2026-2027学年河北省部分高中高三上学期开学数学试卷（含答案）

/数学满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.{3}2.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.4.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B. C.0 D.15.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.6.冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（）A.12℃ B.14℃ C.16℃ D.18℃7.在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（）A.25 B.24 C.27 D.268.如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（）A. B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的实部是 B.的虚部是C. D.在复平面内所对应的点位于第二象限10.已知数列满足，则（）A.B.C.若，则的最大值为1214D.的前36项和为122611.已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（）A.若，则直线的斜率为B.若过点的的切线与交于点，则C.若的面积为，则D.若，则直线的倾斜角为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中所有奇数项的系数和为________．13.已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________．14.某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________．四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表：中考数学成绩5060708090100高一第一学期期末数学成绩658095105120130（1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求；（2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）．附：经验回归模型中，；参考数据：．16.如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.17.在中，内角、、的对边分别是、、，且．（1）若，，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．18.已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点．（1）求的方程；（2）当时，求四边形的面积；（3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．19.已知函数的定义域和值域分别为，若函数满足：（i）的定义域为；（ii）的值域为；（iii），则称与具有关系.（1）若，判断下列两个函数是否与具有关系，并说明理由；①；②.（2）若与具有关系，证明：函数的图象与的图象关于直线对称；（3）已知函数与具有关系，令.①判断函数的单调性；②证明.

数学满分150分，考试时间120分钟．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集，，则（）A. B. C. D.{3}答案：A解析：思路：利用列举法表示全集，再利用补集的定义求解.解答过程：依题意，，所以.故选：A2.已知单位向量，满足，则与的夹角为（）A. B. C. D.答案：B解析：解答过程：由，得，而，则，因此，又，所以与的夹角为．3.将函数的图象上所有点的横坐标伸长到原来的3倍，纵坐标不变，再将所得图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则（）A. B. C. D.答案：A解析：思路：由图像的平移变换和伸缩变换得出结论.解答过程：将函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将所得函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得的图象.故选：A.4.若函数的图象在点处的切线也是函数的图象的切线，则实数（）A. B. C.0 D.1答案：C解析：思路：对求导，即可求解的图象在点处的切线方程，进而对求导，即可得解.解答过程：由题意得，则，所以的图象在点处的切线方程为，即．