2025北师大版暑假七升八年级数学衔接讲义 专题03 勾股定理的应用（2知识点+12大题型+思维导图+过关测）（解析版）

专题03勾股定理的应用

《内容导航一预习三步曲

第一步：学

析教材学知识：教材精讲精析、全方位预习

练题型强知识：12大核心考点精准练

第二步：记

::只识朴思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握

第三步：测

过关;虹W提升小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升

3析教材学知识

知识点1：勾股定理应用

勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在

具体推算过程中，应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第

三边的平方比较而得到错误的结论.

知识点2：平面展开图-最短路径问题

几何体中最短路径基本模型如下：

加⑪、多TEQ血事丁守

网住阶梯问题长方体

基本思路：将立体图形展开成平面图形，利用两点之间线段最短确定最短路线，构造直角三角形，利用

勾股定理求解

练题型强知识

【题型1应用勾股定理解决梯子滑落高度】

例题：（24-25八年级上•四川成都・期末）每年的II月9日是我国的消防日，为了增强全民的消防安全意识，

某校师生举行了消防演练，如图，云梯AC长为25米，云梯顶端。靠在教学楼外墙0c上（墙与地面垂直），

云梯底端A与墙角O的距离为7米.

AB

(1)求云梯顶端c与墙角O的距离C。的长；

(2)现云梯顶端C下方4米。处发生火灾，需将云梯顶端。下滑到着火点。处，则云梯底端水平方向向右滑

动的距离A8为多少米.

【答案】(【)云梯顶端。与墙角O的距离CO的长为24m

(2)云梯底端在水平方向上滑动的距离AB为8m

【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

(1)在RtZ\08□中，根据勾股定理即可得到求解:

(2)在RiAOBO中，根据勾股定理求出08,即可得到结论.

【详解】(1)解：.,在RLOAC中，AC=25m,人O=7m,

由勾股定理得AO'十CO'=AC"

即7?+CO?=252,

解得：CO=24：

答：云•梯顶端C与墙角。的距离C。的长为24m：

(2)解：,CD=4m.CO=24m,

:.OD=CO-CD=24-4=20(m),

在中，80=25m,00=20m,

由勾股定理得OZ52IOB工-BDl,

即202+OB2=252»

解得：OB=15,

OA=7m,

AB=O8—3=15-7=8m.

答：云•梯底端在水平方向上滑动的距离A8为8m.

【变式训练】

1.124-25八年级下•广东广州•期中)如图，一架长5米的梯子A4斜靠在墙AC上，4到墙底端C的距离

为3米，此时梯子的高度达不到工作要求，因此把梯子的发端向墙的方向移动/1.6米到8处，此时梯子的

高度达到工作要求，求梯子的A端向上移动了多少米.

【答案】0.8m

【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)

【分析】本题主耍考查了勾股定理的实际应用,先利用勾股定理求山。了的K,再求;的K,进而利用

勾股定理求出。4的长即可行

【详解】解：如图所示，在《△八蜴。中，根据勾股定理知，=价,

OB=3—1.6=L4ni，

根据勾股定理知OA=y)AB2-OB2=4.8m，

AAy=AO-A0=0.8m.

答：梯子的A端向上移动了0.8m.

2.124-25八年级下•陕西西安・期中)如图，一架5m长的梯子八8,斜靠在竖直的墙AC上，这时梯子的底

部4到墙底端C的距离为1.4m.

(I)这个梯子的顶端距地面有多高？

(2)梯子的底部“在水平方向滑动了2.6m至点O,求梯子的顶端A沿墙垂直下滑了多少米.

【答案】(l)4.8m

(2)1.8m

【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用)

【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键.

(I)利用勾股定理求出AC即可；

（2）根据勾股定理求出CO,得到8。即可.

【详解】（1）解：根据题意可知，A8=5m,BC=\.5m,

・••在RlZ\ABC中，AC=y/AB2-BC2=V52-1.42=4.8（m）

答：这个梯子的顶端距离地面4.8m.

（2）解：由题意得，CD=BC+BD=1.4+2.6=4（m）,DE=AB=5m,

「•在Rt_CE£>中，EC=>JED2-CD2=V52-42=3（m）

AAE=AC-CE=4.8-3=1.8（m）

答：梯子的顶端A沿墙垂直下滑了L8m.

3.（24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习）已知某消防车的云梯最大能伸长25米，在一次救援中，消

防车云梯。C伸到最长25米，它的底部与建筑物之间的水平距离OQ=24米，云梯底部与地面MN的距离

□

□

□

□

□

□

□

（1）求此时云梯顶端C离地面MN的高度为多少米：

（2）若云梯顶端需要伸到距离地面17的A处，则消防车需要向建筑物方向移动多少米到达8处？

【答案】（1）此时云梯顶端。离地面的高度为9米

（2）4米

【知识点】求梯子滑落高度（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关

键.

