专题30 新定义与阅读理解创新型问题（共31题）（原卷版）

专题30新定义与阅读理解创新型问题（31题）

一、单选题

I.（2023・湖北武汉・统考中考真题）皮克定理是格点几何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多

边形的面枳S=N+gL-l,其中分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数.在平面直角坐标系中，

横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A（0,30）,B（20,10）,0（0,0）,则&A8O内部的格点个数是（）

A.266B.270C.271D.285

2.（2023・湖南张家界•统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图

形.如图，分别以等边A8C的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三

角形若等边A8c的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于（）

3.（2023.重庆•统考中考真题）在型项式不一），一—〃?一〃（其中中，对相邻的两个字母间任

意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作例如：

z-m\-n=x-y-z+ni-n,\x-y\-z-\m-t^=x-y-z-m+n,….下列说法：

①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在''绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；

③所有的“绝对操作”共有7种不同运算结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.12023•湖南岳阳•统考中考真题）若一个点的坐标满足住,2女），我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于1

的二次函数），=。+1）/+1+2）“$（印为常数，——1）总有两个不同的倍值点，则$的取值范围是（）

A.s<-\B.svOC.0<5<1D.-l<s<0

5.（2023・山东•统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3岩，则称这个点为“三倍点”，如：

A（l,3）,8（—2,-6）,C（0,0）等都是三倍点“，在-的范围内，若二次函数y=r?的图象上至少存

在一个“三倍点”，则c的取值范围是（）

A.--<c<IB.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

6.（2（）23•福建・统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利

用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之乂割，以至于不可割，则

与圆周合体，而无所失矣割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率乃的近似值为3.1416.如

图，。的半径为1,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计1。的面积，可得乃的估计值为迈，

2

若用圆内接正十二边形作近似估计，可得产的估计值为（）

B.2x/2C.3D.2小

二、填空题

7.（2023.甘肃武威.统考中考真题）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的

第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌田，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览

园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的

辐条（圆的半径）OA长约为6米，辐条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水

流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150。上升至

轮子上方8处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从人处（舀水）

转动到〃处（倒水）所经过的路程是________米.（结果保留"）

8.（2023•湖北随州统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题:

设有编号为1/00的100盏灯,分别对应着编号为1/00的100个开关,灯分为“亮”和“不亮”两种状态,每

按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮现有100个人，第I个人把所有

编号是I的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号

是3的整数倍的开关按一次.....第100个人把所有编号是10（〕的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和

第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是"亮''的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有盏.

9.（2023•湖南常德・统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧

长度的“会圆术”，如图.AB是以。为圆心，为半径的圆弧，C是弦A3的中点，。在AB上，CQ_LA8.“会

圆术”给出长/的近似值$计算公式：s=A6+^,当。4=2,Z4OB=90°W，\l-s\=.（结

OA

果保留一位小数）

10.（2023・北京・统考中考真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工

完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,D须在工序A完成后进行，工序E须在工序8,。都完成后进行，工序尸须在工序C,。都完

成后进行;

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序:

③各道工序所需时间如下表所示:

工序ABCDEFG

材料I：关于X的一元二次方程口J+阮+。=0(。=0)的两个实数根外，出和系数d仇c有如下关系:

bc

西+X,=——,xx,=—.

a('a

材料2：已知一元二次方程d—x_]=o的两个实数根分别为加，〃，求〃/〃+〃"/的值.

解：•，小〃是一元二次方程=0的两个实数根，

ni+n=\,mn=-\.

则nfn+mn2=mn(m+n)=—lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程2f+3x—l=0的两个实数根为芭，/，则％+占=，中2=

(2)类比：己知一元二次方程2/+3%-1=0的两个实数根为〃?，小求加2+〃2的值；

(3)提升：已知实数s,/满足2s2+3$-1=0,2『+3"1=0且s",求的值.

st

16.(2023•江苏徐州・统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到；玉

壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅♦释器》记载：“肉倍好，谓之璧;

肉好若一，调之环.”如图1,“肉''指边(阴影部分)，“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两

种玉器的“肉"与"好''未必符合该比例关系.