设直线与的图象相切于点，又，则，解得，所以，即，则．故选：C．5.已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（）A. B. C. D.答案：C解析：解答过程：将直线方程整理为，该式对任意实数恒成立，故需满足解得，即直线恒过定点.圆心，半径.圆心到定点的距离.当直线时，弦长最小.由弦长公式得最小值为.故的最小值为.6.冷链物流是指冷藏冷冻类物品在生产、贮藏、运输、销售到消费前的各个环节中始终处于规定的低温环境下，以保证物品质量、减少损耗的系统工程.主要包括初级农产品（如蔬菜、水果、肉禽蛋等）、加工食品（如速冻食品、冰淇淋等）和特殊商品（如药品等）.已知某蔬菜的保鲜时间y（单位：小时）与贮藏温度x（单位：℃）之间满足：（其中a，b为常数）.若该蔬菜在贮藏温度为9℃的环境下保鲜时间为261小时，在23℃的环境下保鲜时间为29小时，且该蔬菜所需物流时间为87小时，则该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过（）A.12℃ B.14℃ C.16℃ D.18℃答案：C解析：思路：利用已知条件求出指数函数的参数，再通过不等式求解温度范围.解答过程：已知保鲜时间与贮藏温度的关系为（为常数）.当时，，代入得：①当时，，代入得：②将①②化简可得：，即，解得：，代入①式求得：，由题意，即：，即，则，将代入：，化简可得：，当指数大于等于零时不等式成立，即，解得.所以该蔬菜在物流过程中的贮藏温度不能超过.7.在等比数列中，，，若不等式成立，则的最小值为（）A.25 B.24 C.27 D.26答案：C解析：思路：根据给定条件，结合等比数列性质求得，进而求得及，最后对分奇偶数分类求和即可.解答过程：设的公比为，由，得，则，令，因此，记，当为偶数时，，无正整数解；当为大于2的奇数时，，由，解得，又为奇数，因此的最小值为27.故选：C8.如图，一块长方体大理石板材斜靠在与水平地面垂直的墙面上，仅点与墙面接触，点到墙面的距离分别为，若，则该长方体外接球的表面积为（）A. B. C. D.答案：D解析：思路：根据给定条件，取为一组基底，利用空间向量数量积求出长方体的棱长，进而求出其外接球半径即可得解.解答过程：设，则，方向向右的单位向量为墙所在平面的法向量，取为一组基底，显然两两垂直，由空间向量基本定理知，存在唯一一组有序实数组，使得，由点到墙面的距离分别为，得，则，所以，而，所以，即，解得，则，长方体外接球半径，所以其外接球的表面积.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知复数满足，则（）A.的实部是 B.的虚部是C. D.在复平面内所对应的点位于第二象限答案：AD解析：思路：根据复数除法运算可化简得到，由共轭复数、复数的实部和虚部定义、复数模长运算与几何意义依次判断各个选项即可.解答过程：；对于A，由实部定义知：的实部为，A正确；对于B，，的虚部是，B错误；对于C，，C错误；对于D，对应的点为，位于第二象限，D正确.故选：AD.10.已知数列满足，则（）A.B.C.若，则的最大值为1214D.的前36项和为1226答案：AC解析：思路：根据给定的递推公式，求出的表达式，再结合单调性及并项求和法逐一分析判断.解答过程：对于A，，数列是首项，公差为5的等差数列，，A正确；对于B，由选项A得，数列均为递增数列，数列中除外，其它项均不为1，B错误；对于C，由选项B得，当时，，因此的最大值为1214，C正确；对于D，由选项B得，因此数列的前36项和为，D错误.故选：AC11.已知抛物线的焦点为，点为的准线上一点，过焦点且斜率大于0的直线与C交于，两点（在第一象限），与准线交于点，为原点，直线，分别交于，两点，则（）A.若，则直线的斜率为B.若过点的的切线与交于点，则C.若的面积为，则D.若，则直线的倾斜角为答案：BCD解析：思路：根据题意先求，进而得抛物线方程，再根据抛物线的性质和直线与抛物线的关系逐项验证即可求解.解答过程：如图：由题意得，所以抛物线，所以，设，直线对于A：由，解得，所以，解得，所以，所以，故A错误；对于B：由，所以，又点位于第一象限，所以，，所以，所以，所以过点的切线方程为：，即，令，，所以，所以，所以，所以，故B正确；对于C：由，消元整理得，所以，所以，所以，又到直线的距离为，所以，解得，所以直线的直线方程为：，令得，所以，同理得，所以，故C正确；对于D：由直线，令，得，所以，所以，所以，由得：，所以，又，所以，解得，所以，又因为，解得，又，所以，即，又，所以，所以直线的斜率为，所以直线的倾斜角为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.的展开式中所有奇数项的系数和为________．答案：121解析：解答过程：展开式的通项为，，当，2，4时,，，，其系数和为．13.已知双曲线的右顶点为，点．若在的渐近线上存在点，使得，则的离心率的取值范围是________．答案：解析：思路：法1：设点在渐近线上，由向量垂直得数量积为零，整理出关于的一元二次方程，利用方程有解判别式非负，结合双曲线关系化简，最终求得离心率范围.