2026-2027学年广东省阳江市第三中学高三上学期开学综合练习（一）数学试卷（含答案）

/数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.设，则在复平面内对应的点在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知向量，，若与共线，则（）A. B. C. D.34.已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则5.4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.576种6.已知，，则（）A. B. C. D.7.已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.8.过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A.5 B.4 C.3 D.2二、多选题9.已知直线：，圆：，则（）A.圆的半径为B.圆心坐标为C.当直线平分圆时，D.当直线与圆相切时，10.已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（）A.公差 B. C. D.当时，最小11.已知是函数的极大值点，则（）A. B.C.有两个零点 D.是奇函数三、填空题12.样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________．13.在中，角所对的边分别为，若，，，则_______.14.已知奇函数在上单调递增，若锐角满足，则________.四、解答题15.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围.16.已知的内角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．17.小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到．（1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？（2）已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数）已知18.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．19.已知数列的前项和（）．（1）证明：为等差数列；（2）设（），求．

数学一、单选题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：集合，，则2.设，则在复平面内对应的点在（

）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：由题意得，则对应于复平面的点为，在第一象限.3.已知向量，，若与共线，则（）A. B. C. D.3答案：B解析：解答过程：由题意得，因为与共线，所以，所以.4.已知，表示两条不同直线，，为两个不同的平面，则错误的是（）A.若，，则 B.若，，则C.若，，则 D.若，，，则答案：A解析：思路：结合空间中线线、线面、面面的平行与垂直的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误.解答过程：对于A：由，，可得或，故A错误；对于B：由知垂直于平面内的所有直线，因，故，故B正确；对于C：由面面垂直的判定定理可得C正确；对于D：由线面平行的性质定理，若一条直线平行于一个平面，且过该直线的平面与已知平交，则直线与交线平行可知D正确.5.4位家长带2个孩子，6人站成一排，要求排头排尾必须是家长，两个孩子必须相邻，则不同站法有（）A.36种 B.72种 C.144种 D.576种答案：C解析：思路：孩子必须相邻用捆绑，因为排头排尾必须是家长，就将捆绑之后的两个孩子插入除首、末位以外的其中一个空位中.解答过程：第一步将两个孩子捆绑在一起，因为他们之间有顺序，所以有种，因为排头和排尾必须是家长，先将家长全排共有种，除掉首、末的空位，总共有3个空位，在3个空位中选一个给捆绑在一起的两个孩子，共种，所以总共有种.6.已知，，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：先利用余弦和角公式展开，结合已知的​求出的值，再将变形为代入数值计算得到结果.解答过程：因为，又，解得，所以．7.已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（）A. B. C. D.答案：C解析：思路：由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解.解答过程：因为是奇函数，所以.又因为的图象关于直线对称，所以.已知，故，所以.8.过抛物线的焦点F且倾斜角为的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于（）A.5 B.4 C.3 D.2答案：C解析：思路：联立焦点直线与抛物线方程求出两交点的横坐标，再结合抛物线定义的焦半径公式，将线段长转化为横坐标的代数式直接计算比值.