2026-2027学年度北师大版数学八年级上学期期中质量检测试题含答案

—2027学年度八年级上学期期中质量检测数学试题（北师大版2024）【考试范围：一至四章满分：120分，时间：100分钟】注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.选择题和填空题的答案必须填写在答题卡指定位置，解答题必须写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.在下列各组数中，能作为直角三角形三边长的是（）A.1，2，3B.6，8，10C.7，24，26D.4，5，62.下列实数中，属于无理数的是（）A.0.3B.9C.π2D.3.在平面直角坐标系中，点P(−3，2)关于x轴对称的点的坐标是（）A.(3，2)B.(−3，−2)C.(3，−2)D.(2，−3)4.a、b在数轴上的位置如图所示，那么化简的结果是()A. B.a C. D.5.关于一次函数y=−2x＋3，下列结论正确的是（）A.图象经过第一、二、三象限B.y随x的增大而增大C.图象与y轴交于点(0，3)D.图象与x轴交于点(3，0)6.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4。以点A为圆心，AC长为半径画弧，交斜边AB于点D，则BD的长为（）A.1B.1.5C.2D.2.57.若m=10−1，则m的值在（）A.1和2之间B.2和3之间C.3和4之间D.4和5之间8.将直线y=3x−2向上平移4个单位长度后，所得直线的函数表达式为（）A.y=3x＋2B.y=3x−6C.y=7x−2D.y=−x＋29.如图，在长方体中，，，，点Q在棱上，，现有一只蚂蚁从点A开始，沿着长方体的表面爬行到点Q，则它爬行的最短距离是()A. B. C. D.10.如图,直线与x轴、y轴分别交于点A、B,点C为直线l上一点,且纵坐标为3,点D为的中点,点P为上一动点,当最小时,点P的坐标是()A. B. C. D.二、填空题：（本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填在对应的横线上）11.16的平方根是__________。12.若一次函数y=kx＋b的图象经过点(1，3)和(0，1)，则k=__________。13.如图,在中,,平分,,,,则______.14.已知a、b为两个连续的整数，且a＜15＜b，则a＋b=__________。15.在平面直角坐标系中，点A(0，4)，点B(3，0)，点P是x轴上的一个动点。当△ABP是以AB为腰的等腰三角形时，点P的坐标为__________。三、解答题（本大题共8小题，共计75分，解答题应写出演算步骤或证明过程）16.（本小题8分）计算：（1）12−3＋13；（2）(5＋2)(5−2)＋(-3)2。17.（本小题8分）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知三个定点坐标分别为，，.(1)画出关于x轴对称后的图形，并写出各点的坐标.______，______，______.(2)画出点C关于直线对称的点以及求出的坐标，连接，，，并求出的面积.18.（本小题9分）如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13。图四边形ABCD（1）求AC的长；（2）判断△ACD的形状，并说明理由；（3）求四边形ABCD的面积。19.（本小题9分）已知2a−1的平方根是±3，3a＋b−1的算术平方根是4，c是13的整数部分。（1）求a、b、c的值；（2）求a＋2b−c的立方根。20.（本小题10分）教材在探索平方差公式时利用了面积法，面积法除了可以帮助我们记忆公式，还可以直观地推导或验证公式，俗称“无字证明”，例如，著名的赵爽弦图(如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为a，较小的直角边长都为b，斜边长都为c)，大正方形的面积可以表示为c)，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为a，b，斜边长为c，则.(1)图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理；(2)如图③，在中，是边上的高，，，，设，求x的值.21.（本小题10分）在弹性限度内，弹簧的长度y（cm）是所挂物体质量x（kg）的一次函数。一根弹簧不挂物体时长12cm；当所挂物体的质量为2kg时，弹簧长16cm。（1）求y与x之间的函数表达式；（2）当所挂物体的质量为5kg时，求弹簧的长度；（3）若弹簧的长度不得超过22cm，求所挂物体质量的最大值。22.（本小题10分）阅读材料：在实数范围内，我们定义一种运算"⊕"：当a≥b时，a⊕b=a−b；当a＜b时，a⊕b=a＋b。例如：5⊕3=5−3=2；2⊕6=2＋6=8。根据上述材料，解答下列问题：（1）计算：8⊕2；（2）若x⊕3=5，求x的值；（3）若m、n是实数，且m⊕n=n⊕m，请直接写出m与n的大小关系。23.（本小题11分）如图，在平面直角坐标系中，直线l₁：y=2x＋4与x轴交于点A，与y轴交于点B。直线l₂经过点A，且与y轴交于点C(0，−2)。图两条直线的位置关系（1）求点A、B的坐标及直线l₂的函数表达式；（2）点P是直线l₁上的一个动点，若△PAC的面积为6，求点P的坐标；（3）在（2）的条件下，点Q是x轴上的一个动点，直接写出使PQ＋QC取得最小值时点Q的坐标。

