2025-2026学年江苏苏州新区一中九年级(上)数学10月月考卷含答案

1新区一中2025-2026学年第一学期九年级数学10月月考试卷一、选择题（共8小题，共24分）1．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．y＝3x﹣1B．y=C．y＝3x2+xD．y＝ax2+bx+c2．一组数据2，2，4，3，6，4，2的众数和中位数分别3．抛物线y=﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式()A．y=﹣2（x﹣2）2+1B．y=﹣2（x+4）2+1C．y=﹣2（x+4）2+5D．y=﹣2（x﹣2）2+54．抛物线y＝a（x+1x﹣3a≠0）的对称轴是直线()A．x＝1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x＝35．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝bx2+ax的图象可能是()6．已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是()A．0＜y＜3B．0＜y≤4C．3＜y≤4D.﹣57．若A（0，y1B（3，y2C（4，y3）为二次函数yx﹣3）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大A．y2＜y3＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y28．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB丄x轴，A(﹣2，0C(﹣4，1二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°,若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为()2二、填空题（8小题，共24分）9．已知一组数据3，3，4，x，5，5，6的众数为3，则这组数据的中位数为.10．已知二次函数y＝3（x﹣2）2，当x＞2时，y随x的增大而（填“增大”或“减小”）.11．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是.12．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为秒.13．将抛物线y=﹣2（x+3）2+3以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为.14．二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是.第14题第15题第16题15．如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线x2上，点B、C、E均在y轴上．若正方形ABCD的面积是1，则正方形CEFG的边长为.16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①abc3b；③方程ax2+x+c=0有两个不相等的实数根；④a≥am2+b（m﹣1m为任意实数其中正确的是.（填写序号）三、解答题17．已知y=(2−m)xm2−2是y关于x的二次函数，求m的值.18．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式.（1）已知图象的顶点坐标为(﹣18且过点（06（2）已知图象经过点A(﹣1，0）、B（0，3且对称轴为直线x＝1.319．2024年5月19日，2024稷山马拉松赛燃情开跑，来自全国各地的4000余名选手在赛道上尽情奔跑，释放生命活力．一批大学生报名做赛事志愿者，他们经过层层测试．下面是甲、乙两人的测试成绩（10项目沟通能力综合素质形象礼仪赛事服务经验甲897乙988（1）如果依据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选.（2）如果将沟通能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选.20．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）.（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；（2）如果有一交点坐标为（3，0求a的值.21．如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：（1）a（x+1）2+4＝0的解是；（2）确定a的值；（3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积.422．