北京亦庄实验中学2026-2027学年高二（上）教与学质量检测数学试卷（Ⅰ）（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京亦庄实验中学高二（上）教与学质量检测数学试卷（Ⅰ）一、单项选择题：本大题共10小题，共40分。1.若α，β表示不同的平面，平面α的一个法向量为，平面β的一个法向量为，则平面α与平面β（）A.平行 B.垂直 C.相交 D.不确定2.已知空间直角坐标系O-xyz中的点A（1，-2，3）关于yOz平面的对称点为B，则|AB|为（）A.2 B.4 C.6 D.以上都不对3.以点（1，0）为圆心，半径为2的圆的方程为（）A.x2+y2-2x-1=0 B.x2+y2+2x-1=0 C.x2+y2-2x-3=0 D.x2+y2+2x-3=04.已知A（0，0，2），B（1，0，2），C（0，2，0），则点A到直线BC的距离为（）A. B.1 C. D.25.圆（x+2）2+y2=4与圆（x-2）2+y2=36的位置关系为（）A.相离 B.相交 C.外切 D.内切6.已知从点（-5，3）发出的一束光线，经x轴反射后，反射光线恰好平分圆：（x-1）2+（y-1）2=5的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2x-3y+1=0 B.2x-3y-1=0 C.3x-2y+1=0 D.3x-2y-1=07.“m=3”是“椭圆的离心率为”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充要条件 D.既不充分也不必要条件8.如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，则线段AD1上的动点P到直线A1C1的距离的最小值为（）A.1

B.

C.

D.

9.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=1，AB=BC=，则下列结论：

①直线AD1与直线BB1所成的角为60°；

②直线BC1与平面CC1D1D所成的角为60°；

③平面ABC1D1与平面ABCD所成的二面角为60°；

④平面ABC1D1与平面ADD1A1所成的二面角为直二面角．

其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.410.在直角坐标系中，A、B分别是x轴和y轴上的动点，若以线段AB为直径的圆C与直线x+y-4=0相切，则圆C面积的最小值为（）A.4π B.2π C.π D.π二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.已知ABCD为平行四边形，且A（4，1，3），B（2，-5，1），C（3，7，-5），则点D的坐标为

．12.已知直线，l2：ax-y=1，a∈R，若l1⊥l2．则l2的倾斜角为

．13.若直线m被两平行直线与所截得的线段长为，则直线m的倾斜角大小为

.14.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2.

（1）•=______；

（2）若点E在对角线DB上，则•=______.15.已知圆M：（x+cosθ）2+（y-sinθ）2=1，直线l：y=kx，下面四个命题：

①对任意实数k与θ，直线l和圆M相切；

②对任意实数k与θ，直线l和圆M有公共点；

③对任意实数θ，一定存在实数k，使得直线l与和圆M相切；

④对任意实数k，一定存在实数θ，使得直线l与和圆M相切．

其中真命题的代号是

（写出所有真命题的代号）．三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题12分)

已知三角形三顶点A（4，0），B（8，10），C（0，6），

求：（1）过A点且平行于BC的直线方程；

（2）AC边上的高所在的直线方程．17.(本小题13分)

正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，AA1=8，E为CC1中点，O1为下底面正方形的中心.求：

（1）异面直线AB与EO1所成角的余弦值；

（2）点O1到平面ABE的距离.18.(本小题14分)

如图，在三棱台ABC-A1B1C1中，四边形A1ABB1为直角梯形，A1A⊥AC，平面A1ABB1⊥平面A1ACC1，N为AB的中点，AB=AC=AA1=2，A1C1=1.

（Ⅰ）求证：A1N∥平面B1BCC1；

（Ⅱ）求直线BC与平面A1NC1所成的角的正弦值.19.(本小题14分)

已知圆C的圆心在直线3x-y=0上，且该圆与x轴相切.

（1）若圆C经过点（4，3），求该圆的方程；

（2）若圆C被直线x-y=0截得的弦长为，求该圆的方程.20.(本小题16分)

已知椭圆的离心率为，长轴长为4.过点（0，-2）的直线l与椭圆C交于A，B两点，O为坐标原点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若△OAB的面积为，求|AB|；

（Ⅲ）求△OAB的面积的最大值.21.(本小题16分)

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2+y2-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）．

（1）设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x=6上，求圆N的标准方程；

（2）设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且|BC|=|OA|，求直线l的方程；

（3）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得+=，求实数t的取值范围．

1.【答案】A

2.【答案】A

3.【答案】C

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】A

7.【答案】A

8.【答案】D

9.【答案】C

10.【答案】B

11.【答案】（5，13，-3）

12.【答案】60°

13.【答案】165°或75°

14.【答案】8；

4

15.【答案】②④

16.【答案】解：（1）∵kBC=，∴与BC平行的直线的斜率k=．

故所求的直线为y-0=（x-4），化为x-y-4=0．

（2）∵kAC=，

∴AC边上的高所在的直线的斜率k=．

∴AC边上的高所在的直线方程为，

化为2x-3y-8=0．

17.【答案】解：（1）以D1为原点，D1A1，D1C1，D1D所在直线分别为x,y,z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（4，0，8），B（4，4，8），E（0，4，4），O1（2，2，0），

所以=（0，4，0），=（2，-2，-4），

所以|cos＜，＞|===，

所以异面直线AB与EO1所成角的余弦值为．

（2）由（1）知=（0，4，0），=（-4，4，-4），=（-2，2，-8），

设平面ABE的法向量为=（x,y,z），则，

取=（1，0，-1），

所以点O1到平面ABE的距离为==3．

18.【答案】证明：取BC的中点M，连接M，MC1，

可得MN∥AC，且MN=AC，

在三棱台中，AC∥A1C1，AC=2，A1C1=1，

所以MN∥A1C1，且MN=A1C1，

所以四边形ACC1A1为平行四边形，所以A1N∥C1M，

又因为A1N⊄平面B1BCC1，C1M⊂平面B1BCC1，

所以A1N∥平面B1BCC1

19.【答案】解：（1）由圆C的圆心在直线3x-y=0上可设圆心为C（a,3a），

由于该圆与x轴相切．，故圆的半径r=3|a|，

故可设圆的方程为（x-a）2+（y-3a）2=9a2，（a≠0），

又圆C经过点（4，3），故（4-a）2+（3-3a）2=9a2，

即a2-26a+25=0，解得a=1或a=25，

所以圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=9或（x-25）2+（y-75）2=5625．

（2）由（1）知圆的方程为（x-a）2+（y-3a）2=9a2，（a≠0），

圆心C（a,3a）到直线x-y=0的距离为，

圆C被直线x-y=0截得的弦长为，故，

即9a2=7+2a2，解得a=±1，

故圆的方程为（x-1）2+（y-3）2=9或（x+1）2+（y+3）2=9．

20.【答案】（Ⅰ）

（Ⅱ）|AB|=

（Ⅲ）

21.【答案】解：（1）∵N在直线x=6上，∴设N（6，n），

∵圆N与x轴相切，∴圆N为：（x-6）2+（y-n）2=n2，n＞0，

又圆N与圆M外切，圆M：x2+y2-12x-14y+60=0，即圆M：（x-6）2+（x-7）2=25，

∴|7-n|=|n|+5，解得n=1，

∴圆N的标准方程为（x-6）2+（y-1）2=1．

（2）由题意得OA=2，kOA=2，设l：y=2x+b，

则圆心M到直线l的距离：d=，

则|BC|=2，BC=2，即2=2，

解