(1)若图1中两个大圆的直径相等，则璧与环的“肉”的面积之比为」

(2)利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题(保留作图痕迹，不写作法).

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.

17.(2023•浙江宁波・统考中考真题)定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为

邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

(1)如图I,在四边形A8CO中，〃)〃8C,N4=90。，对角线4。平分N/VX：.求证：四边形ABC。为邻等

四边形.

(2)如图2,在6x5的方格纸中，A,B,。三点均在格点上，若四边形A8CQ是邻等四边形，请画出所有符

合条件的格点D.

⑶如图3,四边形A8CO是邻等四边形，ZZMB=ZABC=90°,N8C。为邻等角，连接AC,过8作BE〃AC

交D4的延长线于点£若AC=8,QE=10,求四边形EBCO的周长.

18.(2023・山西・统考中考真题)阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任

务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,8C,CD,OA的中点，顺次连接E,F,G,H,

得到的四边形EFGH是平行四边形.

图1

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形EFG”被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

(%用火〃0〃/37包654—1722)是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对■角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接4C,分别交尸G于点尸,。，过点。作。于点M,交用于点N.

分别为ADC。的中点，・・.”G〃AC,”G=2AC.（依据1）

VDG=GC,DN=NM=-DM.

NMGC2

•・•四边形目‘G"是瓦里尼翁平行四边形，・•.”£〃G产，即"P〃GQ.

'：HG〃AC,即HG〃尸Q,

，四边形"PQG是平行四边形.（依据2）.•・S“/w="GMN=；”GDW.

•；S^0c=；ACDM=HG.DM，：.S期3=；520c.同理，…

任务：

（1）填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

⑵请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形A8CO及它的瓦里尼翁平行四边形石/PH，使得四边形EFG”

为矩形；（要求同时画出四边形ABC。的对角线）

（3）在图1中，分别连接AC8。得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形的周长与对角线AC8。长度

的关系，并证明你的结论.

图3

19.（2023・河北•统考中考真题）在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点（x»）移动到点

（x+2.y+l）称为一次甲方式：从点（x,y）移动到点。+1,），+2）称为一次乙方式.

例、点尸从原点0出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点用(4,2)；若都按乙方式，最终移动到

点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点E(3,3).

⑴设直线4经过上例中的点求乙的解析式；并亶军写出将《向上平移9个单位长度得到的直线《的解

析式；

(2)点P从原点O出发连续移动10次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点Q«y).其中，按甲方式

移动了机次.

①用含〃，的式子分别表示“，)'；

②清说明：无论〃，怎样变化，点。都在一条确定的直线上.设这条直线为在图中直接画出。的图象；

(3)在(1)和(2)中的直线。44上分别有一个动点A，5，C，横坐标依次为〃，4c，若A,B,C三点始终在

一条直线上，直接写出此时a,b,c之间的关系式.

20.(2023・湖南张家界•统考中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为〃，〃+扬，a+2不，〃+3%的正方形面积分别记为S，S1,S3,S”

则&-S|=(a+G)2-a2

二[(〃+〃)+〃*(a+\/b)-a~^

=(la4b)-yfb

=b+2a>/b

例如；当a=l,〃=3时，S?Sx=3i273

根据以上材料解答下列问题：

(1)当a=l,b=3时，S3-S2=,S4-S3=；

(2)当。=1,力=3时，把边长为〃+〃扬的正方形面积记作S；],其中〃是正整数，从(])中的计算结果，

你能猜出S向-S”等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当4=1,〃=3时，令八=-S[，，2=$3-§2，%=S「S3，…，ln=Sn+「S”,且7=乙++4+…+%，

求r的值.

21.(2023・湖北荆州•统考中考真题)如图1,点P是线段AA上与点A,点3不重合的任意一点，在的同

侧分别以A,P,8为顶点作N1=N2=N3,其中Nl与N3的一边分别是射线AB和射线EA,N2的两边不

在直线A4上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段44为等联线.