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克.（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？23．如图①,桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.24．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧与一次函数y=﹣x+b的图象交于A，C两点.（1）求b的值；（2）求△ABC的面积；（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值.525．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx（ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax称为“友好抛物线”，例如：抛物线y=x2+2x的“友好抛物线”为y＝2x2+x；（1）抛物线y＝4x2﹣x的“友好抛物线”的解析式为；“友好抛物线”的顶点坐标（2）若抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式.（3）已知抛物线C：y＝ax2+bx（其中a≠b）经过其“友好抛物线”的顶点，①求抛物线C的对称轴；②当﹣1≤x≤1时，y的最大值为3，求a的值.26．抛物线y=ax2−x+C与x轴交于A(﹣1，0B两点，与y轴交于点C（02点P是第四象限内抛物线上的一点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接PB、BC、PC，设△PBC的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当△PBC的面积最大时，过P作PD丄x轴于点D，交直线BC于点E．点F（1，0连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.627．抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且B(﹣1，0C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，点P是抛物线上位于直线AC上方的一点，BP与AC相交于点E，当PE：BE＝1：2时，求点P的坐标；（3）如图2，点D是抛物线的顶点，将抛物线沿CD方向平移，使点D落在点D'处，且DD'＝2CD，点M是平移后所得抛物线上位于D'左侧的一点，MNⅡy轴交直线OD'于点N，连结CN．当D'N+CN的值最小时，求MN的长.71．下列各式中，y是x的二次函数的是()A．y＝3x﹣1C．y＝3x2+xD．y＝ax2+bx+c【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可.【解答】解：A．y＝3x﹣1，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．分式形式，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．y＝3x2+x，y是x的二次函数，故本选项符合题意；D．y＝ax2+bx+c，当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；故选：C.2．一组数据2，2，4，3，6，4，2的众数和中位数分别【分析】根据众数的意义，找出出现次数最多的数，根据中位数的意义，排序后找出处在中间位置的数即可.【解答】解：这组数据从小到大排列是：2，2，2，3，4，4，6，出现次数最多的数是2，故众数是2；处在中间位置的数，即处于第四位的数是中位数，是3，故选：B.3．抛物线y=﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线解析式()A．y=﹣2（x﹣2）2+1B．y=﹣2（x+4）2+1C．y=﹣2（x+4）2+5D．y=﹣2（x﹣2）2+5【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，即可得出平移后抛物线的解析式.【解答】解：将抛物线y=﹣2（x+1）2+3向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得抛物线的解析式为：y=﹣2（x+1﹣3）2+3﹣2，即y=﹣2（x﹣2）2+1.故选：A.4．抛物线y＝a（x+1x﹣3a≠0）的对称轴是直线()A．x＝1B．x=﹣1C．x=﹣3D．x＝3【分析】已知抛物线解析式为交点式，通过解析式可求抛物线与x轴的两交点坐标；两交点的横坐标的平均数就是对称轴.【解答】解：∵﹣1，3是方程a（x+1x﹣30的两根，:抛物线y＝a（x+1x﹣3）与x轴交点横坐标是﹣1，3，∵这两个点关于对称轴对称，:对称轴是直线.