（1）在Rl—OOC44,利用勾股定理求解即可；

（2）先求出40=15,在RtAO8中，山勾股定理求出08=20,然后求出。8的长即可求解.

【详解】（1）解：ODEF为女方形,

：.DE=OF=2

在Rl.OOC中，由勾股定理0。2=82一0。

:.OC=4CDi-Ob1=7

.•1CF=7+2=9

答：此时云梯顶端。离地面MN的高度为9米

（2）解：•；Ab=17,OF=2

•40=17-2=15

化RLA08中，由勾股定理=

:.OB=yjAB1-AO1=20

,OD=24

.•.08=24-20=4

答：消防车需要向建筑物方向移动4米到达8处.

【题型2应用勾股定理解决旗杆高度】

例题：（24-25八年级下•河南三门峡•期中）八年级II班松松同学学习了“勾股定理”之后，为了测量如图的

风筝的高度CE,测得如下数据:

①测得的长度为8米：（注：BDA.CE}

②根据手中剩余线的长度计算出风筝线3c的长为17米：

③牵线放风筝的松松身高L6米.

⑴求风筝的高度CE.

（2）若松松同学想风筝沿。。方向下降9米，则他应该往回收线多少米？

【答案】（1）16.6米

⑵7米

【知识点】求旗杆高度（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟悉勾股定理，能从实际问题中抽象出勾股定理是解题的关键:

（I）利用勾股定理求出C。的长，再加上QE的长度，即可求出CE的高度：

（2）根据勾股定理即可得到结论：

【详解】（1）解：在RtZiCQB中，

由勾股定理得，CD-=BC2-BD2=\l2-32=225

所以，CD=15（负值舍去），

所以，CE=CD+DE=15+1.6=16.6（米），

答：风筝的高度CE为16.6米；

（2）如图：由题意得，CM=9米，；.OM=6米，

.*•BM，-DM»+=82+62=100,

/.8M=10米,

.*.BC-BM=7（米），

・••他应该往回收线7米.

【变式训练】

].（24-25八年级下•北京•期中）如图，《九章算术》中记我：今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，

去本八尺而索尽.问索长几何.译文：现在有一根竖直的木头，绳子系在其顶端.将绳子垂到地面时，绳

子还有三尺余在地上.拉着绳子后退，离木头根部八尺时，绳子被拉直用完.问绳子的长度是多少？

【答案】《73尺

O

【知识点】求旗杆高度（勾股定理的应用）

【分析】根据题意得，绳索，木桩形成直角三角形，根据勾股定理，即可求出绳索长.

本题考查勾股定理的知识，解题的关键是理解题意，运用勾股定理解决实际问题.

【详解】解：设绳索长为工尺，则木柱高为（X-3）尺，

・•・在放一A8C中，AC=x,AB=x-3,8c=8

•••根据勾股定理，得"-3）2+8?=/,

解得x=下.

O

・•・绳索长为73」尺.

O

2.（24-25八年级上•陕西铜川・期中）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳

子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知.小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个

问题的方案如下：

小明：①测量出绳于垂直落地后还剩余1米，如图1:

②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部的距离AC=4米，如图2.

小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图3点。处(BO=8C),作。“垂直AC于

(I)请你按小明的方案求出旗杆的高度8C：

⑵在(1)的条件下，己知小亮举起绳结离旗杆的距离。£=4.5米，求此时绳结到地面的高度。尸.

【答案】(1)7.5米

(2)1.5米

【知识点】求旗杆高度(勾股定理的应用)

【分析】(1)设旗杆的高度为工米，则绳子的长度为(x+1)米，利用勾股定理解答即可求解;

(2)由题意可知BO=8C=7.5米，。E=4.5米，DF=EC,利用勾股定理求出8E,即得EC的长，进而

即可求解：

本题考查了勾股定理的应用，掌握勾发定理的解题的关键.

【详解】(1)解：设旗杆的高度3C为入米，则绳子的长度为(4+1)米，

在中，由勾股定理得，X2+42=(X+1)2,

解得x=7.5,

答：旗杆的高度8C为7.5米：

(2)解：由题意可知，BD=BC=”米,。£=4.5米，DF=EC,

在R&BQE中，由勾股定理得8七=。8。2_。炉々7.52-4.52=6米,

1・EC=BC-BE=7.5-6=1.5米，

,QF=EC=1.5米，

答：此时绳结到地而的高度。"为L5米.

3.04-25八年级上•福建泉州・期末)阅读下列材料,回答问题.

