2026-2027学年河北部分学校高三上学期第一次联考数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为（）．A.9 B.10 C.11 D.11.52.已知复数，则z在复平面内对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.已知集合，，且，则集合的个数为（）．A.3 B.6 C.7 D.84.已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（）．A.7 B.20 C.28 D.325.的展开式中，的系数为（）．A.8 B.36 C.16 D.326.已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（）．A. B. C. D.7.在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）．A. B. C. D.8.已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（）A. B.C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）．A.的最小正周期为 B.为偶函数C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减10.如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（）．A.存在点，使得 B.存在点，使得C.对任意点，直线与直线异面 D.存在点，使得11.已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（）．A.的焦点坐标为 B.直线与相切C. D.的取值范围为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示）13.已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______．14.在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下：50岁以下50岁及以上合计支持态度的人数16060220不支持态度的人数503080合计21090300（1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联；（2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.82816.在数列中，，，．（1）证明：是等比数列；（2）求的前n项和．17.如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面．（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．18.已知动点，点，点P到直线的距离为d，满足的点P的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于，两点．（1）求C的方程；（2）记，F关于y轴的对称点为．（ⅰ）若，，求t的最大值及t取最大值时的正切值；（ⅱ）若，且A不是C与x轴的交点，，证明：为等腰三角形．19.已知集合为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数，，使得不等式，则称直线为函数，在上的隔离直线．（1）求函数的图象在点处的切线方程，并判断该切线是否是与在R上的隔离直线；（2）若直线为函数，在上的隔离直线，求的取值范围；（3）证明：函数，在上过原点的隔离直线仅有一条；（4）函数，在R上是否存在隔离直线？若存在，求出隔离直线的方程；若不存在，说明理由．

数学满分150分，考试时间120分钟．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.数据2，3，3，5，7，9，11，12的上四分位数为（）．A.9 B.10 C.11 D.11.5答案：B解析：解答过程：因为8×75%＝6，且数据为从小到大排列，其上四分位数为．故选B．2.已知复数，则z在复平面内对应的点位于（）．A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限答案：A解析：解答过程：因为，所以z在复平面内对应的点为，位于第一象限．3.已知集合，，且，则集合的个数为（）．A.3 B.6 C.7 D.8答案：D解析：思路：根据集合的运算及集合间的关系，得到，进而求解即可.解答过程：因为，则，又，所以集合的个数为．4.已知总体分为A，B两层，且A层与B层的个体数之比为3∶1，用比例分配的分层随机抽样的方法从总体中抽取一个容量为8的样本．若B层中的个体甲、乙均被抽到的概率为，则总体的个体数为（）．