图1图2图3

(1)如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,为端点在格点的已知线段.请

用三种不同连接格点的方法，作出以线段A8为等联线、某格点〃为等联点的等联角，并标出等联角，保留

作图痕迹；

（2）如图3,在RiAAPC中，乙4=90,AC>AP,延长AP至点8,使A8=AC,作—A的等联角NCP。和

NPBD.将△?!/<沿PC折叠，使点A落在点M处，得到_加尸。，再延长交的延长线于E,连接CE

并延长交。。的延长线于r，连接鳍.

①确定PC尸的形状，并说明理由；

②若AP:PB=1:2,BF=a,求等联线A3和线段庄的长（用含&的式子表示）.

22.（2023•内蒙古赤峰•统考中考真题）定义：在平面直角坐标系"OX中，当点N在图形"的内部，或在图

形必上，且点N的横坐标和纵坐标相等时，则称点N为图形M的“梦之点”.

斗'C

O\234x

图①图②

⑴如图①,矩形ABCD的顶点坐标分别是A（-L2）,5（-1,-1）,C（3-1）,0（3,2）,在点心（1,1）,%（2,2）,

M（3,3）中，是矩形488“梦之点”的是；

（2）点G（2,2）是反比例函数y=人图象上的一个“梦之点”，则该函数图象上的另一个“梦之点””的坐标是

.1

，直线G”的解析式是％=.当此时，x的取值范围是__________.

1Q

⑶如图②，已知点A,B是抛物线），=上的“梦之点,,，点。是抛物线的顶点，连接AC,AB,

BC,判断A8C的形状，并说明理由.

23.（2023・北京・统考中考真题）在平面直角坐标系中，。的半径为1.对于的弦/W和。外一

点C给出如下定义：

若直线C4,。中一条经过点。，另一条是。的切线，则称点。是弦48的“关联点

（1）如图，点A（T,O）,0一孝，孝，

①在点G（T，1），Gd,o）,G（0,&）中，弦A片的“关联点”是.

②若点C是弦AB.的“关联点”，直接写出OC的长；

⑵已知点M（0,3）,N（竿.0）.对于线段MN上一点S,存在（O的弦也，使得点S是弦PQ的“关联点”,

记M的长为/,当点S在线段MN上运动时，直接写出/的取值范围.

24.（2023•四川凉山•统考中考真题）阅读理解题:

阅读材料：

如图1,四边形A8CO是矩形，"是等腰宜角三角形，记N84E为。、/FAD为P,若tana=g,则

tan夕=；.

证明：设BE=k,Vtana=-,AAI3=2k,

易证q△EFC（AAS）

/.EC=2k,CF=k,

・・・FD=k,AD=3k

.DFk\

..tanp=---=—=-,

AD3k3

若a+0=45°时，当tana=—,则tan/?=’.

23

同理：若。+6=45。时，当tana=；,则tan/=g.

根据上述材料，完成下列问题：

如图2,直线y=3x-9与反比例函数y='(x>0)的图象交于点A,与1轴交于点8.将直线绕点A顺

x

时针旋转45。后的直线与丁轴交于点E,过点A作轴于点过点A作AN_Ly轴于点N,已知

OA=5.

⑴求反比例函数的解析式；

(2)直接写出tan/BAM、tanANAE的值;

⑶求直线AE的解析式.

25.(2023•浙江台州•统考中考真题)【问题背景】

“刻漏”是我国古代的一种利用水流计时的工具.综合实践小组准备用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一

根带节流阀（控制水的流速大小）的软管制作简易计时装置.

【实验操作】

综合实践小组设计了如下的‘实验：先在甲容器里加满水，此时水面高度为30cm,开始放水后每隔lOmin观

察一次甲容器中的水面高度，获得的数据如下表：

流水时间//min010203040

水面高度加cm（观察值）302928.12725.8

任务I分别计算表中每隔lOmin水面高度观察值的变化量.

【建立模型】

小组讨论发现：）=0,人=30”是初始状态下的准确数据，水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近

似地刻画水面高度h与流水时间，的关系.

.节流阀

乙

任务2利用f=0时，/?=30；Z=10时，〃=29这两组数据求水面高度/?与流水时间，的函数解析式.