解答过程：由题意得焦点为，直线的斜率，所以直线的方程为，代入到抛物线方程得，整理得，解得，，由题意得，，，所以.二、多选题9.已知直线：，圆：，则（）A.圆的半径为B.圆心坐标为C.当直线平分圆时，D.当直线与圆相切时，答案：ABC解析：思路：配方得圆标准方程后即可得圆心坐标和圆半径，可判断AB，圆心坐标代入直线方程求得参数值判断C，利用圆心到直线的距离等于半径求得参数值判断D.解答过程：由题意圆的标准方程是，所以圆心坐标是，半径是，AB均正确；当直线平分圆时，直线过圆心，即，，C正确；若直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于半径，即，解得，D错.10.已知数列为等差数列，为其前项和，若，，则下列结论正确的有（）A.公差 B. C. D.当时，最小答案：BCD解析：思路：利用等差数列通项公式求出公差，再结合通项、前n项和公式以及数列单调性逐一验证四个选项的正误.解答过程：对于A：已知，，所以，即，解得，A错误；对于B：，B正确；对于C：，C正确；对于D：公差，数列递增，，令得，即，，因此前项均为负，和最小，即时最小，D正确.11.已知是函数的极大值点，则（）A. B.C.有两个零点 D.是奇函数答案：ACD解析：思路：利用导数，极值和零点定义，即可判断ABC，用奇函数的判断方法可判断D.解答过程：函数的导数为，已知是函数的极大值点，所以，解得或，A：当时，若或时，，则在，上单调递增，若时，，则在上单调递减，显然是函数的极大值点，A正确；B：当时，若或时，，则在，上单调递增，若时，，则在上单调递减，显然是函数的极小值点，B错误；C：令，解得或，显然有2个零点，C正确；D.，设，定义域为且，所以是奇函数，D正确.三、填空题12.样本数据34，24，17，21，32，100，41，30，28，33的上四分位数为_________．答案：34解析：解答过程：把数据从小到大排序为：17，21，24，28，30，32，33，34，41，100，样本容量，，所以该样本的上四分位数为34.13.在中，角所对的边分别为，若，，，则_______.答案：解析：解答过程：因为，由正弦定理可得，因为，所以，由余弦定理可得，即.14.已知奇函数在上单调递增，若锐角满足，则________.答案：解析：解答过程：因为函数是奇函数，且，所以或者.当时，，又，此时函数在上上单调递减，与函数在上单调递增矛盾，舍去.当时，，又，此时函数在上上单调递增，因为函数在上单调递增，所以.当时，，又锐角满足，由平方关系得，.当时，.所以.四、解答题15.已知椭圆的两个焦点分别是，，并且其离心率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若直线与椭圆有两个公共点，求实数的取值范围.答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用椭圆的焦点与离心率求出，即得椭圆方程；（2）将直线方程与椭圆方程联立消元后，根据判别式为正，解不等式即得的取值范围.（1）依题意可得，，可得，则，故椭圆的标准方程为.（2）联立，消元整理得由，解得或.即实数的取值范围为.16.已知的内角，，所对的边分别为，，，．（1）求角的大小；（2）若，，求的面积．答案：（1）（2）解析：思路：（1）先根据正弦定理角化边，再利用余弦定理求出角；（2）根据已知条件，结合余弦定理，化简即可求出，最后根据面积公式求出面积即可.（1）（1）因为，所以由正弦定理可得，又由余弦定理可得，所以，又，所以．（2）由余弦定理可得，由（1）知，所以，又，，所以，，所以．17.小张从家到公司上班总共有三条路可以直达，如图所示，但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的长短不同，选择每条路的概率如下：，，．每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，，．假设遇到拥堵会迟到，不拥堵便不会迟到．（1）小张从家到公司不迟到的概率是多少？（2）已知小张到达公司未迟，求他选择第一条路的概率是多少？（结果保留三位小数）已知答案：（1）（2）解析：思路：（1）小张从家到公司不迟到会受到三条路的影响，因此这是一个全概率问题，根据全概率求解即可；（2）运用条件概率公式之后，再用概率的乘法公式计算即可.（1）设事件为到公司不迟到（说明选择的路不拥堵），事件为选择第条路．由全概率公式，得．所以小张从家到公司不迟到的概率是．（2）．所以他选择第一条路的概率约是．18.如图，在四棱锥中，平面，底面是正方形，且．（1）证明：平面；（2）求直线与平面所成角的大小．答案：（1）因为平面

，平面

，所以，由底面

是正方形，可得，又，且

平面

，根据线面垂直的判定定理，可得

平面

（2）解析：思路：（1）利用线面垂直的判定定理，证明垂直于平面内的两条相交直线与，即可推得结论；（2）以为原点建立空间直角坐标系，求出直线的方向向量和平面的法向量，利用线面角的向量公式计算角度.（1）略（2）设，以为原点，分别以、、的方向为、、轴正方向建立空间直角坐标系，则，，，，