法2：由向量垂直知在以为直径的圆上，利用渐近线与圆有公共点，得圆心到渐近线距离不大于半径，代入双曲线关系化简，求出离心率取值范围.解答过程：法1：双曲线的右顶点，不妨取渐近线方程为.设，则，.由，得，整理得.由题意知该关于的方程有解，所以.化简可得，即，所以，又.所以，即的离心率的取值范围是．法2：由知，点在以为直径的圆上.由题意知的渐近线与圆有公共点，所以到的渐近线的距离满足，即，所以，所以.所以，又，所以，即的离心率的取值范围为．14.某数学兴趣小组有4名男生与2名女生参加答题活动，规则如下：先从这6人中随机选1人回答问题，再从剩下的5人中随机选1人回答问题，依次进行，直到剩下的学生的性别一样或仅剩1人时答题结束．为答题结束时选取答题的人数，则__________．答案：解析：思路：确定的所有可能取值，再结合排列、组合及古典概型概率计算公式求得对应概率即可求解.解答过程：由题意的可能取值为2，3，4，5，则，，，，所以．故四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.为了解学生初中升学的数学成绩对高一数学学习的影响，在高一年级随机抽取6名学生，对其入学的数学成绩（分）和高一第一学期期末考试数学成绩（分）进行了统计，如下表：中考数学成绩5060708090100高一第一学期期末数学成绩658095105120130（1）规定高一期末数学成绩不低于90分为及格，不低于120分为优秀，从所抽取的6人中随机选取1人，记为“学生的高一第一学期期末数学成绩及格”，为“学生的高一第一学期期末数学成绩优秀”，求；（2）由散点图可知与之间具有线性相关关系，求关于的经验回归方程并估计某中考数学成绩为110分的学生高一第一学期期末考试的数学成绩（成绩保留整数，采用四舍五入法）．附：经验回归模型中，；参考数据：．答案：（1）；（2），估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分.解析：思路：（1）利用古典概率公式及条件概率公式求解.（2）由给定数表求出，再利用最小二乘法求出回归直线方程，进而进行数据估计.（1）依题意，，所以.（2）依题意，，，则，，因此，当时，，所以估计该学生高一第一学期期末考试的数学成绩为145分.16.如图，在三棱柱中，平面，侧面是菱形，且，点为的中点.（1）证明：平面；（2）若，求平面与平面夹角的余弦值.答案：（1）因为平面，平面，所以，因为侧面是菱形，，所以是等边三角形，又点为的中点，所以，又因为，平面，，所以平面.（2）解析：思路：（1）由线面垂直的性质可得，进而可得，利用线面垂直的判定定理可证结论；（2）由题意可证，，两两垂直，建立空间直角坐标系，求得平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用向量法可求得平面与平面夹角的余弦值.（1）略（2）取的中点，连接，则，因为平面，平面，所以，所以，由（1）知，平面，平面，所以，所以，，两两垂直，以点为原点，直线，，分别为轴，轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，所以，，.设平面的一个法向量，则，即令，解得，，所以，设平面的一个法向量，则，即，令，解得，所以，设平面与平面的夹角为，则，即平面与平面夹角的余弦值为.17.在中，内角、、的对边分别是、、，且．（1）若，，求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围．答案：（1）（2）解析：思路：（1）利用正弦定理结合三三角恒等变换化简得出，利用二倍角的余弦公式求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用正弦定理可求得的值；（2）由为锐角三角形求出的取值范围，再利用正弦定理结合余弦函数的基本性质可求得的取值范围.（1）由及正弦定理得，因为、，则，所以，由可得.①若，可得，矛盾；②若，可得.因为，所以，，由正弦定理得.（2）因为为锐角三角形，则，解得，由正弦定理可得，即的取值范围是.18.已知圆，点为圆上的动点，线段的中垂线交线段于点，当点在圆上运动时，点的轨迹为曲线．设与轴交于点（点在轴的负半轴上），过点且斜率为的直线交于点．（1）求的方程；（2）当时，求四边形的面积；（3）若点关于原点的对称点为，直线交于点，记直线的斜率为，判断是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由．答案：（1）（2）（3）是定值，为解析：思路：（1）证明，根据椭圆定义判断Q的轨迹为椭圆，根据椭圆的几何性质即可求出其标准方程；（2）写出l的方程，与椭圆方程联立，消去y得到关于x的方程，设，利用韦达定理求出，根据四边形的面积，即可求出；（3）设l的方程为，代入椭圆的方程，消去x得到关于y的方程，设．写出直线AD、BN的方程，联立它们的方程求出G的坐标，从而可求，代入化简