【反思优化】

经检验，发现有两组表中观察值不满足任务2中求出的函数解析式，存在偏差.小组决定优化函数解析式，

减少偏差.通过查阅资料后知道：，为表中数据时，根据解析式求出所对应的函数值，计算这些函数值与对

应力的观察值之差的平方和，记为卬；w越小，偏差越小.

任务3（1）计算任务2得到的函数解析式的卬值.

（2）请确定经过（0,30）的一次函数解析式，使得卬的值最小.

【设计刻度】

得到优化的函数解析式后，综合实践小组决定在甲容器外壁设计刻度，通过刻度直接读取时间.

任务4请你简要写出时间刻度的设计方案.

26.（2023・山西・统考中考真题）问题情境：“综合与实践”课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形纸片沿

对角线剪开，得到两个全等的三角形纸片，表示为/8C和△。尸E,其中4c3=ND£*=90。,乙4=/。.将

A6C和△。尸E按图2所示方式摆放，其中点3与点尸重合（标记为点6）.当乙4m=4时，延长。石交

AC于点G.试判断四边形BCGE的形状，并说明理由.

(1)数学思考：谈你解答老师提出的问题；

(2)深入探究：老师将图2中的凝绕点8逆时针方向旋转，使点E落在.A8C内部，并让同学们提出新的

图2

①“善思小组”提出问题：如图3,当时，过点A作鹿交跳，的延长线于点M.4M与4。

交于点N.试猜想线段AM和把的数量关系，并加以证明.请你解答此问题；

图3

②“智慧小组''提出问题：如图4,当NC8E=N84。时，过点A作A4_LDE于点〃，若8C=9,AC=12,求

A”的长.请你思考此问题，直接写出结果.

27.（2023・吉林长春•统考中考真题）【感知】如图①，点A、4、P均在上，ZAOB=90°,则锐角N/VN

的大小为度.

【探究】小明遇到这样一个问题：如图②，C。是等边三角形43C的外接圆，点尸在A。上（点尸不与点

A、C重合），连结94、PB、PC.求证：PB=PA+PC.小明发现，延长P4至点E,使AE=PC,连结

BE,通过证明△P8C丝△百力,可推得产的是等边三角形，进而得证.

下面是小明的部分证明过程：

证明：延长八4至点E,使4石=尸。，连结跖，

四边形A8C产是。的内接四边形，

Zfi4P+ZBCP=180°.

vZBAP+ZBA£=180°,

;./BCP=NBAE.

,/WC是等边三角形.

/.BA=BC，

PBCaEBA（SAS）

请你补全余下的证明过程.

【应用】如图③，。是ABC的外接圆，ZABC=90°,AB=BC,点P在O上，且点P与点B在4c的

PR

两侧，连结以、PB、PC.若PB=2叵PA,则正的值为.

28.（2023・广西・统考中考真题）【探究与证明】

折纸，操作简单，富有数学趣味，我们可以通过折纸开展数学探究，探索数学奥秘.

【动手操作】如图1,将矩形纸片ABCO对折，使4。与8c重合，展平纸片，得到折痕后尸；折叠纸片，使

点、B落在EF上,并使折痕经过点A,得到折痕AM,点8,E的对应点分别为8',E',展平纸片，连接49,

BB'，BE.

（图1）

请完成：

（1）观察图1中4,N2和/3,试猜想这三个角的大个去系;

⑵证明（1）中的猜想：

【类比操作】如图2,N为矩形纸片A8CO的边月。上的一点，连接8N,在A4上取一点P,折叠纸片，使

从P两点重合，展平纸片，得到折痕历；折叠纸片，使点笈尸分别落在Q,BN上,得到折痕/，点8,

。的对应点分别为夕，P,展平纸片，连接，.

（图2）

请完成：

⑶证明阳'是NNAC的一条三等分线.

29.（2023・河南•统考中考真题）李老师善于通过合适的主题整合教学内容，帮助同学们用整体的、联系的、

发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯.下面是李老师在“图形的变化”土题下设计的问题，请你解答.

⑴观察发现：如图I,在平面直角坐标系中，过点M（4,0）的直线/），轴，作/8C关于y轴对称的图形

△AB£,再分别作△ASG关于X轴和直线/对称的图形△48C和△A/C，则可以看作是ABC

绕点。顺时针旋转得到的，旋转角的度数为：可以看作是，A8C向右平移得到的，平移距离

为个单位长度.

