《圆：探索规律》教案（2课时）-2026-2027学年西南大学版（新教材）小学数学六年级上册

《圆：探索规律》教案（2课时）-2026-2027学年西南大学版（新教材）小学数学六年级上册一、学情分析学生在本单元前面课时已经完成圆的认识、圆的周长、圆的面积学习，清楚单个圆是轴对称图形，知道圆有无数条对称轴，熟练掌握圆周长、面积计算公式，具备轴对称图形的基础认知，能够使用圆规、直尺画图，有折纸、小组合作探究图形特征的学习经验。六年级学生已经具备初步的观察、猜想、归纳推理能力，但在组合圆图形的对称性辨析、从数据变化里提炼倍数规律、区分周长和面积变化差异上容易出现混淆，习惯直接记忆结论，缺少主动用不完全归纳法验证规律的意识，对于曲线图形组合隐藏规律的抽象思考还有一定难度，需要依托动手操作、表格数据分析、图形直观支撑开展探究活动。二、教材分析本课是第二单元《圆》的专题探究课，安排在圆的周长、圆的面积之后，教材设置例1、例2两个核心探究内容，配套课堂活动与对应练习题。例1聚焦两个圆组合图形的轴对称规律，依托教材插图呈现两圆外离、相交、内切、同心等不同位置关系，引导学生折一折、画一画，探究等圆、不等圆、同心圆的对称轴数量；例2是钢管捆扎情境，探究捆扎绳长的构成规律，把绳长拆分为圆弧部分和直线段部分，发现多个圆弧拼接刚好合成一个整圆周长的规律。教材编排遵循“操作观察—猜想验证—归纳表达—运用规律”的探究路径，不再侧重公式计算，重在渗透几何直观、模型思想与归纳推理，既是对圆的特征、轴对称知识的综合巩固，也为后续复杂组合图形、规律类问题的学习积累探究方法。三、核心素养教学目标（依据2022版新课标）1.几何直观、空间观念：通过摆圆、折纸、画图、观察教材图例，直观感知两个圆不同位置组合形成的图形特征，能准确画出组合图形对称轴，看懂捆钢管示意图，拆分图形线段与圆弧，建立曲线组合图形的空间表象。2.推理意识：经历观察、操作、填表、对比、验证的过程，自主归纳组合圆对称轴的规律、捆扎绳长构成规律，能用规范数学语言描述规律，学会不完全归纳的探究方法。3.模型意识：能够把钢管捆扎的生活情境抽象成几何模型，提炼绳长计算的通用模型，会运用发现的规律解决同类型简单问题。4.数学语言：在师生对话、小组交流中，清晰表达自己的猜想、发现，区分“圆心重合、圆心不重合、等圆、不等圆”等数学表述。四、教学重难点教学重点：第1课时，探究两个圆组合图形的对称轴数量规律；第2课时，探究钢管捆扎绳长的构成规律，掌握规律的归纳方法。

教学难点：辨析不同位置、不同大小两圆组合后的对称轴差异；理解多个分散圆弧拼接之后总和等于一个整圆周长的道理。五、教学过程第1课时探究两圆组合图形的对称轴规律（一）导入新课，链接教材旧知教师：同学们，前面我们学习圆的认识的时候，教材里面明确说了圆是轴对称图形，谁先来回忆一下，单个圆的对称轴是什么？一共有多少条？

学生：圆的对称轴是直径所在的直线，圆有无数条对称轴。

教师：说得很好，我们翻开课本，看一看本节课例1上方的问题：如果把两个圆拼在一起，组成一个新图形，它还是轴对称图形吗？如果是，又会有几条对称轴？今天我们就跟着课本例题，一起来探索藏在圆组合图形里面的规律。（板书课题：探索规律）