社区公园里新安装了一架秋千，小口对秋千的高度产生了兴趣，星期天他和朋友一起带着卷尺到公园测量

秋千的高度，他设计如下的测量方案：

步骤一：测得秋千静止时的底端E与地面的距离BE=0.8m；

步骤二：如图，小白握住秋千的底端往外后退，直到秋千的绳索被拉直，测得此时秋千底端离地面的高度

CD=l.\m,再测得小白站立处与秋千静止时的水平距离6c=1.5m.

(1)若设秋千的高度A8=xm,则人£>=m(用含x的代数式表示)；

(2)根据上述测量方案和数据，求秋千的高度A8.

【答案】(1)(%-0.8)

(2)秋千的高度AB为4.7m

【知识点】列代数式、求旗杆高度(勾股定理的应用)

【分析】本题考查勾股定理的实际应用：

(I)根据A£>=AE=AB-跖即可求解：

(2)过点。作OF_LA3，利用勾股定理解Rt..AO广即可.

【详解】(1)解：由题意得，AD=AE=AB-BE=(A-0.8)in,

故答案为：(X—0.8)；

(2)解：过点£>作。尸_LA8.垂足为产，

则0F=BC=1.5,BF=CD=\A,

AF+BF=AB,

/.AF=AB-BF=x-\A,

A

\在Rt_ADF中，Z4FD=90°,

Ef

777777777777777777"

BC

：.AF2+DF2=AD2，

即(/—Ll『+1.52=(x—0.8『，

解得：x=4.7,

答：秋千的高度AB为4.7m.

【题型3应用勾股定理解决小鸟飞行的距离】

例题：(24.25八年级卜・・吉林松原•期中)如图，庭院中有两棵树，喜鹘要从一棵高10m的树顶飞到一棵高5m

的树顶上，两棵树相距12m,则喜鹊至少要飞m.

【答案】13

【知识点】求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理，进行计算即可求解.

【详解】解：如图，

根据题意得：4。=12m,^C=10-5=5m,Z4C«=90°,

•••AB=>JAC2+BC2=A/52+122=13m-

即喜鹊至少要飞13m.

故答案为：13

【变式训练】

1.（24-25八年级上•江西抚州•期中）如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米.一

只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行X.

【答案】25

【知识点】求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【分析】本题考查正确运用勾股定理.根据“两点之间线段最短“可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行,

所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可.

【详解】解：如图，设大树高为八3=12米，小树高为。=5米，

A

En----------卡

BD

连接AC,CO平移到8E,则E8=CD=5米，NAEC=90°，两树相距EC=80=24米,

・・AE=A8-七6=12—5=7（米），

在RiaAEC中，AC=>IAE2+EC2=772+242=25（米），

故小鸟至少飞行25米.

故答案为：25.

2.123-24八年级上•全国•课后作业）如图，两树的高分别为10米和4米，相距8米，-只鸟从一棵树的树

梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行米.

【知识点】求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短“可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线

飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解

决此题的关键.

【详解】如图，过。点作CESAB于E,则四边形成。。是矩形，连接AC,

设大树高为4A=10m.小树高为e=4m.

EB=4m»EC=8m./IE=/l^-£8=10-4=6（01）,

在RtA4£C中AC=JAE2+EC?=10（m）,

答：小鸟至少飞行10米,

故答案为：10

3.（24-25八年级上•浙江•期中）如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高43为11米，另一棵树高。。为

6米，两树的距离8。为12米.若一只小鸟从一棵树的树梢A飞到另一棵树的树梢C,则小鸟至少要飞行一

米.

A

【答案】13

【知识点】求小鸟飞行距离（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理，过C；乍CE平行地面，连接AC,由题意得8=12米，任=11-6米，由勾

股定理可得AC的长，即小鸟至少要飞行的距离.

【详解】解：过。作CE平行地面，连接AC,

由题意得，48=11米，AE=II—6=5米，CE=4D=12米,

由勾股定理得，人jjN+CE?=J5-+122=13米,

故答案为：13.

【题型4应用勾股定理解决大树折断前的高度】

例题：（24-25八年级下•安徽合肥・期中）《九章算术》中记“今有竹高一丈，木折抵地，去本四尺.问：折

者高几何？“译文：一根竹子，原高一丈，虫伤有病，一阵风将竹子折断，其竹梢恰好着地，着地处离原竹

子根部4尺远.问：竹子折断处离地面有几尺？（I丈=10尺）

【答案】竹子折断处离地面有4.2尺.

【知识点】求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

【分析】本题考查勾股定理的应用，设竹广折断处离地面有工尺，在Rt^ACB中，利用勾股定理进行求解

即可.

【详解】解：设竹子折断处离地面有工尺，

由题意得：ZC=90°,BC=4,AC+4B=10,AC=x,

.•.AB=10-x,

则：222

X+4=(I0-^).

解得：x=4.2.

答：竹子折断处离地面有4.2尺.

