BD于点O，∵AB=AD=12，BC=DC，∠BAD=60°，∴AC垂直平分BD，△ABD是等边三角形，∠CAB=∠CAD=1∴∠ADB=60°,∵CE∥∴∠BAD=∠DEF=60°，∠CAB=∠CAE=∠CAD=30°,∴△DEF是等边三角形，△AEC是等腰三角形,∴AE=CE=7，∴EF=DE=AD−AE=12−7=5，∴CF=CE−EF=7−5=2．9．（25-26八年级下·全国·课后作业）若一个三角形的三条边长之比为5:12:13，周长为60cm，则它的面积为（

A．60cm2 B．80cm2 C．【答案】D【分析】设三边长为5x，12x，13x，根据周长求出x，再验证是否为直角三角形，最后计算面积．本题主要考查勾股定理的逆定理的理解与运用，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．【详解】解：∵三边之比为5:12:13，∴设三边分别为5xcm，12xcm，∵周长为60cm∴5x+12x+13x=60，∴x=2．∴三边分别为10cm，24cm，∵102∴三角形为直角三角形，直角边为10cm和24∴面积为12故选：D．10．（25-26八年级上·天津·期末）如图，BD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点C为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点H；③以点H为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点G；④作射线CG，与BD相交于点M，与边AB相交于点N．则下列结论一定正确的是（

）A．∠ABD=∠ACM B．CN⊥ABC．CM=CD D．AD=CD【答案】C【分析】本题主要考查了尺规作图，等角对等边，三角形外角的性质．由作法可得：∠BCN=∠A，再结合三角形外角的性质，等角对等边解答即可．【详解】解：由作法得：∠BCN=∠A，∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠BCD=∠BCN+∠ACN根据题意无法得到∠BDC与∠BCD相等，∴无法确定∠ABD与∠ACN的大小关系，故A选项错误；根据题意无法证明CN⊥AB，故B选项错误；∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ABD+∠A=∠CBD+BCM，∴∠BDC=∠CMD，∴CM=CD，故C选项正确；根据题意无法得到AD，CD的大小关系，故D选项错误；故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分）11．关于x的方程3x+a=x+7的解是正数，则a的取值范围是___________．【答案】a<7【分析】求出方程的解，根据方程的解是正数得出x=7−a【详解】解：3x+a=x+7，3x−x=7−a，2x=7−a，x=7−a∵x的方程3x+a=x+7的解是正数，∴x=7−a解得a<7．12．（25-26九年级上·四川成都·期末）正方形I的边长比正方形Ⅱ的边长长6cm，它们的面积相差60cm2，则这两个正方形的边长之和为【答案】10【分析】本题考查了平方差公式因式分解，准确熟练地进行计算是解题的关键．设正方形I的边长为acm，正方形Ⅱ的边长为bcm，根据题意得a−b=6和a2【详解】解：设正方形I的边长为acm，正方形Ⅱ的边长为bcm，则由面积差得a2根据平方差公式，a2代入a−b=6，得6a+b所以a+b=60故这两个正方形的边长之和为10故答案为：10．13．如图，BD平分∠ABC，∠ADB=60°，∠BDC=80°，∠C=70°，则△ABD是____三角形．【答案】直角【分析】通过三角形的内角和等于180°，计算∠DBC，再利用角平分线的定义得到∠ABD，根据直角三角形的判定定理即可得到答案．【详解】解：∠DBC=180°−∠BDC−∠C=30°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=30°，∵∠ABD+∠ADB=90°，∴△ABD是直角三角形．14．（25-26七年级上·浙江台州·期末）如图，3×3网格由9个边长为1的小正方形组成，以点D为圆心，CD长为半径画圆弧交数轴于点C′，则点C′表示的实数为【答案】5【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理的应用．根据勾股定理可得DC【详解】解：由题意得，DC∴点C′表示的实数为5故答案为：5．15．（24-25八年级上·安徽马鞍山·期末）在△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，如果∠BAD=40°，AD=AE，则∠EDC=______°【答案】20【分析】先推导出∠CAD=∠BAD=40°，∠ADC=90°，进而求出∠ADE=12180°−∠DAC【详解】解：在△ABC中，D为BC中点，AB=AC，∠BAD=40°，BD=DC，∴∠CAD=∠BAD=40°，AD⊥BC，∴∠ADC=90°，又∵AD=AE，∴∠ADE=1∴∠EDC=∠ADC−∠ADE=90°−70°=20°．16．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走AB，AC两条路可到达公路．经测量AC=30m，AB=40m，BC=50m，现需新修建一条从学校A到公路的路，则学校A到公路的最短距离AD为【答案】24【分析】由勾股定理逆定理得出∠BAC=90°，再根据S△ABC【详解】解：∵302∴AC∴∠BAC=90°，∵S△ABC∴12∴AD=24m三、解答题（本大题共8小题，满分72分）17．（6分）（25-26八年级下·辽宁鞍山·开学考试）分解因式：(1)2x+y(2)p−4【答案】(1)3(2)p−2【分析】（1）先识别式子为平方差公式，利用平方差公式分解，再合并同类项并提取公因式；（2）先展开多项式乘积，合并同类项化简式子，再利用完全平方公式分解因式．【详解】（1）解：原式====3x+y（2）解：原式====p−218．