故选：A.85．在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝bx2+ax的图象可能是()C【分析】根据抛物线开口方向和对称轴进行判断即可.【解答】解：A、由函数y＝ax2+bx开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0．由函数y＝bx2+ax开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＜0，b＞0，一致，故A选项符合题意；B、由函数y＝ax2+bx开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0．由函数y＝bx2+ax开口向下，则b＜0，矛盾，故B选项不符合题意；C、由函数y＝ax2+bx开口向下，交y轴的正半轴，则a＜0，b＞0．由函数y＝bx2+ax开口向上，对称轴在y轴的左侧，则a＞0，b＞0．矛盾，故C选项不符合题意；D、由函数y＝ax2+bx开口向上，交y轴的负半轴，则a＞0，b＜0．由函数y＝bx2+ax开口向上，对称轴在y轴的右侧，则a＜0，b＞0．矛盾，故D选项不符合题意；故选：A.6．已知二次函数y=﹣x2+6x﹣5，当1＜x＜4时，则函数值y的取值范围是()A．0＜y＜3B．0＜y≤4C．3＜y≤4D.﹣5【分析】先计算出当x＝1和x＝4对应的函数值，然后根据二次函数的性质解决问题；【解答】解：∵y=﹣x2+6x﹣5=x﹣3）2+4，:抛物线的顶点坐标为（3，4:当x＝3时有最大值是4；:当1＜x＜4时，函数值y的取值范围为0＜y≤4；故选：B.7．若A（0，y1B（3，y2C（4，y3）为二次函数yx﹣3）2+m图象上的三点，则y1，y2，y3的大A．y2＜y3＜y1B．y3＜y1＜y2C．y2＜y1＜y3D．y1＜y3＜y2【分析】根据二次函数解析式可得图象开口向上，对称轴为x＝3，根据离对称轴越远，值越大即可求解.【解答】解：由抛物线解析式yx﹣3）2+m可知，图象开口向上，对称轴为x＝3，:离对称轴越远，值越大，∵A（0，y1）距离对称轴3个单位长度，B（3，y2）距离对称轴0个单位长度，C（4，y3）距离对称轴1个单位长度，:y2＜y3＜y1，9故选：A.8．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的边AB丄x轴，A(﹣2，0C(﹣4，1二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B．将△ABC沿x轴向右平移m（m＞0）个单位，使点A平移到点A′，然后绕点A'顺时针旋转90°,若此时点C的对应点C′恰好落在抛物线上，则m的值为()【分析】作CD丄AB于D，C'D'丄A'B'于D'，先根据已知条件求出点B坐标，由A、B、C三点坐标可得CD＝2，AD＝1．设点A(﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0则点A'坐标为（m﹣2，0进而表示出点C'的坐标为（m﹣1，2最后将C'坐标代入二次函数解析式中计算即可得到点C坐标.【解答】解：作CD丄AB于D，C'D'丄A'B'于D'，∵AB丄x轴，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象经过点B，:点B(﹣2，5）:CD＝2，AD＝1.设点A(﹣2，0）向右平移m个单位后得点A'（m＞0则点A'坐标为（m﹣2，0）.:点C'坐标为（m﹣1，2又点C'在抛物线上，:把C'（m﹣1，2）代入y＝x2﹣2x﹣3中，整理得：m2﹣4m﹣2＝0.故选：C.9．已知一组数据3，3，4，x，5，5，6的众数为3，则这组数据的中位数为4.【分析】先根据众数定义求出x，再把这组数据从小到大排列，找出正中间的那个数就是中位数.:3出现的次数是3次，:x＝3，所以中位数是4.故答案为：4.10．已知二次函数y＝3（x﹣2）2，当x＞2时，y随x的增大而增大（填“增大”或“减小”）.【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，即可得出答案.【解答】解：∵二次函数y＝3（x﹣2）2，a＝3＞0，:二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线x＝2，:当x＞2时，y随x的增大而增大，x＜2时，y随x的增大而减小，故答案为：增大.11．若抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，则c的取值范围是c＞.【分析】依据题意，由抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，从而Δ=1﹣4c＜0，进而计算可以得解.【解答】解：由题意，∵抛物线y＝x2﹣x+c（c是常数）与x轴没有交点，:Δ=1﹣4c＜0.:c＞.