【变式训练】

1.(24-25八年级上•河南南阳•期木》如图，根直立的旅杆高&】1,因刮大风旅杆从点C处折断，顶部6若

地且离旗杆底部A的距离为4m.

(1)求旗杆在距地面多高处折断；

(2)工人在修复的过程中.发现在折断点C的下方L25m的点〃处.有一明显裂痕,若下次大风将旗杆从点〃

处吹断，在距离旗杆底部5米处是否有被砸伤的风险？

【答案】(1)旗杆距地面3m处折断

⑵在距离旗杆底部5m米处有被砸伤的风险

【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)

【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，熟练的从实际问题中构建直角三角形是解本题的关键.

(I)设AC长为xm,则8c长(8-x)m,再利用勾股定理建立方程即可：

(2)先画出图形，再求解AP,8/，再利用勾股定理可得答案.

【详解】(1)解：由题意，知AC+8C=8m.

因为N4=90°,

设AC氏为xm,则8CK(8-x)m,

贝IJ4?+/=(8-x)2,

解得x=3.

故旗杆距地面3m处折断：

(2)解：如图：

因为点P距地面八2=3-1.25=1.75(m).

A

R

所以3'P=8—1.75=6.25(m),

所以人=尸一A尸=J6.25?-1.752=6（m）,

则距离旗杆底部周围6m的范围内有被砸伤的风险，

所以在距离旗杆底部5m处有被砸伤的风险.

2.（24-25八年级上•辽宁沈阳•期末）如图1,有两棵树，一棵高18米（A4=18米），另一棵高2米（。=2

米），两树相距12米（30=12米）.

（1）求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？

（2）如图2,台风过后，高18米的树AB在点M处折断，大树顶部落在点Z）处，则树A4折断处M距离地面

多少米？

【答案】（1）20米

⑵5米

【知识点】求小鸟K行距离（勾股定理的应用）、求大树折断前的高度（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键.

（1）根据''两点之间，线段最短“可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线£行，七行的路程最短，运用勾股

定理可将两点之间的距离求出：

（2）由勾股定理求出的长，即可求解.

【详解】（1）解：两棵树的高度差为18-2=16（米），两树相距12米（8。=12米），

根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离=扪6+12?=20（米），

答：至少飞了20米；

（2）解：由勾股定理得：BM2+AB2=AM2^

.­.«/W:+l22=（18-W）2,

解得：BM=5,

答：树A8折断处M距离地而5米.

3.（23-24八年级上•陕西咸阳・期中）如图，一根垂直于地面的旗杆高6.4m,因刮大风旗杆从点C处折断,

顶部B着地且离旗杆底部的距离AB=3.2m.

⑴求旗杆折断处点C距离地面的高度AC：

(2)工人在修复的过程中，发现在折断处。的下方1.4m的点。处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗

杆从点。处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的用处，形成一个RtADBlt请求出Ag的长.

【答案】(1)AC=2.4米

(2)即米

【知识点】求大树折断前的高度(勾股定理的应用)

【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际

问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出正确的示意图.

(1)由题意可知AC+8C=6.4米，根据勾股定现可得：AB2+AC2=BC2,乂因为48=3.2米，所以可求得

AC的长；

(2)先求出。点距地AD=2.4-I.4=1米，8Q=6.4-1=5.4米，再根据勾股定理可以求得A用的长.

【详解】⑴解:由题意可知：AC-8C=6.4米，

,4=90。，

/.AB2+AC2=BC2F

又・"=3.2米，

.\3.2!+4C2=(6.4-^C)2,

.•.AC=2.4米：

(2)解：。点星巨地面AD=2.4-1.4=I米，

.•.耳0=64-1=5.4米，

22

/.ARi=^B{D--Aiy=V5.4-I=17H(米).

【题型5应用勾股定理解决水杯中的筷子问题】

例题：(24-25八年级下•广东江门•期中)如图，一根长18cm的牙刷放置于底面半径是2.5cm,高为12cm的

圆柱水杯中，牙刷露在杯子外面的长度为/zcm,求人.

【知识点】解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理并读懂题意是解题的关键.根据勾股定理求出48

的值，进而即可得出答案.

【详解】解：如图，在洋△A5C中,BC=2x2.5=5cm,AC=12cm

根据勾股定理得AB=yjAC2+BC2=\122+52=13

.♦/=18-13=5（cm）.

【变式训练】

1.（24-25八年级下•福建厦门•阶段练习）”今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：

水深几何？“这是我国数学史上的“葭生池中''问题.即NAC3=90°,AC=5,DC=1,成＞=的，求的长.

【答案】BC=\2

【知识点】解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

【分析】本题考查勾股定理的实际应用.设BC=x,则BD=RA=（x+l）,由勾股定理列出方程进行求解即

可.