（2）探究迁移：如图2,Y48co中，N8AO=a（0°vav90。），P为直线A8下方一点，作点尸关于直线A8

的对称点6,再分别作点々关于直线AD和直线CD的对称点八知A，连接A产，八B，请仅就图2的情形解

决以下问题：

①若请判断夕与“的数量关系，并说明理由；

②若4）=机，求尸，&两点间的距离.

（3）拓展应用：在（2）的条件下，若a=60。，AD=2j3,NPAB=15。，连接HA.当2A与YA8CD的边平

行时，请直接写出AP的长.

30.（2023•甘肃兰州•统考中考真题）在平面直角坐标系中，给出如下定义：尸为图形M上任意一点，如果

点P到直线E〃的距离等于图形M上任意两点距离的最大值时，那么点P称为直线EF的“伴随点

例如：如图1,已知点A（l,2）,8（3,2）,尸（2,2）在线段A8上，则点。是宜线打：x轴的“伴随点

当点P是

直线所的“伴随点'’时，求点。的坐标;

⑵如图3,x轴上方有一等边三角形A8C,5C•1），轴，顶点A在》轴上且在8C上方，0C=6，点P是ABC

上一点，且点P是直线石尸：x轴的“伴随点当点P到x轴的距离最小时，求等边三角形ABC的边长:

⑶如图4,以A（1,O）,8（2,0）,C（2,l）为顶点的正方形ABCD上始终存在点P,使得点。是直线跖：y=-x^b

的“伴随点请直接写出b的取值范围.

31.（2023・云南・统考中考真题）数和形是数学研究客观物体的两个方面，数（代数）侧重研究物体数量方

面，具有精确性、形（几何）侧重研究物体形的方面，具有直观性.数和形相互联系，可用数来反映空间

形式，也可用形来说明数量关系.数形结合就是把两者结合起来考虑问题，充分利用代数、几何各自的优

势，数形互化，共同解决问题.

同学们，请你结合所学的数学解决下列问题.

在平面直角坐标系中，若点的横坐标、纵坐标都为整数，则称这样的点为整点.设函数

），=（4«+2）V+（9—6a）x—4〃+4（实数4为常数）的图象为图象了.

（1）求证：无论。取什么实数，图象7与X轴总有公共点；

（2）是否存在整数。，使图象T与1轴的公共点中有整点？若存在，求所有整数。的值；若不存在，请说明理

由.

专题30新定义与阅读理解创新型问题（31题）

一、单选题

1.（2023・湖北武汉・统考中考真题）皮克定理是格点儿何学中的一个重要定理，它揭示了以格点为顶点的多

边形的面积S=N+：L-1,其中N,L分别表示这个多边形内部与边界上的格点个数.在平面直角坐标系中，

横、纵坐标都是整数的点为格点.已知A（0,30）,4（20,10）,0（0,0）,则.4?。内部的格点个数是（）

A.266B.270C.271D.285

2.（2023・湖南张家界•统考中考真题）“莱洛三角形”也称为圆弧三角形，它是工业生产中广泛使用的一种图

形.如图，分别以等边ABC的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，三段圆弧围成的封闭图形是“莱洛三

角形若等边A8C的边长为3,则该“莱洛三角形”的周长等于（）

3.（2023•重庆•统考中考真题）在多项式工一）'-2（其中工>），>2>/”>〃）中，对相邻的两个字母间任

意添加绝对值符号，添加绝对值符号后仍只有减法运算，然后进行去绝对值运算，称此为“绝对操作例如：

x-y-\z-m\-n=x-y-z+m-n,\x-^—z-\in-t^=x-y-z-m+n,….下列说法:

①存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式相等；

②不存在“绝对操作”，使其运算结果与原多项式之和为0;

③所有的“绝对操作''共有7种不同运算结果.