【设计意图】直接对接教材提出的驱动问题，唤醒单个圆轴对称的旧知，形成认知冲突，明确本节课第一课时的探究任务，让学生清楚探究起点来自教材例题。（二）探究活动一：探究两个大小相同的圆（等圆）组合图形的对称轴，学习教材例1第一组图教师：请大家拿出课前准备好的两个完全一样的圆形纸片，对照课本例1第一组插图，自己动手摆一摆，看看书上画了哪几种摆放方式。大家仔细看图，插图里面画出了两个等圆外离、外切、相交三种情况。请大家模仿图上的样子摆好，然后用折一折、画一画的方式，试着找出每个图形的对称轴，把对称轴画在教材的图上。大家可以同桌两个人合作，一个摆图形，一个画图记录。

学生动手操作、画图，教师巡视，查看学生画图情况，收集学生作品。

教师：好，很多同学已经完成了，我们一起来对照课本插图交流。先看第一种，两个等圆分开，互不接触，也就是外离的情况，谁来说一说，你找到几条对称轴？你是怎么找到的？

学生：我找到2条，一条是经过两个圆心的直线，对折之后两边重合；还有一条是两个圆心连线的垂直平分线，对折之后两边也重合。

教师：大家同意吗？我们一起在黑板上画两个等圆，标出圆心O₁、O₂，画出连心线，再画出连心线的垂直平分线。我们来想一想，为什么这两条都是对称轴？沿着连心线对折，左边的圆刚好和右边的圆重合；沿着垂直平分线对折，上下两部分也完全重合。那我们再看教材插图里面第二个，两个等圆刚好挨在一起，外切，只有一个交点，它有几条对称轴？

学生：也是2条，和刚才的道理一样，一条过两个圆心，一条是连心线的垂直平分线。

教师：那第三个图，两个等圆相交，有两个交点，大家再折一折，对称轴数量有没有变化？

学生：还是2条。

教师：非常好，我们把这三种情况放在一起对比。都是两个大小相同的圆，不管它们是分开、相切，还是相交，只要两个圆心不重合，组合之后的轴对称图形，对称轴都是几条？

学生齐答：2条。

教师板书小结：两个等圆，圆心不重合→2条对称轴。

教师：那大家想一想，如果两个等圆的圆心重合，变成同心圆，会是什么样子？请大家动手把两个等圆叠在一起，圆心对齐，看一看，这个时候有几条对称轴？

学生：无数条，只要经过共同圆心的直线都是对称轴，和一个圆一样。

教师：没错，这种属于特殊情况，两个等圆同心，对称轴无数条。

【设计意图】严格依托教材例1第一组插图的三种典型摆放形式，用动手操作落实教材要求的“摆一摆、画一画”，通过师问生答逐层引导，对比相同点，初步归纳等圆组合的规律，避免脱离教材图例随意拓展图形。（三）探究活动二：探究两个大小不同的圆组合图形的对称轴，学习教材例1第二组图教师：我们继续看课本例1的第二组插图，这一组画的是大小不一样的两个圆，同样有外离、外切、相交这几种情况，请大家拿出一大一小两张圆片，对照书上的图摆一摆，继续折一折，画出对称轴，仔细数一数，这时候对称轴有几条。

学生自主操作，教师巡视，留意有没有学生画出第二条对称轴，做好引导准备。

教师：谁来分享你的发现？先看大小不同的两个圆，分开摆放，外离，你找到了几条对称轴？

学生：只有1条，就是同时经过两个圆心的那条直线。

教师：能不能找到第二条？我们试着画连心线的垂直平分线，沿着这条线对折，大圆和小圆能重合吗？

学生：不能，一个大一个小，对折之后对不上。

教师：说得很关键，因为两个圆半径不相等，大小不一样，所以连心线的垂直平分线不再是对称轴。我们再看插图里面，大小两圆外切、相交的情况，大家折一折，是不是同样只有经过两个圆心的这一条直线，对折之后两边完全重合？