【详解】解：设8C=x,则8D=84=（x+l）,

由题意，得：（X+1）2=52+Y,

解得：x=12,即BC=12.

2.（23-24八年级下•吉林四平•期末）如到一种圆柱形的饮料杯，测得内部底面圆半径为6cm,杯高AC=16cm,

点4,点C在内部底面圆上，线段8C经过杯子的内部底而圆心.将吸管一端放在点4处，并让吸管经过点

A（按如图所示）放进杯里，要求杯门外面至少要露出4.6cm长的吸管，问至少需要制作多长的吸管？

【答案】至少需要制作24.6cm长的吸管

【知识点】解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用）

【分析】此题主要考查的是勾股定理的应用.在吸管（杯内部分）、杯底宜径、杯高构成的直角三角形中，由

勾股定理可求出杯内吸管部分的长度，再加JL外露部分的长度即可求出吸管的总长.

【详解】解：由题意可知V48c是直角三角形，AC=I6cm,Z4CT=90°,线段8。为内部底面圆直径，

内部底而圆半径为6cm,

.•.8C=12cm,

••在RlZ\A8C中，AB2=AC2+BC'

AB2=I62+122,

解得：AB=20（7〃或AB=-20cm（舍去，不符合题意）

20+4.6=24.6（cm）

答：至少需要制作24.6cm长的吸管.

3.（23-24八年级下.北京朝阳・期末）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有池，方一丈，葭生其中央，出

水一尺.引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何.大意是：如图，水池底面的宽A8=l丈，芦苇OC生

长在A3的中点。处，高出水面的部分8=1尺.将芦苇向池岸牵引，尖端达到岸边时恰好与水面平齐，即

OC=OE,求水池的深度和芦苇的长宴（1丈等于10尺）.

（1）求水池的深度0。：

（2）中国古代数学家刘徽在为《九章算术》作注解时，更进一步给出了这类问题的一般解法.他的解法用现

代符号语言可以表示为：若已知水池宛A8=〃，芦苇高出水面的部分8=〃（〃＜。），则水池的深度。。

可以通过公式〃=£z工计算得到.请证明刘徽解法的正确性.

In

【答案】（1）12尺

（2）见解析

【知识点】解决水杯中楼子问题(勾股定理的应用)

【分析】本题考查了勾股定理的应用；

(1)设水池深度为X尺，则得芦苇高度为(x+l)尺，在RUXE4O中，利用勾股定理建立方程即可求解：

(2)由水池深度。。=〃，则得芦节高度为oc=a)+a>=〃+〃，由题意有：OE=oc=b+n；由勾股定

理即可得证.

【详解】(1)解：设水池深度为1尺，则芦苇高度为oc=oo+co=(x+i)尺，

由题意有：OE=OC=(x+l)尺；

•••O为人8中点，且AB=1丈=10尺，

OA=^AB=gx10=5(尺)：

在RUXEAO中，由勾股定理得：AE2+OA2=OE2r

即X2+52=(X+1)2,

解得：x=12；

即OD=12尺；

答：水池的深度O。为12尺；

(2)证明：水池深度0。=/),则芦苇精度为OC=Q£)+CQ=b+〃，

由题意有：OE=OC=b+n：

•;O为AB中点,Fl.AB=2a,

:.OA=—AB=a：

2

在RUXEAO中，由勾股定理得：AE2^OA2=OE2,

即8?+/=(b+n)2,

整理得：〃=丝工；

2n

表明刘徽解法是正确的.

【题型6应用勾股定理解决航海问题】

例题：(24-25八年级下•河南三门峡•期中)如图所示，甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛8,甲船沿

东北方向向海岛3航行，其速度为15海里/小时：乙船速度为20海里;小时，先沿正东方向航行1小时后,

到达C港口接旅客，停留半小时后再折向北偏东30。方向开往8岛，其速度仍为20海里/小时.

B

北

⑴求港口4到海岛8的距离：

（2）8岛建有一座灯塔，在离灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔，问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔？（结果

保留一位小数>/2=1.414，x/3=1.732,6=2.45）

【答案】（1）30五+10"

⑵乙船

【知识点】解决航海问题（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解答此题的关键是构造直角三角形，利用解直角三角形的相关知识

解答.

（1）作BO_L他丁点D,构造两个直角三角形并解直角三角形，用即表示出CD和AD，利用和。C之

间的关系列出方程求解；

（2）分别求得两船看见灯塔的时间，然后比较即可.

【详解】（1）解：过点8作BDJ.AE于点D，

在RtABCZ)中，ZBCD=60°,设CO=x,则8O=GX，BC=2X,

在RiZXABQ中，/BAD=45°,

则AD=3O=瓜，AB=®BD=Jlx，

由AC+CD=4/)得20+x=岛，

解得x=10G+10,

A5=V6X(10N/3+10)=30>/2+105/6,

答：港口A到海岛3的距离为300+106海里;

3D夜+10#-5

（2）解：甲船看见灯塔所用时间:«4.1小时,

15

乙船看见灯塔所用时间：1+'+生生二匕3。4.0小时，

220

所以乙船先看见灯塔.