参考答案与评分标准一、选择题（每小题3分，共30分）题号12345678910答案BCBBCCBACC部分解析：1.B。6²＋8²=100=10²，满足勾股定理逆定理。C项7²＋24²=625≠26²；D项4²＋5²=41≠6²。2.C。π2是无限不循环小数，为无理数；0.3是小数、9=3、223.B。关于x轴对称，横坐标不变、纵坐标变号：(−3，−2)。4.B。解析：由题意可知，，，所以，，原式.5.C。k=−2＜0，y随x增大而减小；b=3＞0，图象经过第一、二、四象限；与y轴交于点(0，3)，与x轴交于(32，0)6.C。由勾股定理AB=3²+4²=5。AD=AC=3，所以BD=AB−AD=2。7.B。10≈3.16，10−1≈2.16，在2和3之间。8.A。向上平移4个单位，y=3x−2＋4=3x＋2。9.C。当长方体侧面按图1展开时，线段的长度为点A点Q的最短距离，过点Q作于点M，则，，，∵，∴，∴，∴，∴；当长方体侧面按图2展开时，线段的长度为点A点Q的最短距离，∵，，∴，∴；∵，∴蚂蚁爬行的最短距离是，10.C。如图,作点D关于原点的对称点,连接、,,,当点B、P、三点共线时,最小,此时与x轴交点为点P,直线与y轴交于点B,当时,,,点D为的中点,,,点C为直线l上一点,且纵坐标为3,,解得：,,设直线的解析式为,则,解得：,直线的解析式为,当时,,解得：,点P的坐标是,二、填空题（每小题3分，共15分）11.±4解析：16的平方根为±4。12.2解析：由两点得k＋b=3，b=1，解得k=2。13.解析：过点D作于点E,,平分,,,在与中,,,,设,,,,,,在中,,即,解得,.14.7解析：3＜15＜4，所以a=3，b=4，a＋b=7。15.(−3，0)或(8，0)或(−2，0)解析：AB=3²+4²=5。①当AP=AB=5时，设P(x，0)，由x²＋4²=25得x=±3，P(3，0)与B重合舍去，得P(−3，0)；②当BP=AB=5时，设P(x，0)，由(x−3)²=25得x=8或−2，得P(8，0)、P(−2，0)。综上，P(−3，0)、(8，0)、(−2，0)。三、解答题（共75分）16.（8分）（1）原式=23−3＋33……（=3＋33……（3=433。……（（2）原式=5−4＋(-3)2……（6=1＋9=10。……（8分）评分说明：第（1）问每个根式化简2分、合并2分；第（2）问平方差公式2分、乘方计算2分。17.（8分）答案：(1)图形见解析，，，(2)图形见解析，；面积为8解析：(1)如图所示，即为所求，∴，，；(2)如图所示，即为所求：∵点C关于直线对称的点为点，∴点的坐标为，∵，，∴，，，∴.评分说明：第（1）问画图正确2分、坐标2分；第（2）坐标1分、最小值3分。18.（9分）（1）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=3²+4²=5。……（3分）（2）△ACD是直角三角形。……（1分）理由：AC²＋CD²=5²＋12²=25＋144=169=13²=AD²，即AC²＋CD²=AD²，所以△ACD是以AD为斜边的直角三角形（∠ACD=90°）。……（3分）（3）S四边形ABCD=S△ABC＋S△ACD=12×3×4＋12×5×12=6＋30=36。……（评分说明：第（1）问3分；第（2）问判断1分、理由2分；第（3）问每个面积1分。19.（9分）（1）因为2a−1的平方根是±3，所以2a−1=9，解得a=5。……（2分）因为3a＋b−1的算术平方根是4，所以3a＋b−1=16。代入a=5，得15＋b−1=16，解得b=2。……（2分）因为3＜13＜4，所以c=3。……（2分）（2）a＋2b−c=5＋4−3=6。……（1分）6的立方根为36。……（2评分说明：第（1）问每个值2分；第（2）问代数式1分、立方根2分。20.（10分）(1)见解析(2)解析：(1)梯形的面积为，也可以表示为，∴，即.(2)设，在中，；在中，；所以，解得.评分说明：第（1）问5分；第（2）问设元与方程3分、解方程2分。21.（10分）（1）设y=kx＋b。当x=0时y=12，所以b=12。当x=2时y=16，所以2k＋12=16，解得k=2。因此y=2x＋12。……（4分）（2）当x=5时，y=2×5＋12=22（cm）。……（3分）（3）由2x＋12≤22，得2x≤10，x≤5。所以所挂物体质量的最大值为5kg。……（3分）评分说明：第（1）问表达式4分；第（2）问3分；第（3）问3分。22.（10分）（1）因为8＞2，所以8⊕2=8−2。……（3分）（2）分两种情况：若x≥3，则x⊕3=x−3=5，得x=8，满足x≥3；若x＜3，则x⊕3=x＋3=5，得x=2，满足x＜3。所以x=8或x=2。……（4分）（3）m=n。……（3分）评分说明：第（1）问3分；第（2）问两种情况各2分；第（3）问3分。23.（11分）（1）令y=0，得x=−2，所以A(−2，0)；令x=0，得y=4，所以B(0，4)。……（2分）设直线l₂：y=kx＋b。它经过A(−2，0)、C(0，−2)，所以b=−2，−2k−2=0，解得k=−1。因此l₂：y=−x−2。……（3分）（2）设P(t，2t＋4)。l₁与y轴交于B(0，4)，l₂与y轴交于C(0，−2)，BC=6。……