2026-2027学年北师大版九年级上学期数学期中模拟考试全真模拟考试拔尖卷（含解析）

2026—2027学年北师大版九年级上学期数学期中模拟考试全真模拟考试拔尖卷（测试范围：第一章特殊平行四边形到第五章二次函数）说明:答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡指定的位置上，并将条形码粘贴好.考试时间120分钟，全卷满分120分.3.作答选择题1-10，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案.作答非选择题11—24，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内.写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。4.考试结束后，请将答题卡交回.一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分）1．已知线段a，b，c，d为成比例线段，其中a=2cm，b=3cm，c=6cm，则d是（）A．1cm B．5cm C．9cm D．12cm2．如图是由五个相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A．B．C．D．3．把抛物线y=2xA．y=2(x+3)2-1 B．y=2(x+3)2+1 C．y=2(x-3)2-1D．y=2(x-3)2+14．若点−2,y1，1,y2，A．y3>y2>y1 B．5．下列命题中正确的是()A．四边都相等的四边形是正方形B．对角线互相平分的四边形是平行四边形C．对角线互相垂直的四边形是菱形D．对角线相等的四边形是矩形6．已知方程x2+bx+3=0的一根为A．5−2 B．5+2 7．若关于x的一元二次方程x2A．3 B．9 C．10 D．128．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则S△DEF：S△ADF=（）A．2：3 B．3：5 C．2：5 D．3：29．已知二次函数y=axA．ac<0 B．b2−4ac<0 C．b=-4a10．如图，在菱形ABCD中，∠D=135°，AD=32,CE=2，点P是线段AC上一动点，点F是线段AB上一动点，则A．22 B．3 C．25 二、填空题（每小题3分，满分18分）11．已知n是方程x2−x−2=0的一个根，则代数式n212．已知关于x的一元二次方程x2−2m+1x+m2+m=0有两个实数根x113．如图，在△ABC中，BC=12，高AD=6，正方形EFGH的边HG在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为．14．如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边BC，DC上，且AE⊥EF．若AB=2，AD=4，BE=1，则CF的长为．15．如图，在△ABC中，点D在AB边上．若BC=3，BD=2，且∠BCD=∠A，则线段AD的长为16．如图，抛物线y=ax2三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明）17．解方程（1）x2（2）3x18．如图，在平面直角坐标系中，给出了格点△ABC（顶点均在正方形网格的格点上），已知点A的坐标为−4,3．（1）以点O为位似中心，在给定的网格中画出△A1B1C1，使△ABC与（2）△ABC与△A（3）△A19．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．（1）求证：△ACD∽△ABC；（2）若AD=1，DB=4，求AC的长．20．如图，在平行四边形ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE与DC相交于点O，连接DE.（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）若∠AOD=120°，AC=4，求线段CD的长.21．某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利81元，平均每天可售出20件.（1）求平均每次降价盈利减少的百分率；（2）为尽快减少库存，商场决定再次降价.每件上衣每降价1元，每天可多售出2件.若商场每天要盈利2940元，每件应降价多少元？22．关于x的一元二次方程ax2（1）方程①x2−6x+8=0，②x2（2）若一元二次方程x2+9x+c=0是“倍根方程”，求出（3）若x−2ax−b=0a≠023．若四边形中有一条对角线平分一组对角，则我们把这个四边形叫做角分四边形，这条对角线叫做它的角分线．（1）在①平行四边形，②矩形，③菱形，④正方形中，一定为角分四边形的有（填序号）；（2）在角分四边形ABCD中，AC为它的角分线，与对角线BD相交于点O，且∠BAD+∠BCD=2∠ABC．①如图1，求证：AC⊥BD；②如图2，延长BC至点M，使得CM=CB，连接DM，N为DM上一点，且NA⊥AB，MN2−2BC2+6BC−9=0，24．我们约定：若抛物线y=ax2+bx+ca≠0与直线y=a有交点，我们称函数y=ax2+bx+c（1）若函数y=2x（2）已知函数y=tx2−tt≠0的一个“僖乐点”为P，直线y=mx+n(m≠0)与抛物线y=tx2−t（3）关于x的函数y=x2−(3k+sk+t+2)x+(sk+2)(3k+t)+1①求A、B的坐标(用s、k、t的式子表示)；②如果对于一切实数k，x1参考答案1．【答案】C【解析】【解答】解：∵a,b,c,d是成比例线段，