【变式训练】

1.(24-25八年级下•黑龙江哈尔滨•阶段练习)某日我海防巡逻艇在4处探测到在它正东方向距它30海里

的3处有一艘可疑船只，该船只正以每小时36海里的速度沿北偏西40。方向行驶，巡逻艇立即沿北偏东50。

的方向前往拦截，半小时后恰好在。处拦截到该船只.

(I)求巡逻艇的速度为每小时多少海里？

(2)求此时该船只所在处。与A3的距离为多少海里？

【答案】(1)巡逻艇的速度为每小时48海里

⑵此时该船只所在处C与48的距离为14.4海里

【知识点】解决航海问题(勾股定理的应用)

【分析】本题考查了利用勾股定理解决航海问题.

(1)先求得NACB=9O。，在R【△人BC中，由勾股定理求解即可：

(2)作CQ_LA8利用等积法求解即可.

【详解】(1)解：.ZM43=NNW=90°,/M4C=50°.Z/VBC=40c,

.".ZG4B=4O°,ZCZ?A=50°,

/.4c8=90。，

VAfi=30,30=36x0.5=18,

...在RtZXABC中，由勾股定理得AC=y]AB2-BC2=Vstf-lS2=24，

.•.24+0.5=48,

答：巡逻艇的速度为每小时48海里；

(2)解：作CO_LA8于。，

答：此时该船只所在处C与人3的距离为14.4海里.

2.(2024・贵州贵阳•一模)如图，一艘船由A岛沿北偏东30。方向航行20km至3岛，然后再沿北偏西60。方

(I)求A,C两岛之间的距离；

(2)确定。岛在A岛的什么方向？

【答案】(1)20内km

(2)北偏西15。

【知识点】与方向角有关的计算题、等腰三角形的性质和判定、解决航海问题(勾股定理的应用)

【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是对方向角的熟练掌握.

(1)根据ZABH=NNAB，推出/84=180。一30。-60°=90°,在RtZSABC中，利用勾股定理

即可求出距离；

(2)证明NG46=NA6=45。，根据NM4C=NC4B-/8AN即可求解.

【详解】(1)如图，由题意可知：NNAB=30°,NCBM=60°,

'：ANHBH,

:.ZABH=NNAB=30。，

：.ZCfiA=180o-30°-60o=90°,

在Rl448C中，AC=X/2O2+2O2=2C>/2(km),

答：A,。两岛之间的距离是20扬cm：

⑵又TAB=20km,3。=20km,zCfl4=90°,

:.NG4B=ZAC8=45°,

,//BAN=30。，

/.zyVAC=NC40-/0A7V=450-3O0=15o,

・・・C岛在。岛北偏西15。的方向上.

3.（24.25八年级下•河北邢台•阶段练习）如图，小岛A位于港口C北偏西39。方向上，小岛8位于港口。

的北偏东51。方向上，且与港口C相距200海里，小岛8与小岛人相距250海里.

北

（1）求小岛A与港口C的距离:

（2）在小岛B处有一艘载满货物的货船，以每小时20海里的速度从小岛B出发沿B^A方向航行，当货船距

离港口C最近时，求货船还需航行多长时间才能到达小岛人？

【答案】（I）小岛A与港口。的距离为150海里

⑵货船还需航行4.5小时才能到达小岛4

【知识点】解决航海问题（勾股定理的应用）、垂线段最短

【分析】此题考查了勾股定理的应用，理解题意是解答的关键.

（1）根据勾股定理求解即可：

（2）过点C作CO_LA8丁点。，首先利用等面积法求出8=120,然后利用勾股定理求出4）=90,进而

求解即可.

【详解】（1）解：由题意得44。8=39。+51。=90。，8c=200,AB=250.

在RlZ\A8C中，AC2=AB2-BC2=22500，

AC=150.

答：小岛A与港口。的距离为150海里;

（2）解：过点C作CO_LA8于点。，

当货船航行到点。时，此时货船距离港口C最近.

'：-ABCD=-ACBC,

22

:.8=12(),

在R3AC£)中，AD2=AC2-CD2=8100.

AD=90,

.••90+20=4.5(小时).

答：货船还需航行4.5小时才能到达小岛A.

【题型7应用勾股定理解决河的宽度】

例题：(23-24八年级下•河北唐山•期中)如图，池塘边有两点48,点C是与班方向成直角的AC方向上

一点，测得长为60米，4c长为20米.求A8两点间的距离(上取L4).

【答案】56米.

