2026-2027学年天津市宁河区芦台第一中学高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市宁河区芦台第一中学高三（上）月考数学试卷（10月份）一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知集合U={x∈N|x≤3}，A={1,3}，B={x|x2+x−6=0}，则(A.{−2,0,2,3} B.{−3,2} C.{−3,2,4} D.{−3,0,2}2.设a，b∈R，则2a>2b是a>|b|A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件3.函数f(x)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式可能是(

)A.f(x)=(x−1x)cosx

B.f(x)=(x+1x)sinx4.已知a<b<0，那么下列不等式成立的是(

)A.1a<1b B.ab<b25.已知a=50.6，b=log30.6，c=(14)−0.3，则A.b<a<c B.b<c<a C.c<b<a D.a<c<b6.已知m，n是空间两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题错误的为(

)A.若m⊥β，m⊂α，则α⊥β B.若m⊥α，n⊥α，则m//n

C.若m//α，m//β，则α//β D.若m//n，m⊥α，则n⊥α7.在外接圆半径为23的△ABC中，∠ABC=60°，若符合上述条件的三角形有两个，则边AB的长可能为(

)A.33 B.6 C.38.下列函数中，是偶函数且在(0,+∞)有最小值的是(

)A.y=e−|x| B.y=ex2−2|x|9.已知函数f(x)=xlnx−2x,x>0x2+32x,x≤0的图像上有且仅有四个不同的点关于直线y=−1对称的点在A.(14,38) B.(二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.i是虚数单位，复数9+2i2+i的虚部为

．11.已知α，β满足sin(2α+β)=512,cos(α+β)sinα=1412.设函数f(x)=cos4x−2sinxcosx−sin4x，则下列结论

①f(x)=2sin(2x−π4)

②f(x)的图象可由y=2cos2x图象向左平移π8个单位得到

③函数f(−x2)的单调递增区间为13.已知平面向量a,b为单位向量且a⋅b=13.若平面向量c满足|14.若a>0，b>0，c>0且b+c=1，则3ab2+abc+5415.已知点O(0,0)，点A(1,0)，点B(0,1)，点P满足OP=xOA+(2−x)OB，其中x∈[0,2]，由所有点P组成的线段为CD的长度为

，AP⋅(PC三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

已知函数f(x)=23sinx⋅cosx+2cos2x−1．

(1)求f(x)的最小正周期；

(2)求f(x)单调递减区间；

(3)当x∈[−17.(本小题15分)

如图，在三棱锥P−ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥AC，D，E，F分别是棱AB，BC，PC的中点，AB=AC=1，PA=2．

(1)证明：PB//平面DEF；

(2)求直线PA与平面DEF所成角的正弦值；

(3)求点C到平面DEF的距离．18.(本小题15分)

已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(2c−b)cosA=acosB．

(1)求A的值；

(2)若△ABC的面积为332，sinB=3sinC，求a的值；

(3)若cosB=119.(本小题15分)

如图，在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，侧棱A1A⊥底面ABCD，AB⊥AC，AB=1，AC=AA1=2，AD=CD=5，且点M和N分别为B1C和D1D的中点．

(1)求证：MN//平面ABCD；

(2)求平面20.(本小题16分)

已知函数f(x)=ex−ax2−bx−1．

(1)若a=0，b=1，证明：f(x)≥0；

(2)若a=12，且对任意x≥0，f(x)≥0，求b的取值范围；

(3)若f(x)1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】B

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】−1

11.【答案】−112.【答案】3

13.【答案】414.【答案】24

15.【答案】21

16.【答案】解：(1)由题意得f(x)=23sinxcosx+2cos2x−1

=3sin2x+cos2x

=2(32sin2x+12cos2x)

=2sin(2x+π6)，

可得函数f(x)的最小正周期为2π2=π；

(2)令π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z，

解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z，

所以函数f(x)的单调递减区间为[π6+kπ,2π3+kπ]，k∈Z；17.【答案】解：(1)证明：在△PBC中，因为E，F分别是BC，PC的中点，所以EF/​/PB．

因为EF⊂平面DEF，PB⊄平面DEF，

所以PB/​/平面DEF．

(2)因为PA⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥AC．

因为AB⊥AC，所以AB，AC，AP两两垂直．

以点A为坐标原点，AB，AC，AP所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

因为AB=AC=1，PA=2，D，E，F分别是棱AB，BC，PC的中点，

所以A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)，D(12,0,0)，E(12,12,0)，F(0,12,1)，

所以AP=(0,0,2)，DE=(0,12,0)，DF=(−12,12,1)．

设平面DEF的法向量为n=(x,y,z)，

则DE⋅n=y2=0,DF⋅n=−12⋅x+y2+z=0.令z=1，则y=0，x=2，所以18.【答案】解：(1)已知(2c−b)cosA=acosB，

根据正弦定理可得(2sinC−sinB)cosA=sinAcosB，

因此2sinCcosA=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sin(π−C)=sinC．

因为C∈(0,π)，所以sinC≠0，因此cosA=12．

又因为A∈(0,π)，因此A=π3．

(2)根据(1)知A=π3，因此sinA=32．

由于sinB=3sinC，因此b=3c．

由于S△ABC=12bcsinA=12×3c2×32=332，所以19.【答案】解：(1)证明：在四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，如图，以A为原点建立空间直角坐标系，

依题意A(0,0,0)，B(0,1,0)，C(2,0,0)，D(1,−2,0)，

A1(0,0,2)，B1(0,1,2)，C1(2,0,2)，D1(1,−2,2)，

因为M和N分别为B1C和D1D的中点，得M(1,12,1),N(1,−2,1)，

则MN=(0,−52,0)；

平面ABCD的法向量为n=(0,0,1)，MN⋅n=0×0+(−52)×0+0×1=0；

因为直线MN⊄平面ABCD，所以MN/​/平面ABCD．

(2)AD1=(1,−2,2)，C(2,0,0)，AB1=(0,1,2)，

设n1=(x1,y1,z1)为平面ACD1的法向量，

则n1⋅AC=2x1=0n1⋅AD1=x1−2y1+2z1=020.【答案】解：(1)证明：当a=0，b=1时，f(x)=ex−x−1，f′(x)=ex−1．

令f′(x)=0，得x=0．

当x∈(−∞,0)时，f′(x)<0，f(x)是单调递减函数；

当x∈(0,+∞)时，f′(x)>0，f(x)是单调递增函数．

则f(x)min=f(0)=0，即f(x)≥0；

(2)当a=12时，f(x)=ex−12x2−bx−1，易得f(0)=0，

f′(x)=ex−x−b，f′(0)=1−b，

当b≤1时，结合(1)易得f′(x)=ex−x−b≥ex−x−1≥0，

所以f(x)在[0,+∞)上是单调递增函数，

所以f(x)≥f(0)=0，符合题意．

当b>1时，令g(x)=f′(x)=ex−x−b，x∈[0,+∞)．

因为g′(x)=ex−1≥0，所以g(x)递增．

又g(0)=1−b<0，由(1)得ex≥x+1，将x换作x−1可得ex−1≥x，即ex≥ex，

所以g(be−1)=ebe−1−be−1−b≥e⋅be−1−be−1−b=0，

所以存在唯一的x0∈(0,be−1]，使得g(x0)=f′(x0)=0．

当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则f(x)<f(0)