∴a：b=c：d，

∵a=2cm,b=3cm,c=6cm，

∴d=bc故答案为：C.2．【答案】D3．【答案】A4．【答案】D5．【答案】B6．【答案】A7．【答案】A【解析】【解答】解：由题知，

∵关于x的一元二次方程x2+6x+c=0有两个不相等的实数根，

∴∆=62-4c>0，

解得c<9，

显然只有A选项符合题意.

故选：A.

8．【答案】C【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC‖AB,

∴△DFE∽△BFA.

∵S△DEF:S故答案为：C.9．【答案】B【解析】【解答】解：由图象可得a<0，-b2a=2，c>0，b2−4ac>0，

∴ac<0，b>0，b=-4a，

当x=1时，y>0，

∴10．【答案】D【解析】【解答】解：作点E关于AC的对称点点G，连接PG、PE，则PE=PG，CE=CG=2，连接BG，过点B作BH⊥CD于H，则∠BCH=∠CBH=45°，∵四边形ABCD是菱形，AD=3∴BC=AD=3∴Rt△BHC中，BH=CH=BC⋅sin∴HG=HC-GC=3-2=1，∴Rt△BHG中，BG=BH∵当点F与点B重合时，PE+PF=PG+PB=BG（最短），∴PE+PF的最小值是10．故选：D．11．【答案】−202412．【答案】4【解析】【解答】解：∵x1+x2=−b故答案为：4.13．【答案】2【解析】【解答】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边形EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°，EF∥BC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∠ANE=∠END=90°，∵BC=12，AD=6，∴AN=AD-DN=6-x，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴AN∴6−x解得：x=4，∴AN=6-x=6-4=2，∴AN的长为2.故答案为：2.14．【答案】1.5【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，

∴∠B=∠C=90°，BC=AD=4，

∴EC=BC-BE=4-1=3，

∵∠B=∠C=90°，

∴∠BAE+∠AEB=90°，

∵AE⊥EF，

∴∠AEB+∠CEF=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△ABE~△ECF，∴CFBE=ECAB，即故答案为：1.5.15．【答案】5【解析】【解答】解：∵∠BCD=∠A，∠B=∠B，∴△BDC∽△BCA.∴BDBC故答案为：5216．【答案】(-1，2)【解析】【解答】解：∵抛物线y=-x2-2x+3与x轴交于A、B两点，

∴点A(-3，0)，C(0，3)

设直线AC的解析式为y=kx+b，

∴把A(-3，0)、(0，3)分别代入直线y=kx+b，

得−3k+b=0c=3

解得：k=1c=3

∴直线AC解析式为y=x+3；

设直线AC与对称轴x=-1的交点为M，则此时MB+MC的值最小，

把x=-1代入直线y=x+3得，y=2

∴M(-1，2)

故答案为：(-1，2).17．【答案】（1）x1=−6（2）x1=118．（1）解：如图所示，△A（2）解：∵A的坐标为−4,3．点A1的坐标为8,−6∴△ABC与△A1B故答案为：12（3）△A1B故答案为：8．19．【答案】（1）证明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=90°．∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ACB．又∵∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC．（2）解：∵△ACD∽△ABC，∴ACAB=AD∵AD=1，DB=4，∴AB=AD+DB=5．∴AC2=1×5=5，∴AC=20．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，∵CE=BC，∴AD=CE，AD∥CE，∴四边形ACED是平行四边形，∵AB=DC，AE=AB，∴AE=DC，∴四边形ACED是矩形；（2）∵四边形ACED是矩形，∴OA=12AE，OC=1∴OA=OC，∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，∴△AOC是等边三角形，∴OC=AC=4，∴CD=8．21．【答案】（1）解：设平均每次降价盈利减少的百分率为x，依题意，得100（1-x）2＝81，解得x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去），答：平均每次降价盈利减少的百分率为10%；（2）解：设每件应降价y元，则每天可售出（20+2y）件，依题意，得（81-y）（20+2y）＝2940，解得：y1＝60，y2＝11.