故答案为：c＞.12．一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中距离地面的高度h（m）与弹出的时间t（s）满足的关系式为h＝15t﹣5t2．当小球第一次距离地面10m时，小球弹出的时间为1秒.【分析】把10代入关系式解方程可求出t.【解答】解：当h＝10时，15t﹣5t2＝10，∵小球第一次距离地面10m，:t＝1，故答案为：1.13．将抛物线y=﹣2（x+3）2+3以原点为中心旋转180度得到的抛物线解析式为2（x﹣3）2﹣3.【分析】求出绕原点旋转180°的抛物线顶点坐标，然后根据顶点式写出即可.【解答】解：∵抛物线y=﹣2（x+3）2+3的顶点为(﹣3，3绕原点旋转180°后，变为（33）且开口相反，故得到的抛物线解析式为y＝2（x﹣3）2﹣3，故答案为：y＝2（x﹣3）2﹣3.14．二次函数y1=ax2+bx+c(a≠0)与一次函数y2＝kx+m（k≠0）的图象如图所示，当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜1或x＞4.【分析】根据函数图象中的数据，可以写出当y1＞y2时，自变量x的取值范围.【解答】解：由图象可得，当x＜1或x＞4时，二次函数的图象在一次函数的图象上方，:当y1＞y2时，自变量x的取值范围是x＜1或x＞4，故答案为：x＜1或x＞4.15．如图，正方形ABCD、CEFG的顶点D、F都在抛物线x2上，点B、C、E均在y轴上．若正方形ABCD的面积是1，则正方形CEFG的边长为1+2或2+1.设OB=OC=BC=a，且a＞0，即可得D(﹣2aa根据D(﹣2aa）在抛物线上，可得a=设正方形CEFG的边长为b，且b＞0，同理可得代入x2中，问题得解.【解答】解：由题意可得：设OB=OC=BC=a，且a＞0，在正方形ABCD中，DC＝BC＝2a，DC丄BC，:D(﹣2aa∵D(﹣2aa）在抛物线x2上，解得：设正方形CEFG的边长为b，且b＞0，∴结合正方形的性质，可知F解得：b=1+2（舍去故答案为：1+2或2+1.16．二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，其图象一部分如图所示，对于下列说法：①abc3b；③方程ax2+x+c=0有两个不相等的实数根；④a≥am2+b（m﹣1m为任意实数其中正确的是①③④.（填写序号）【分析】根据所给二次函数的图象，可得出a，b，c的正负，再结合抛物线的对称性、增减性以及二次函数与一元二次方程之间的关系，对所给说法依次进行判断即可.【解答】解：由所给图形可知，a＜0，b＞0，c＞0，故①正确.因为抛物线的对称轴为直线x＝1，所以因为当x＝3时，函数值小于零，所以9a+3b+c＜0，整理得，2c＜3b.故②错误.方程ax2+x+c=0的根可看成抛物线y＝ax2+bx+c与直线图象交点的横坐标，显然抛物线y＝ax2+bx+c与直线有两个不同的交点，所以方程ax2+x+c=0有两个不相等的实数根. 故③正确.因为抛物线的对称轴为直线x＝1，且开口向下，所以当x＝1时，函数取得最大值a+b+c，则对于抛物线上的任意一点（横坐标为m其函数值不大于a+b+c，所以am2+bm+c≤a+b+c，故④正确.故答案为：①③④.17．已知y=(2−m)xm2−2是y关于x的二次函数，求m的值.【分析】根据x的指数m2﹣2＝2，且系数2﹣m≠0求解即可.【解答】解：根据题意得：m2﹣2＝2，2﹣m≠0，∴m=﹣2.18．根据下列条件，分别求出二次函数的解析式.（1）已知图象的顶点坐标为(﹣18且过点（06【分析】（1）直接利用顶点式代入顶点坐标，进而得出答案；（2）利用一般式代入，进而计算得出答案.【解答】解1）∵图象的顶点坐标为(﹣18且过点（06∴设二次函数的解析式为：y＝a（x+1）2﹣8，把（06）代入得：解得：a＝2，故二次函数的解析式为：y＝2（x+1）2﹣8；（2）设二次函数的解析式为y＝ax2+bx+c，把A(﹣1，0）、B（0，3对称轴为直线x＝1代入得：：，故二次函数解析式为：y=﹣x2+2x+3.19．2024年5月19日，2024稷山马拉松赛燃情开跑，来自全国各地的4000余名选手在赛道上尽情奔跑，释放生命活力．一批大学生报名做赛事志愿者，他们经过层层测试．下面是甲、乙两人的测试成绩（10项目沟通能力综合素质形象礼仪赛事服务经验甲897乙988（1）如果依据四项成绩的平均分计算最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选.（2）如果将沟通能力、综合素质、形象礼仪、赛事服务经验按4：3：2：1的比例确定最后成绩，甲、乙两人中成绩高的可入选志愿者，请通过计算说明甲、乙两人谁将入选.【分析】（1）根据算术平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得到答案；（2）根据加权平均数的计算方法，结合表格中的数据分别求出甲、乙的平均分，再比较即可得到答案.