学生：是的，不管分开、相切、相交，都只有1条。

教师：那我们再考虑特殊情况，如果大小不同的两个圆，圆心重合，形成同心圆，又是几条对称轴？

学生：无数条，只要过共同圆心就可以。

教师：我们一起来整理，两个大小不一样的圆，圆心不重合的时候，对称轴有几条？同心的时候呢？

学生：圆心不重合，1条；圆心重合，无数条。

教师板书小结：两个不等圆，圆心不重合→1条对称轴；同心圆（无论半径是否相等）→无数条对称轴。

教师：课本例1下面有一个“议一议”，问题是：两个圆组成的图形，对称轴的条数和什么有关系？我们结合刚才两次探究的结果，同桌互相说一说。

同桌交流之后，指名汇报。

学生：和两个圆大小是不是一样、圆心有没有重合有关系。

教师：总结得很到位，判断的时候，我们分两步看：第一步，先看圆心是否重合，同心就有无数条；第二步，如果圆心不重合，再看两个圆是不是一样大，等圆2条，不等圆只有1条。

【设计意图】紧扣教材例1配套的“议一议”问题，把两组探究内容对比整合，提炼判断的思考步骤，帮助学生理清逻辑，区分容易混淆的地方，落实教材设置的讨论任务。（四）教材课堂活动巩固教师：翻到课本本节课的课堂活动第1题，题目要求我们小组合作，画一画，说一说。题目给出3个同样大小的圆摆成的图形，请大家先独立在书上画出它的对称轴，再和小组同学说一说，你画了几条，为什么。

学生独立画图，小组交流。

教师：谁上台展示？三个等圆，圆心不在同一条直线上，组成一个三角形的样子，这个图形有几条对称轴？

学生：3条，每一条对称轴都经过一个圆的圆心和另外两个圆圆心连线的中点。

教师：我们一起核对，每一条直线对折之后，两边的图形能够完全重合。这里提醒大家，我们今天的核心规律先从两个圆入手，多个等圆的组合，要结合摆放方式再判断，核心判断思路不变，还是看能不能找到直线让图形对折重合。

教师：我们再看教材配套的基础练习题，画出图中各个组合图形的对称轴，大家独立完成在书上，注意：只需要画出符合规律的对称轴，不要多画、漏画。

学生独立完成画图练习，教师挑选几份作业，对照规律集体订正，重点纠正“不等圆画出2条对称轴”的典型错误。（五）第一课时课堂小结（阶段性小结，不是全课最终小结）教师：这一节课，我们跟着课本例1，研究了两个圆组合图形的轴对称规律，谁再来完整说一说我们找到的规律？

学生回顾表述，教师梳理：同心，无数条；圆心不重合，等圆2条，不等圆1条。

教师：下一节课，我们继续学习例2，探索捆扎钢管里面和圆周长有关的新规律。第2课时探究捆扎钢管的绳长规律（一）复习导入，衔接新知教师：上一节课，我们探索了两个圆组合图形对称轴的规律，我们快速回顾一下判断口诀：同心无数条，等圆不同心2条，不等圆不同心1条。今天我们继续学习课本例2，这是一个生活里捆钢管的问题，这里面藏着和圆周长有关的规律，请大家打开课本，仔细观察例2的示意图。

教师：我们先看懂图，图里面是4根横截面是圆形的钢管，整齐摆成正方形，用绳子把这4根钢管捆起来。大家观察图上的绳子，绳子紧贴钢管，这根绳子的总长由哪两部分组成？大家先自己看一看，找一找。

学生观察教材插图，独立思考。

【设计意图】复习上一课时规律，自然过渡到教材例2的实际情境，引导学生聚焦例2的几何模型，明确本节课探究方向。（二）探究活动一：分析4根钢管捆扎模型（教材例2原图）教师：我们一起把绳子拆分来看，对照插图，四个角上贴着钢管的部分，是四段圆弧；直的部分，是四段直直的线段。我们先来研究圆弧部分，每一段圆弧对应的圆心角是多少度？大家想一想，钢管摆成正方形，相邻两个圆心连线是正方形的边，正方形的角是90°。