【分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理宜接计算即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关

键.

【详解】解：山题意可得/胡。=90。・

,.,8C=60米，AC=20米，

AB=JBC?-AC，=，60'-202=40VJ=40x1.4=56米，

答：4B两点间的距离为56米.

【变式训练】

].(23-24八年级下•广东东莞•期中)如图，某人欲横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点4处偏离欲

到达地点B处40m,结果他在水中实际游的路程比河的宽度多10m.求该河的宽度3C的长.

BA

C

【答案】75米

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在•个宜角三角形中，两条

直角边分别为a、b,斜边为c,那么/+〃?=/.设=x米，则AC=(x+IO)米，根据勾股定理得出

(X+I0)2=402+V,求出、=75即可得出答案.

【详解】解：根据题意可知：设3C=x米，则4C=(x+10)米，

在RlAABC中，?B90?,AC2=AB2+BC2.

K|J(A+10)2=402+X2,

解得：*=75,

即47=75米，

答.该河的宽度BC为75米.

BA

C

2.（24-25八年级下•陕西延安・期末）如图，湖的两岸有A8两棵景观树，在与八8垂直的方向上取一点C,

测得8。=5米，4c=13米.求两棵景观树之间的距离.

【答案】两棵景观树之间的距离是12米

【分析】根据勾股定理：在直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方计算即可.

【详解】解：在Rt・工中，由勾股定理，得：

AB2=AC2-BC2=132-52=122,

/.A5=12（米）.

答：两棵景观树之间的距离是12米.

【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理.

3.（24-25八年级下•湖南长沙•阶段练习）如图，某渡船从点B处沿着与河岸垂直的路线人8横渡，由于受水

流的影响，实际沿着3C航行，上岸地点。与欲到达地点人相距70米，结果发现BC比河宽A〃多10米.

AC

B

（1）求该河的宽度AB；（两岸可近似看作平行）

（2）设实际航行时，速度为每秒5米，从。回到A时，速度为每秒4米，求航行总时间.

【答案】（l）AB=240米

（2）航行总时间为67.5秒

【分析】（1）根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理就可求出直角边A8的距离.

（2）根据时间=路程+速度，求出行驶的时间即可.

【详解】（1）解：设A8=x米，则6C=（x+10）米，

在RIA4BC中，根据勾股定理得:

X2+7O2=（X+1O）2,

解得：.r=240,

答：河宽240米.

（2）解：（240+10）+5=50（秒），

70-5-4=17.5（秒），

50+17.5=67.5（秒），

答：航行总时间为67.5秒.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，列出方程是解题的关键.

【题型8应用勾股定理解决台阶上地毯长度】

例题：（24-25八年级下•重庆长寿•阶段练习）某学校为防止雨天地滑，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯,

将楼梯台阶完全盖住.楼梯台阶剖面图如图所示，己知NC=90。，AC=3m,AB=5m.

（I）求8c的长；

（2）若已知楼梯宽2.8m,每平方米地毯25元，需要花贽多少钱地毯才能铺满所有台阶.（假设地毯在铺的

过程中没有损耗）

【答案】（1）BC的长为4m；

（2）490元

【知识点】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）、有理数乘法的实际应用

t分析】本题考查了勾股定理的应用，利用勾股定理求事的长度是解题的关位.

（1）由勾股定理列式计算即可；

（2）由长方形面积公式计算即可.

【详解】（I）解：VZC=90°,AC=3m,AB=5m,

BC=JAB2-AC2=后与=4（m）,

答：8c的长为4m：

（2）解：地毯氏为：3+4=7（m）,

・••地毯的面积为2.8x7=l9.6（m）

.•每平方米地毯25元,

，需要/匕费25x19.6=490（元）：

答：需要花费490元地毯才能铺满所有台阶.

【变式训练】

I.（24-25八年级下•全国•单元测试）如图，小明与小华爬山时遇到一条笔直的石阶路，路的一侧设有与坡

面AB平行的护栏MN（MN=A8）.小明量得每一级石阶的宽为32cm,高为24cm，爬到山顶后，小华数得

石阶一共200级，若每一级石阶的宽和高都一样，且构成直角，请你那他们求护栏MN的长度.

【答案】80m

【知识点】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.先利用勾股定理求出每一级石阶

的斜边长，再乘以200即可求出护栏的长度.

【详解】解：根据勾股定理，每一级石阶的斜边长为力2?+24?=40（cm）.

MV=AB=200x40=8000（cm）=80（m）.

答：护栏MN的长度为80m.

2.（2024八年级上•全国•专题练习）如图，楼梯的岛度为2m,楼梯城面的长度为4m,要在楼梯的衣画铺

上地毯，那么地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1m）

【知识点】求台阶_L地毡长度（勾股定理的应用）

【分析】考查了勾股定理的应用，根据图形可得，地毯的长度等于AC+8C,利用勾股定理求出8c的长,

即可求解，理解地毯的长度等于八C+BC是解题的关键.