A.7 B.20 C.28 D.32答案：C解析：思路：根据分层随机抽样，按比例计算从B层抽取的样本量，利用古典概型的组合数公式列出该概率的表达式，进而求解总体个体数.解答过程：设B层中含有的个体数为n，则总体中的个体数为，则从总体中抽取一个容量为8的样本，应从B层中抽取2个．由题意知B层中的甲、乙均被抽到的概率为，解得，所以总体的个体数为28．5.的展开式中，的系数为（）．A.8 B.36 C.16 D.32答案：A解析：解答过程：方法1：可以看作8个连乘，要得到，在8个因式中，必有7个因式选，余下的1个因式选，故其系数为．方法2：，因为展开式的通项为，的展开式的通项为，所以的通项为，，．令，得，所以，，或，．当，时，得；当，时，得，故的系数为．6.已知，分别是椭圆的左、右焦点，是上的动点，则的最小值为（）．A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：由题可知：，由椭圆性质可得：，，设，则，且，所以，函数为二次函数，开口向下，对称轴为，当或时，取得最小值，最小值为．7.在中，，，，O是的外心，若，则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为（）．A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由余弦定理，得，所以，，，所以，，由题意知动点P的轨迹所覆盖的图形是以OB，OC为邻边的平行四边形，其面积．8.已知定义在上的函数满足：的图象关于点对称，且当时，，则（）A. B.C. D.答案：D解析：思路：解答本题的关键是构造辅助函数，先根据图象对称平移关系推出是奇函数，再构造，结合已知导数不等式得到的导数符号，判断的单调性；利用为偶函数转化自变量，结合单调性比较函数值大小，最后化简变形得到选项中的不等关系.解答过程：因为的图象关于点对称，所以为奇函数，令，则为偶函数，且，由题意知当时，，所以在上单调递减，在上单调递增．，即，所以，即．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知函数的部分图象如图所示，将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，则（）．A.的最小正周期为 B.为偶函数C.的图象关于直线对称 D.在上单调递减答案：ABD解析：思路：根据正弦型函数的图象及性质，结合函数图象的平移变换求解即可.解答过程：由题意知，，所以.由，得，又，得.由，得，所以，所以．又，即，所以，故，所以，所以的最小正周期为，即A正确；，所以为偶函数，即B正确；又，所以直线不是的图象的对称轴，即C不正确；当时，，故在上单调递减，即D正确．10.如图，在矩形中，分别为边上的点，且，，，为线段上一点，为线段的中点，将四边形沿着直线折起，使得平面，则（）．A.存在点，使得 B.存在点，使得C.对任意点，直线与直线异面 D.存在点，使得答案：AD解析：思路：选项A，当为点时，利用线面垂直可证明；选项B，利用线面的位置关系可判断；选项C，当点为点时，与相交；选项D，当为的中点时，利用线面垂直的判定定理可证平面，从而有.解答过程：对于选项A，在矩形中，，，，所以四边形为正方形.所以.又因为平面，平面，所以.当为点时，，从而可证得平面.又平面，所以，故A正确；对于选项B，当点位于点时，与相交；当点在线段上除点的其他位置时，因为平面，平面，，平面，所以，与为异面直线，故B错误；对于选项C，当点为点时，与相交，故C错误；对于选项D，当为的中点时，取的中点，连接，在中，分别为中点，所以.又，所以.同理可得.因为，平面，所以平面.因为平面，所以，故D正确．11.已知抛物线，为上一点，过点的直线交于两点，为坐标原点，则（）．A.的焦点坐标为 B.直线与相切C. D.的取值范围为答案：BCD解析：思路：选项A，将点代入抛物线方程可求出的值，进而得到抛物线标准方程，判断焦点坐标；选项B，联立直线与抛物线方程，利用判别式判断直线与抛物线的位置关系；选项C、D，设直线的方程，联立直线与抛物线方程，利用韦达定理得到、纵坐标的关系，结合抛物线方程可得横坐标的关系，再分别计算、的表达式，结合直线与抛物线有两个交点分析取值范围.解答过程：因为点在C上，所以，，故C的方程为，其焦点坐标为，A错误；由、，可得直线斜率，所以由点斜式可得直线的方程为，代入，得，，故直线与C相切，B正确；设，，直线MN的方程，代入，得，，即，且，，，，C正确；，，所以，因为，所以的取值范围为，D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.已知向量，，则在上的投影向量为______．（用坐标表示）答案：解析：思路：本题考查平面向量投影向量，直接使用投影向量公式计算即可.解答过程：由题意知在上的投影向量为.13.已知圆，，为圆O上相异两点，且，则的最大值为______．答案：解析：思路：根据，得到A，B的关系，进而得到的关系，代入目标式以后，利用三角换元求最值.