其中正确的个数是（）

A.0B.1C.2D.3

4.12023•湖南岳阳•统考中考真题）若一个点的坐标满足（忙24）,我们将这样的点定义为“倍值点”.若关于x

的二次函数y="+l）f+〃+2）x+s（取为常数，F-1）总有两个不同的倍值点，则$的取值范围是（）

A.s<-1B.5<0C.0<5<1D.-1<5<0

5.（2023・山东・统考中考真题）若一个点的纵坐标是横坐标的3名，则称这个点为“三倍点”，如：

人（1,3）,8（2,6）,C（0,0）等都是二倍点“，在-3<xvl的范围内，若二次函数y=--7十c的匡象上至少存

在一个，，三倍点，，，则。的取值范围是（）

A.--<c<1B.-4<c<-3C.--<c<5D.-4<c<5

44

6.（2023・福建・统考中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利

用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则

与圆周合体，而无所失矣“割圆术''孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率乃的近似值为3.1416.如

图，。的半径为I,运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积近似估计。的面积，可得乃的估计值为主叵，

2

若用圆内接正十二边形作近似估计，可得开的估计值为（）

A.&B.2&C.3D.25/3

二、填空题

7.（2023•甘肃武威・统考中考真题）如图1,我国是世界上最早制造使用水车的国家.1556年兰州人段续的

第一架水车创制成功后，黄河两岸人民纷纷仿制，车水灌出，水渠纵横，沃土繁丰.而今，兰州水车博览

园是百里黄河风情线上的标志性景观，是兰州“水车之都”的象征.如图2是水车舀水灌溉示意图，水车轮的

辐条（圆的半径）Q4长约为6米，幅条尽头装有刮板，刮板间安装有等距斜挂的长方体形状的水斗，当水

流冲动水车轮刮板时，驱使水车徐徐转动，水斗依次舀满河水在点A处离开水面，逆时针旋转150。上升至

轮子上方8处，斗口开始翻转向下，将水倾入木槽，由木槽导入水渠，进而灌溉，那么水斗从八处（舀水）

转动到3处（倒水）所经过的路程是米.（结果保留乃）

8.（2023•湖北随州•统考中考真题）某天老师给同学们出了一道趣味数学题：

设有编号为1-100的100盏灯,分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态,每

按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮现有100个人，第I个人把所有

编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号

是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是10C的整数倍的开关按一次.问最终状态为“亮”

的灯共有多少盏？

几位同学对该问题展开了讨论：

甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：

乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和

第3个人共按了2次，……

丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“痉”的状态.

根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮''的灯共有___________盏.

9.（2023・湖南常德・统考中考真题）沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧

长度的.•会圆术“，如图.是以。为圆心，OA为半径的圆弧，C是弦A8的中点，。在AB上，CD_LAB.,,会

圆术”给出A8长/的近似值$计算公式：s=AB+岩，当。4=2,ZAOB=90。时，.（结

果保留一位小数）

D

10.（2023・北京・统考中考真题）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动.已知某木艺艺术品加工

完成共需A,B,C,D,E,F,G七道工序，加工要求如下：

①工序C,D须在工序A完成后进行，工序E须在工序从。都完成后进行，工序尸须在工序C。都完

成后进行；

②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序：

③各道工序所需时间如下表所示：

工序ABCDEFG

所需时间/分钟997971()2

在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要分钟；若由两名

学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟.

11.（2023•重庆•统考中考真题）对于一个四位自然数M,若它的千位数字比个位数字多6,百位数字比十位

数字多2,则称M为“天真数”.如：四位数7311,・・・7-1=6,3-1=2,，7311是“天真数”；四位数8421,

工6,・・・8421不是“天真数”，则最小的“天真数”为________；一个“天真数”M的千位数字为m百位

数字为〃，十位数字为c,个位数字为d,记尸（“）=3（a+3+c+d,Q（M）=a-5,若前片能被10整除，

则满足条件的M的最大值为.

12.（2023・四川乐山・统考中考真题）定义：若心），满足丁=4_），+.2=4工+/且1工），（/为常数），则称点”（丸），）

为“和谐点”.

（1）若P（3,M是“和谐点”，则，〃=.