（6分）（24-25八年级下·陕西西安·期中）解不等式（组）：(1)1−3x−1(2)x+2>02(x+3)>5x−3【答案】(1)x<−1(2)−2<x<3【分析】（1）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为1解不等式即可（2）先分别求出两个不等式的解集，进一步求出公共解集，然后即可求解．【详解】（1）解：1−3x−1去分母，得2−3x−1去括号，得2−3x+1>6，移项，合并同类项，得−3x>3，化系数为1，得x<−1；（2）x+2>0①解不等式①，得x>−2，解不等式②，得x<3，∴不等式组的解集为−2<x<3．19．（8分）如图所示的直角坐标系中，△ABC各顶点的坐标分别是A−2,−4，B0,−4，(1)在图中画出△ABC向左平移3个单位后的△A(2)在图中画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°后的△A(3)写出B2、C【答案】(1)图见解析(2)图见解析(3)B2、C2的坐标分别为4,0【分析】（1）根据平移变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出△A（2）根据旋转变换的性质作出对应的点，再顺次连接即可得出△A（3）根据已作的图形进行求解即可．【详解】（1）解：如图所示，△A（2）解：如图所示，△A（3）解：由作图可得，B2、C2的坐标分别为4,0、20．（8分）（25-26八年级上·山东菏泽·期末）《义务教育语文课程标准》（2022年版）提出：初中阶段的阅读量不少于260万字．为此，学校图书馆计划购置一批图书以满足学生的阅读需求．如图是长为94cm的单格书架，在该书架上按图示的方法摆放文学类和艺术类图书，其中文学类图书每本厚约1.2cm，艺术类图书每本厚约(1)若在该书架上，文学类图书已经摆放了20本，剩余空间都摆放艺术类图书，则艺术类图书最多还可以摆放多少本？(2)现有文学类和艺术类图书共100本放置在该书架上，根据摆放要求，艺术类图书数量不多于文学类图书数量的2倍，请问有哪几种摆放方案？【答案】(1)87本(2)共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书【分析】本题考查了一元一次不等式（组）的实际应用，解题的关键是正确理解题意，建立不等式（组）求解．（1）设艺术类图书还可以摆放x本，根据文学类图书的厚度+艺术类图书的厚度小于等于94建立不等式求解；（2）设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放100−m本，根据题意建立不等式组求解整数解即可．【详解】（1）解：设艺术类图书还可以摆放x本，根据题意得：1.2×20+0.8x≤94，解得：x≤175又∵x为正整数，∴x=87．∴艺术类图书最多还可以摆放87本（2）解：设文学类图书摆放m本，则艺术类图书摆放100−m本，根据题意得：1.2m+0.8100−m解得：1003又∵m为正整数，∴m可以为34，35，∴共有2种摆放方案，方案1：摆放34本文学类图书，66本艺术类图书；方案2：摆放35本文学类图书，65本艺术类图书．21．（10分）先阅读材料，再回答问题：材料：分解因式：a+1+a解：a+1+a====回答问题：(1)材料中最后一步分解因式的结果是___________．(2)分解因式：a+1+aa+1(3)分解因式：a+1+aa+1(4)若x+1+xx+1+xx+1【答案】(1)(a+1)(2)(a+1)(3)(a+1)(4)1【分析】（1）提公因式即可解题；（2）根据因式分解的方法解题即可；（3）结合（1）（2）中的规律即可得到结论；（4）根据（3）中的结论解方程即可．【详解】（1）解：a+12（2）解：a+1+a====a+1（3）解：由（1）（2）可知，a+1+aa+1（4）解：x+1+xx+1∴x+16∴x+1=2，解得x=1．22．（10分）（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架AB与小腿支架BC需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：AB=8dm,BC=6dm，AC=10(1)AB与BC垂直吗？请说明理由；(2)据设计人员介绍，支架的CD比AD长2dm，求支架AD【答案】(1)AB与BC垂直，理由见详解(2)AD=24【分析】本题主要考查勾股定理逆定理及勾股定理，熟练掌握勾股定理逆定理及勾股定理是解题的关键；（1）根据题意易得AB（2）由题意可设AD=xdm，则有CD=【详解】（1）解：AB与BC垂直，理由如下：∵AB=8dm,BC=6dm∴AB∴AB⊥BC；（2）解：由题意可设AD=xdm，则有CD=∵∠CAD=90°，∴AC2+A解得：x=24，∴AD=24dm23．（12分）24-25八年级上·湖北武汉·期中）如图，在等边△ABC中，点D为BC边上一点，将△ABD沿AD翻折得到△AED，连接CE并延长，交AD的延长线于点F．(1)求∠F的度数；(2)过点D作DG∥AC交AB于点G，连接EG交AD于点H，求证：(3)若AF=a，EF=b，则CE的长为______（用含a，b的式子表示）．【答案】(1)∠F=60°(2)见解析(3)a−2b【分析】（1）证出∠AEC=∠ACE．设∠BAD=∠EAD=α，则∠EAC=60°−2α，由三角形外角的性质可得答案；（2）连接DE．证明△BGD是等边三角形，得出∠AGD=120°，BG=BD，证明△AGH≌△CDFASA，由全等三角形的性质得出GH=DF（3）过点A作AM⊥CF于点M，证出∠FAM=30°，得出FM=12AF=【详解】（1）解：由折叠得，∠BAD=∠EAD，AE=AB，∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°,AB=AC=BC，∴AE=AB=AC，∴∠AEC=∠ACE．设∠BAD=∠EAD=α，则∠EAC=60°−2α，∴∠AEC=∠ACE=60°+α，∴∠F=∠AEC−∠DAE=60°．（2）证明：∵∠B=∠F=6