【解答】解1）甲的平均分为=8.5乙的平均分为=8.75乙将入选.（2）甲的平均分为=8.9（分乙的平均分为=8.8:甲将入选.20．已知抛物线y＝x2﹣ax+2（a﹣3）.（1）求证：不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；（2）如果有一交点坐标为（3，0求a的值.【分析】（1）证明判别式Δ>0即可判断；（2）把（3，0）代入即可求得a的值.【解答】解1）△=a2﹣8（a﹣3a2﹣8a+24＝a2﹣8a+16+8a﹣4）2+8＞0，则不论a为何实数，这个抛物线与x轴总有两个交点；（2）把（3，0）代入抛物线得9﹣3a+2（a﹣3）＝0，解得：a＝3.21．如图是二次函数y＝a（x+1）2+4的图象的一部分，根据图象回答下列问题：（1）a（x+1）2+4＝0的解是x1=﹣4，x2＝2；（2）确定a的值；（3）设抛物线的顶点是P，与x轴的另一个交点是B，试求△PAB的面积.【分析】（1）由二次函数的图象可以得到该抛物线的对称轴和抛物线与x轴的交点A的坐标，再根据抛物线的对称性求出抛物线与x轴的另一个交点的坐标，即得到一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解；（2）将点A的坐标代入y＝a（x+1）2+4列方程求出a的值即可；（3）先求出抛物线的顶点坐标，再根据点A、点B的坐标求出△PAB的面积即可.【解答】解1）由二次函数y＝a（x+1）2+4的图象可知，该抛物线的对称轴为直线x=﹣1，A(﹣4，设该抛物线与x轴的另一个交点为B，∵点B与点A(﹣4，0）关于直线x=﹣1对称，:B（2，0:当y＝0时，一元二次方程a（x+1）2+4＝0的两个解为x1=﹣4，x2＝2，故答案为：x1=﹣4，x2＝2.（2）∵点A(﹣4，0）在抛物线y＝a（x+1）2+4上，:(﹣4+1）2a+4＝0，:解得a=−:该二次函数为2+4，:该抛物线的顶点为P(﹣1，4:AB＝2+4＝6，:△PAB的面积是12.22．某商店销售某种特产商品，以每千克12元购进，按每千克16元销售时，每天可售出100千克，经市场调查发现，单价每涨1元，每天的销售量就减少10千克.（1）若该商店销售这种特产商品想要每天获利480元，并且尽可能让利于顾客，那么每千克特产商品的售价应为多少元？（2）通过计算说明，每千克特产商品售价为多少元时，每天销售这种特产商品获利最大，最大利润是多少元？【分析】（1）设每千克水果应涨价x元，根据题意列出一元二次方程即可求出结果；（2）设销售价格为x，用含x的式子表示所获利润，然后配方，利用平方的非负性即可求出最值.【解答】解1）设每千克水果应涨价x元，根据题意得：（16+x﹣12100﹣10x480，∵要尽可能让利于顾客，只能取x＝2，:售价应为16+2＝18（元答：每千克特产商品的售价应为18元；（2）设每天获得的利润为W，销售价格为x，则：Wx﹣12）[100﹣10（x﹣16）]=（x﹣12）(﹣10x+260）=﹣10x2+380x﹣3120=﹣10（x﹣19）2+490，:销售价格定为19时，才能使平均每天获得的利润最大，最大利润是490元.23．如图①,桥拱截面OBA可视为抛物线的一部分，在某一时刻，桥拱内的水面宽OA＝8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m.（1）按如图②所示建立平面直角坐标系，求桥拱部分抛物线的函数表达式；（2）一只宽为1.2m的打捞船径直向桥驶来，当船驶到桥拱下方且距O点0.4m时，桥下水位刚好在OA处，有一名身高1.68m的工人站立在打捞船正中间清理垃圾，他的头顶是否会触碰到桥拱，请说明理由（假设船底与水面齐平）.【分析】（1）根据题意结合图象可以求出函数的顶点B（4，4先设抛物线的顶点式y＝a（x﹣4）2+4，再根据图象过原点，求出a的值即可；（2）先求出工人矩原点的距离，再把距离代入函数解析式求出y的值，然后和1.68比较即可.【解答】解1）如图②,由题意得：水面宽OA是8m，桥拱顶点B到水面的距离是4m，结合函数图象可知，顶点B（4，4点O（0，0设二次函数的表达式为y＝a（x﹣4）2+4，将点O（0，0）代入函数表达式，解得：:二次函数的表达式为2+4，（2）工人不会碰到头，理由如下：∵小船距O点0.4m，小船宽1.2m，工人直立在小船中间，由题意得：工人距O点距离为0.4+×1.2＝1，:将x＝1代入y=−x2+2x，:此时工人不会碰到头.24．如图，二次函数y＝x2﹣2x﹣3的图象与x轴交于点A，B（A在B的左侧与一次函数y=﹣x+b的图象交于A，C两点.（1）求b的值；（2）求△ABC的面积；（3）根据图象直接写出当x为何值时，一次函数的值大于二次函数的值.【分析】（1）令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，得点A坐标为(﹣1，0B（3，0将点A(﹣1，0）代入y=﹣x+b，即可求解；（2）方程组解得：1或3，得点C坐标为（23根据面积公式即可求解；（3）根据图象可知1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值.