（2）若双曲线J（-3<x<7）存在“和谐点”，则k的取值范围为.

x

13.（2023・浙江绍兴•统考中考真题）在平面直角坐标系此力中，一个图形上的点都在一边平行于1轴的矩形

内部(包括边界)，这些矩形中面积最小的矩形称为该图形的关联矩形.例如：如图，函数y=(x-2)2(0—)

的图象(抛物线中的实线部分)，它的关联矩形为矩形O48C.若二次函数.y=；x2+bx+c(OWxV3)图象的

关联矩形恰好也是矩形则〃=.

14.(2023・重庆•统考中考真题)如果一个四位自然数砺的各数位上的数字互不相等且均不为0,满足

瓦-瓦=方，那么称这个四位数为“递减数”.例如：四位数4129,•・•41-12=29,・・・4129是“递减数”；又

如:四位数5324,753-32=21^24,/.5324不是“递减数”.若一个“递减数”为赤，则这个数为

若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数正与后三个数字组成的三位数放的和能被9整除，则满足条

件的数的最大值是___________.

三、解答题

15.(2023•内蒙古通辽•统考中考真题)阅读材料：

材料1：关于x的一元二次方程'?+云+c=0(aw0)的两个实数根为，看和系数。，4c有如下关系：

bc

X]+X»=—,=—.

a~a

材料2：已知一元二次方程f「.jo的两个实数根分别为加，〃，求〃/的值.

解：•・•〃?，〃是一元二次方程f-x-1=0的两个实数根，

/.加+〃=1,〃"2=—1.

贝ljnfn+nur=nui(ni+fi)=-lxl=-1.

根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：

(1)应用：一元二次方程2丁+3工一1=0的两个实数根为X，A，则*+W=,内々=;

(2)类比:已知一元二次方程2/+3x7=0的两个实数根为〃?，”，求川+♦的值;

(3)提升：已知实数s,/满足2s2+35-1=0,2产+3-1=0且5/心求的值.

st

16.(2023•江苏徐州・统考中考真题)两汉文化看徐州，桐桐在徐州博物馆“天工汉玉”展厅参观时了解到：玉

壁，玉环为我国的传统玉器，通常为正中带圆孔的扇圆型器物，据《尔雅・释器》记载：“肉倍好，谓之璧;

肉好若一，调之环.”如图1,“肉''指边（阴影部分），“好”指孔，其比例关系见图示，以考古发现看，这两

种玉器的“肉”与“好”未必符合该比例关系.

（2）利用圆规与无刻度的直尺，解决下列问题（保留作图痕迹，不写作法）.

①图2为徐州狮子山楚王墓出土的“雷纹玉环”及其主视图，试判断该件玉器的比例关系是否符合“肉好若

一“4

②图3表示一件圆形玉坯，若将其加工成玉璧，且比例关系符合“肉倍好”，请画出内孔.

17.（2023•浙江宁波・统考中考真题）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为

邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

（1）如图1,在四边形A8C。中，44=90。，对角线肘3平分NADC.求证：四边形A8C。为邻等

四边形.

⑵如图2,在6x5的方格纸中，48,C三点均在格点上，若四边形A8CO是邻等四边形，请画出所有符

合条件的格点D.

（3）如图3,四边形A8CO是邻等四边形，ZDAB=ZAI3C=90°,NBCO为邻等角，连接AC,过用作AC

交D4的延长线于点E若AC=8,力石=10,求四边形qCO的周长.

18.（2023・山西・统考中考真题）阅读与思考：下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任

务.

瓦里尼翁平行四边形

我们知道，如图1,在四边形ABCD中，点E,F,G,H分别是边AB,BC,CD,的中点，顺次连接E,F,G,H,

得到的四边形互6”是平行四边形.

我查阅了许多资料，得知这个平行四边形被称为瓦里尼翁平行四边形.瓦里尼翁

琢加〃，尸包654-1722）是法国数学家、力学家.瓦里尼翁平行四边形与原四边形关系密切.

①当原四边形的对角线满足一定关系时，瓦里尼翁平行四边形可能是菱形、矩形或正方形.

②瓦里尼翁平行四边形的周长与原四边形对角线的长度也有一定关系.