解答过程：因为，则，又A，B为圆O上相异两点，则A，B关于原点O对称，所以，，所以，由圆得半径，圆心为，设，所以，当时，取最大值，为，即的最大值为.14.在正四面体ABCD中，E为棱AC上一点，过点E作平面，使得，，若AB，CD到平面的距离分别为2和8，则该正四面体的外接球被平面截得的截面的面积为__________．答案：解析：思路：根据补体法，得到几何体的外接球，利用外接球的截面性质即可求解.解答过程：如图，将正四面体ABCD放入到一个正方体中，因为，，且AB，CD到平面的距离分别为2和8，二者之和为10，所以该正方体的棱长为10，正四面体的外接球也是该正方体的外接球，所以球心为该正方体的中心，记为O，则O到的距离，又球的半径，所以截面圆的半径，所以所求截面面积．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某社区准备开展“诵读国学经典，积淀文化底蕴”活动．为调查不同年龄段的人对此项活动的态度，在该社区随机抽取了300人，统计结果如下：50岁以下50岁及以上合计支持态度的人数16060220不支持态度的人数503080合计21090300（1）根据小概率值的独立性检验，判断所持态度与年龄是否在50岁以下是否有关联；（2）以频率估计概率，若在该社区所有年龄在50岁及以上的人中随机抽取4人，记4人中持支持态度的人数为X，求X的分布列和数学期望．附：，其中．0.010.0050.0016.6357.87910.828答案：（1）认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联．（2）解析：X01234P15.零假设：所持态度与年龄是否在50岁以下无关联．根据列联表中的数据，计算得到，根据小概率值的独立性检验，没有充分的证据推断不成立，因此可以认为成立，即认为所持态度与年龄是否在50岁以下无关联．16.在50岁及以上的人群中持支持态度的频率为，所以估计该社区50岁及以上的人群中持支持态度的概率为，由题意知，所以，，，，．其分布列为X01234P所以（或）．16.在数列中，，，．（1）证明：是等比数列；（2）求的前n项和．答案：（1）证明：因为，所以，又，所以，所以，所以是以3为首项，2为公比的等比数列．（2）解析：（1）略（2）由（1）得，所以，，，…，，以上各式左右相加，得，所以，又，符合上式，所以．所以．17.如图，在三棱柱中，，，侧面为菱形，点为的中点，平面．（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的长度；若不存在，说明理由．答案：（1）证明：因为为的中点，，所以.因为平面，平面，所以.又，平面，且，所以平面．（2）存在，．解析：思路：（1）根据线面垂直的性质及线面垂直的判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，设，根据线面角的向量求法求解即可.（1）略（2）因为，，所以，.因为四边形为菱形，且，所以.由（1）知，，两两垂直，故以为坐标原点，，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，，设．又，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，则，，所以，记直线与平面所成的角为，则，解得（负根舍去），此时为的中点，所以在棱上存在点满足条件，此时．18.已知动点，点，点P到直线的距离为d，满足的点P的轨迹为曲线C，过F的直线与曲线C交于，两点．（1）求C的方程；（2）记，F关于y轴的对称点为．（ⅰ）若，，求t的最大值及t取最大值时的正切值；（ⅱ）若，且A不是C与x轴的交点，，证明：为等腰三角形．答案：（1）（2）（ⅰ），（ⅱ）证明：易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以，所以或，由（i）知，所以，又，且，所以，解得.由（i）可求得所以线段AB的中点坐标为，记为点D，则直线的斜率为，所以，所以，所以，所以为等腰三角形.解析：思路：（1）将转化为坐标表示，化简可得的方程；（2）（i）若的斜率不存在，则的方程为，与的方程联立，即可求得，，从而得；若的斜率存在，设的方程为，与联立，结合弦长公式及两点间的距离公式，分别求得，从而表示出，并求得的最大值及此时直线的方程，并求得的值；（ii）易知点A在的左支上且不是左顶点，B在C的右支上，所以，所以或，结合（i）的运算，根据求得，再由斜率乘积为证明边边上的中线与垂直，即可得为等腰三角形.（1）由题意得，两边平方，得，即，故C的方程为.（2）（i）若的斜率不存在，则的方程为，代入，得，，，所以.若的斜率存在，设的方程为，代入并整理得则，所以由（1）知C为双曲线，易知，所以，所以，同理.所以所以.综上所述，，，此时的方程为.，（ii）略19.已知集合为函数，的定义域的一个子集，若，存在常数，，使得不等式，则称直线为函