教师在黑板画出4个圆心，连成正方形，标出四段圆弧。

教师：每一段圆弧在钢管的角落，圆心角等于90°，也就是四分之一圆的弧长。这里一共有几段圆弧？

学生：4段，每段都是90°的弧。

教师：我们算一算，4个90°，合起来一共多少度？

学生：4×90°=360°。

教师：360°对应的圆弧，刚好就是一整个圆的周长！这就是这个例题里面最核心的规律：四个角落分散的圆弧拼在一起，总和等于一个整圆的周长。

教师：我们再看直的线段部分，每一条直线段，两个端点刚好分别贴在相邻两个圆上，线段的长度等于钢管横截面的什么？

学生：等于圆的直径。

教师：图里有几条这样的直段？

学生：4条。

教师：所以绳子的总长度=一个圆的周长+4条直径的长度。我们对照课本上面的算式，书上给出钢管横截面直径是10厘米，大家跟着书上，一起列式计算。

学生口述：C=πd=3.14×10=31.4厘米，4条直径：10×4=40厘米，总长31.4+40=71.4厘米。

教师：很好，我们读懂了例2的图、看懂了书上的算式，现在我们思考课本例2后面的问题：如果捆3根钢管，摆成三角形，绳子总长又怎么算？大家对照课本配套的示意图，继续观察。（三）探究活动二：探究3根钢管捆扎模型，归纳通用规律教师：3根钢管摆成等边三角形，绳子同样贴着钢管绕一圈，先找圆弧部分。一共有几段圆弧？

学生：3段圆弧。

教师：等边三角形每个内角60°，每一段圆弧对应的圆心角是多少？我们结合圆心连线形成的等边三角形想一想。每段圆弧对应的圆心角是120°，大家算一算三段圆弧加起来一共多少度？

学生：120°×3=360°，合起来还是一个整圆周长！

教师：哇，大家发现了吗？不管是4根摆正方形，还是3根摆等边三角形，外侧所有圆弧拼接之后，圆心角总和都是360°，圆弧总长永远等于1个整圆的周长。这个就是这条规律最核心的地方。

教师：那直的线段部分呢？3根钢管，有几条直段？每条长度等于直径？

学生：3条，每条等于直径。

教师：所以捆3根钢管，绳长=一个圆周长+3条直径。我们同样用直径10厘米算一算，验证一下。

学生计算：3.14×10+10×3=61.4厘米。

教师：我们再做一个猜想，如果是2根钢管并排捆在一起，会是什么样？大家在草稿纸上画一画，两根圆并排，捆一圈，圆弧几段？加起来是不是还是一个整圆周长？直段几条？

学生画图思考，汇报：两段半圆，拼起来一个整圆；直段2条，每条等于直径，绳长=圆周长+2条直径。

教师：现在我们把2根、3根、4根放在一起对比，大家能不能说出通用的规律？小组讨论。

小组讨论之后汇报，教师整理板书：把n根相同圆形钢管，紧密排成正多边形捆一圈，捆绳总长=1个圆的周长+n×直径。

教师：我们再回到教材，看一看课本例题下面的“想一想”，教材提出问题：为什么不管是3根、4根，圆弧部分合起来都是一个整圆？谁能用刚才的发现解释？

学生：因为这些圆弧对应的圆心角加起来刚好是360°，所以合起来正好是一个完整圆周。

教师补充点拨：正多边形的外角和是360°，每一段圆弧的圆心角和多边形外角相等，全部加起来就是360°，所以圆弧总和固定是一个圆周长。这里不用背诵外角概念，大家记住图形拼接之后，圆弧总和不变这个规律就可以。

【设计意图】以教材例2正方形捆扎为基础，延伸教材自带的三角形捆扎思考问题，依托图表、计算对比，引导学生自主提炼通用模型，抓住圆弧部分不变这个核心，突破本节课难点，所有探究素材、问题全部来自教材文本。（四）教材配套练习运用规律教师：翻开课本练习，第一题就是捆钢管变式题，直径8厘米，5根钢管摆成正五边形捆扎，求绳长。大家独立运用我们刚刚总结的规律列式。

学生独立列式，指名汇报：3.14×8+5×8=25.12+40=65.12厘米。

教师：我们核对思路，圆弧总和是一个圆周长，直段5条直径，思路完全符合规律。

教师：再看教材里面第二个变式，有同学画