【详解】解：如图，由勾股定理得，，钻2=8。2+4。2,

,•BC=yjAB1—AC2=>/4'—22=2G米，

*'•AC+4C=2+2GR5.5米，

答：地毯的长废至少需要5.5米

（单位:m）

-4

3.123-24八年级上.山东枣庄•阶段练习）某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上

地毯，已知地毯每平方米30元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元？

D2mA

【答案】1020

【知识点】求台阶上地毯长度（勾股定理的应用）

t分析】地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的加，在宜.角VABC中，根据勾股定理

即可求得A8的长，地毯的长与宽的积就是面积，再乘地毯每平方米的单价即可求解.

【详解】解：由勾股定理得A8=办亡-Be?=而K=gm）,

则地毯总长为12+5=17（m）,

则地毯的总面积为17x2=34（平方米），

所以铺完这个楼道至少需要34x30=1020（元）.

故答案为：1020.

【点睛】本题考查了勾股定理的应用，正确理解地毯的长度的计算是解题的关键.

【题型9应用勾股定理解决汽车是否超速问题】

例题：（24-25八年级下•广西贵港•期中）己知某高速路段限速90km/h（即25m/s）.如图，汽车在车速

检测仪A正前方30米的。处（NC=90。），过了2s后到8处，测得A8=50m.请通过计算判断汽车是否超

速.

观测点

【答案】没有超速

【知识点】判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，将实际问题转化为数学问题成为解题的关键.

由勾股定理可得〃C=40m,再根据小汽车用2s行驶的路程为3C,那么可求出小汽车的速度，然后再判断

即可解答.

【详解】解：汽车没有超速，理由如卜：

依题意，由勾股定理可得：AC2+BC2=AB2,AC=30,AB=5（）,

BC=^AB2-AC2=V5O:-3O2=40（m）.

4C»-r2=20（m/s）,

A20<25.

••・汽车没有超速.

【变式训练】

1.（24-25八年级上•陕西西安•阶段练习）某条道路限速60km/h,如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线

行驶，某一时刻刚好行股到车速检测仪A正下方5m的B处，过了1s,小汽车到达。处，此时测得小汽车与

车速检测仪间的距离AC为13m.

A检测仪

CB

小汽车小汽车

（1）求4c的长；

（2）这辆小汽车超速了吗？

【答案】（l）12m

（2）未超速

【知识点】用勾股定理解三角形、判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

【分析】本题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三

角形中进行解决.

（1）根据勾股定理即可求解：

（2）根据小汽车用行驶的路程和时叵，可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速即可.

【详解】（1）解：根据题意，得A4=5m,4C=13m,

由勾股定理,得3c2+A4?=AC?,

BC=W-5'=12m，

故BC的长为12m.

⑵解：l2+l=12m/s,

*.*60km/h=^m/s>l2m/s,

・♦.这辆小汽车未超速.

2.（24-25八年级上•河南郑州•阶段练习）如图所示，A点装有••车速检测仪，它到公路边的距离AN=90米,

小汽车行驶过检测仪监控区域，到达,V点时开始计时，离开M点时停止计时，已知AM=150米.

知识窗

Itn/s=3.6km/h

车速超过

120km/h即为

超速

⑴若一辆汽车以108km/h的速度匀速通过监控区域，共用时几秒？

（2）若另一辆车通过监控区域共用时3秒，该车是否超速？请说明理由.

【答案】（1）共用时4秒

（2）该车超速，理由见详解

【知识点】判断汽车是否超速（勾股定理的应用）

【分析】本题考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关犍.

（1）勾股定理求出MN的长，利用时间等于路程除以速度进行求解即可:

（2）利用速度等于路程除以时间求出车速，进行判断即可

【详解】（1）解：依题意可得，AN1MN,

.•.N/WM=90。，为直角三角形

•••AM=150米，AN=90米，

MN=VAM2-/W2=V15O2-9O2=120米，

IO8knVh=3Om/s,

•,1=120+30=4s

答:共用时4秒：

(2)解:超速，理由如下:

120:3=40nVs=144km/h,

v144km/h>120kin/h.

该车超速.

3.124-25八年级匕宁夏银川•期中）如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路

对面车速检测仪A处的正前方120米的C处，过了8秒，小汽车到达8处，此时测得小汽车与车速检测仪间

的距离为200米.

小汽车小汽车

B"-------------?C

；

、、।

____________、、、「/_____

检测仪

(1)求6c■的长：

(2广中华人民共和国道路交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，这辆小汽

车在8C段是否超速行驶？请说明理由(参考数据：lm/s=3.6km/h)

【答案】⑴