当y=60时，每天可售出20+2y=20+2×60=140(件），

当y=11时，每天可售出20+2y=20+2×11=42(件），∵要尽快减少库存，∴y＝60.答：每件应降价60元.22．【答案】（1）①（2）解：由一元二次方程x2+9x+c=0是“倍根方程”，设x2+9x+c=0的两个根为∴k+2k=−9解得c=18；经检验，c=18符合题意，∴c的值为18；（3）解：由(x−2)(ax−b)=0(a≠0)得x1=2，∵(x−2)(ax−b)=0(a≠0)是“倍根方程”，∴ba=1或ba=4当b=a时，2a−ba+b当b=4a时，2a−ba+b∴代数式2a−ba+b的值为12或23．【答案】（1）③④（2）解：①∵AC为角分四边形ABCD的角分线，∴AC平分∠BAD与∠BCD，

∴∠BAC=∠DAC，∠BCA=∠DCA，

又AC=AC，

∴△ABC≌△ADCASA，

∴AB=AD，CB=CD，∠ABC=∠ADC，

∴点A，C在BD的垂直平分线上，

∴AC⊥BD；

②由①可得BC=CD=CM，∠BCA=∠ACD，

∴∠CDM=∠M，

又∠BCD=∠CDM+∠M=∠BCA+∠ACD，即2∠BCA=2∠M，

∴∠BCA=∠M，

∴AC∥DM，

又∵NA⊥AB，

∴∠NAB=90°，

又∵∠BAD+∠BCD+∠ABC+∠ADC=360°，∠BAD+∠BCD=2∠ABC，

∴4∠ABC=360°，

∴∠ABC=90°，

∴∠NAB+∠ABC=180°，

∴AN∥BM，

∴四边形ACMN为平行四边形，

∴AN=CM，AC=MN，

又BC=CM，

∴AN=BC，

∵AN∥BC，

∴四边形ABCN为平行四边形，

又∠ABC=90°，

∴▱ABCN为矩形，

∴AB=CN，∠BCN=90°，

∴∠MCN=90°，

在Rt△MCN中，MN2=CN2+CM2，

∴MN2=AB2+BC2，

又MN2−2BC2+6BC−9=0

∴AB2+BC2−2BC2+6BC−9=0，

化简得AB2=BC2−6BC+9=24．【答案】（1）解：∵y=2x2−x+c，a=2，该函数是飞翔函数，

∴抛物线与y=2有交点，

令2x2−x+c=2，整理得2x2−x+(c−2)=0，

∴Δ=(−1)2−4×2×(c−2)=17−8c≥0，解得，

∵该函数是僖乐函数，

∴抛物线与（2）解：经过定点；∵y=tx2−t(t≠0)，

由题意，抛物线与直线y=−t有交点，

令tx2−t=−t，解得x=0，

∴僖乐点P(0,−t)；

∵P在直线y=mx+n上，代入得n=−t，

∴y=mx−t；

联立直线与抛物线得：tx2−t=mx−t，整理得tx2−mx=0，

设方程的两根为x1,x2，则；

∵x1+x2=2026，

（3）解：①y=x2−(3k+sk+t+2)x+(sk+2)(3k+t)+1(s、t为正整数，k为实数)图像上存在两个“飞翔点”，a=1，故飞翔点满足y=1，

令y=1得：x2−(3k+sk+t+2)x+(sk+2)(3k+t)+1=1，

整理得x2−[(sk+2)+(3k+t)]x+(sk+2)(3k+t)=0，

因式分解得x−(sk+2)x−(3k+t)=0，

解得x=sk+2或x=3k+t，飞翔点的纵坐标为y=1；

∴A(sk+2,1)，B(3k+t,1)（A，B可互换）；

②当x1=sk+2，x2=3k+t时，

由题意，对任意实数k，(sk+2)2≤(3k+t)2恒成立，

∴(s2−9)k2+(4s−6t)k+(4−t2)≤0，对任意实数k恒成立，

当s2−9=0即s=3（负值舍去）时，则(12