【解答】解1）∵令y＝0，y＝x2﹣2x﹣3＝0，解得：x＝3或﹣1，将点A(﹣1，0）代入y=﹣x+b，1+b＝0，解得b=﹣1；（2）方程组解得：1或∴点C坐标为（23（3）根据图象可知，﹣1＜x＜2时，一次函数值大于二次函数值.25．新定义：我们把抛物线y＝ax2+bx（ab≠0）与抛物线y＝bx2+ax称为“友好抛物线”，例如：抛物线y=x2+2x的“友好抛物线”为y＝2x2+x；（1）抛物线y＝4x2﹣x的“友好抛物线”的解析式为y=﹣x2+4x；“友好抛物线”的顶点坐标为（2，4）；（2）若抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，且抛物线M上有且只有三个点到x轴的距离为2，求抛物线M的解析式.（3）已知抛物线C：y＝ax2+bx（其中a≠b）经过其“友好抛物线”的顶点，①求抛物线C的对称轴；②当﹣1≤x≤1时，y的最大值为3，求a的值.【分析】（1）根据定义，抛物线y＝4x2﹣x的“友好抛物线”的解析式为y=﹣x2+4x，“友好抛物线”的顶点坐标为（2，4（2）由抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，得a=﹣b①,又抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）上有且只有三个点到x轴的距离为2知抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）顶点纵坐标是=2②,即可解得抛物线M的解析式为y=﹣8x2+8x；（3）①“友好抛物线”y＝bx2+ax的顶点为(−,),代入y＝ax2+bx可解得a=﹣2b，故对称轴为直线②由①知b=−a，对称轴为直线x=，有y＝ax2−ax，分两种情况：当a＞0时，x=﹣1时，y＝3，有3＝a+a，解得a＝2，当a＜0时，x=时，y＝3，解得a=﹣48.【解答】解1）根据定义，抛物线y＝4x2﹣x的“友好抛物线”的解析式为y=﹣x2+4x，∵y=﹣x2+4x=x﹣2）2+4，:“友好抛物线”的顶点坐标为（2，4故答案为：y=﹣x2+4x2，4（2）抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）的“友好抛物线”解析式为y＝bx2+ax，∵抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）和其“友好抛物线”的图象形状相同，开口方向不同，:a=﹣b①,∵抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）上有且只有三个点到x轴的距离为2，:抛物线M：y＝ax2+bx（a＜0）顶点纵坐标是，由①②可得a=﹣8，b＝8，:抛物线M的解析式为y=﹣8x2+8x；∵抛物线C：y＝ax2+bx（其中a≠b）经过其“友好抛物线”的顶点，解得=−2或:a=﹣2b，:y=﹣2bx2+bx，:对称轴为直线②由①知b=−对称轴为直线:y＝ax2−ax，“﹣1≤x≤1时，y的最大值为3，:x=﹣1时，y＝3，“﹣1≤x≤1时，y的最大值为3，即，解得a=﹣48，综上所述，a的值为2或﹣48.26．抛物线y=ax2−x+c与x轴交于A(﹣1，0B两点，与y轴交于点C（02点P是第四象限内抛物线上的一点.（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连接PB、BC、PC，设△PBC的面积为S，求S的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，当△PBC的面积最大时，过P作PD丄x轴于点D，交直线BC于点E．点F（1，0连接CF并延长交直线PD于点M，点N是x轴上方抛物线上的一点，x轴上是否存在一点Q，使得以F，M，N，Q为顶点的四边形是平行四边形．若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可；（2）先求得直线BC的解析式为x−2，如图：过P作PGⅡy轴交BC于点G，设P（0＜p可得PG=−p2+2p，进而得到S=p﹣2）2+4，最后根据二次函数的性质即可解答；（3）先求出直线CF的解析式为y＝2x﹣2，进而求得M（2，2设N（n，n2−n−2Q（q，0然后分MF为平行四边形的边和对角线两种情况，分别根据平行四边形的性质列方程组求解即可.【解答】解1）抛物线y=ax2−x+c与x轴交于A(﹣1，0B两点，与y轴交于点C（02将点A，点C的坐标代入得：解得：:抛物线解析式为x−2；当y＝0时得：x−2=0，:B（4，0设直线BC的解析式为y＝kx+b，将点B，点C的坐标代入得：解得：，:直线BC的解析式为x−2，如