③瓦里尼翁平行四边形的面积等于原四边形面积的一半.此结论可借助图1证明如下：

证明：如图2,连接AC,分别交尸G于点P,Q,过点。作OM/AC于点交函于点N.

•・・〃，6分别为月。,。。的中点，・・.”6〃4。,〃6=34。.（依据1）

图2

VDG=GC,:,DN=NM==DM.

NMGC2

•••四边形EFG〃是瓦里尼翁平行四边形，即HP〃GQ.

*：HG//AC,即"G〃2Q,

・••四边形"PQG是平行四边形.（依据2）・・・5〃物="6/的=3"6。".

•；S^DcugACDM=HGDM，；,SHPQG=；SAADC,同理，…

乙乙

任务:

(1)填空：材料中的依据1是指：.

依据2是指：.

(2)请用刻度尺、三角板等工具，画一个四边形A8CO及它的瓦里尼翁平行四边形"6"，使得四边形EFG”

为矩形；(要求同时画出四边形4BCQ的对角线)

(3)在图1中，分别连接ACBD得到图3,请猜想瓦里尼翁平行四边形"GH的周长与对角线AC8。长度

的关系，并证明你的结论.

19.(2023・河北•统考中考真题)在平面直角坐标系中，设计了点的两种移动方式：从点CD，)移动到点

(x+2,y+l)称为一次甲方式：从点移动到点Q+l,y+2)称为一次乙方式.

例、点户从原点。出发连续移动2次；若都按甲方式，最终移动到点用(4,2)；若都按乙方式，最终移动到

点N(2,4)；若按1次甲方式和1次乙方式，最终移动到点凤3,3).

33

30

27

12

3691215182124273033i

⑴设直线6经过上例中的点M,N,求乙的解析式；并自按写出将力向上平移9个单位长度得到的直线4的解

析式;

(2)点P从原点O出发连续移动1()次，每次移动按甲方式或乙方式，最终移动到点GCay).其中，按甲方式

移动了机次.

①用含机的式子分别表示x，y；

②清说明：无论，〃怎样变化，点。都在一条确定的直线上.设这条直线为4,在图中直接画出4的图象；

(3)在(1)和(2)中的直线44,。上分别有一个动点48,C,横坐标依次为4,Ac,若4,B,C三点始终在

一条直线上，直接写出此时mb,。之间的关系式.

20.(2023・湖南张家界•统考中考真题)阅读下面材料：

将边长分别为“，〃+扬，a+2\/b,4+3〃的正方形面积分别记为S],S2,S3,S4.

则邑_¥=(〃+&)2-a2

=[(〃+标)+a•(a+\fb)-a~^

=(2a+>/b)-\/h

=b+2a\fb

例如：当。=1,〃=3时，52-S,=3+2>/3

根据以上材料解答下列问题：

(1)当。=1,〃=3时，53-S2=,S4-S5=；

⑵当〃=1,力=3时，把边长为a+小倔的正方形面积记作S.x，其中〃是正整数，从(1)中的计算结果，

你能猜出S向-S”等于多少吗？并证明你的猜想；

(3)当。=1,。=3时，令％=S2—S],G=S3—S2,4=S4—S3,=S”+1—S"，且T=6+G+4+-+之,

求r的值.

21.（2023・湖北荆州•统考中考真题）如图1,点P是线段A8上与点A,点3不重合的任意一点，在A4的同

侧分别以A,P,3为顶点作4=N2=N3,其中N1与N3的一边分别是射线A3和射线84,N2的两边不

在直线A8上，我们规定这三个角互为等联角，点P为等联点，线段A8为等联线.

图1图2图3

⑴如图2,在5x3个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1,A3为端点在格点的已知线段.请

用三种不同连接格点的方法，作出以线段人8为等联线、某格点P为等联点的等联角，并标出等联角，保留

作图痕迹；

（2）皿图3,在RtAAPC中，/A=90，AOAP,延长AP至点使A8=AC,作NA的等联角NCP。和

NPBD.将沿尸C折叠，使点A落在点M处，得到一再延长PM交8。的延长线于E,连接CE

并延长交PO的延长线于尸，连接打、.

①确定的