“学海拾珠”系列之二百八十六：因子驱动的网络信息约束向量自回归

引言 4模型 5估计 7第一步：用PCA估计因子 7第二步：用估计特质成分 8模拟研究 9数据生成下的预测 9因子个数设定错误 9违反正特征值间隙假设 10实证分析 日收益预测应用 日内收益预测 13美国工业产出 14结论与讨论 14附录 相关文献与符号说明 15风险提示： 16图表1文章框架 4图表2数据生成下三种预测模型的MSPE及标准误 9图表3因子个数设定错误时两种预测模型的MSPE及标准误（数据来自R=5的静态因子模型） 10图表4模型下样本协方差矩阵特征值随N的增长：(A)假设1成立；(B)假设1被违反 10图表5等权组合下三种预测模型的夏普比率与日均PNL（基点，不同固定交易成本） 12图表6等权十分位组合的夏普比率与日均PNL（基点，不同交易成本） 12图表7不同Α、Β下的夏普比率与组合权重的日均标准差 12图表8不同Α、Β下各资产的下注规模 13图表9成交额加权十分位组合的夏普比率与日均PNL（基点，Α=0.001，Β=500,000） 13图表10三种模型在30分钟日内数据上回测的累计PNL（基点） 14图表美国工业产出预测的整体MSE 14引言图表1文章框架整理维”，也就是假定它们的依赖关系只有简单的结构。文献中主要有两条路（Chernozhukov,HansenandLiao,2017；Fan,MasiniandMedeiros,2023；i,adPicei,1一是因子模型。假定所有序列都受到少数几个共同冲击的影响（如大盘涨跌、利Foitl9二是稀疏模型。假定每个序列只受其他序列中少数几个的影响，其余影响为零（F,Ked,0BzidHli202（Barigozzi,ChoandOwens,2024；ChenFanandZhu2023；FantlKedil,5；i,PlisdS,NRBi,；Skdson,aZutlKi,Nsd,（Barigozzi,Cavaliereand,；ttl0；i,Sikhidicis,3。但在金融和经济数据里，往往并没有现成的网络可用。Martinetal.(2024)提出的名为。Rintl4（i,4（Fntl3wl,NnandWainwright(2012)4𝑟𝑟𝑁爆表现。(iii)估计出的因子，有助于解释驱动共同成分的力量；估计出的分组，则可以揭示驱动特质成分的网络。本文在金融收益预测以及宏观经济数据集FRED-MD（McCrackenandNg,2016）的预测任务中，检验了该方法的有效性。模型本节给出edilison,9直观理解。把𝑁条序列（比如𝑁只资产）分成𝐾个“社区”。同一社区内的序列容𝒢=(𝒱𝒱=[𝒱×𝒱定义2.1（随机块模型设𝐾∈ℕ𝐵∈ℝ𝐾×𝐾𝜋=(𝜋1𝜋𝑁)′∈𝜋𝑘𝑘𝑘∈[𝐾]。块分配映射𝑧:[𝑁]→[𝐾]满足：对每个𝑘∈[𝐾]，ℙ{𝑧(𝑖)=𝑘}=𝜋𝑘。在给定𝑧的条件下，各元素𝐴𝑖𝑗相互独立，且𝐴𝑖𝑗

={Bernoulli(𝐵𝑧(𝑖),𝑧(𝑗))𝑖≠𝑗1𝑖=𝑗此时称𝐴是随机块模型的邻接矩阵，记作𝐴∼SBM(𝐵,𝜋)。其中，𝐴𝑖𝑗=1表示两个顶点之间有边，而对角线上恒为1。注。𝐵sorvehNw,3SBM定义2.2（FNIRVAR模型。设{𝑿𝑡}𝑡为零均值的二阶平稳随机过程，𝑿𝑡=(𝑋1,𝑡,⋯,𝑋𝑁,𝑡)′∈ℝ𝑁。FNIRVAR模型为：𝑿𝑡=𝛬𝑭𝑡+𝝃𝑡,𝑙𝐹𝑭=∑𝑃

+𝛤1/2𝒖,

∼𝒩(0,𝐼),𝑡 𝑘=1𝑁

𝑡−𝑘 𝑢 𝑡 𝑡 𝑞𝑖,𝑡=∑𝐴𝑗𝑗𝑗,𝑡−1+𝜖𝑖,𝑡, 𝝐𝑡∼𝒩(,𝜖),𝑗=1𝐴∼SBM(𝐵,𝜋) (1)各符号的含义如下：𝛬是𝑁×𝑟的载荷矩阵，𝑭𝑡是𝑟维的因子向量，𝑟∈ℕ是因子个数。𝐹𝑟𝑟𝑙𝐹是𝑟𝑞矩阵，𝒖𝑡𝑃)∈ℝ𝑟𝑙𝐹×𝑟。𝐹𝝌𝑡=𝛬𝑡𝑡𝑗𝛷:=𝐴⊙。式R𝑗收益，只有在两者之间有边（𝐴𝑖𝑗=1）时，才会进入资产𝑖的方程；而同一社区内的资产更容易有边。因此𝛷大体是块对角的，块内的非零元素多于块间；𝛷有多稀疏，由块概率矩阵𝐵决定。为便于表述，本文用标准的无权SBM，再把每条实现的边𝐴𝑖𝑗乘上一个固定权重𝑗𝛷SM（lrtl𝑗|𝑧(𝑖),𝑧(𝑗)∼𝐻𝑧(𝑖),𝑧(𝑗𝐻令𝛷|𝑧(𝑖)=𝑘,𝑧(𝑗)=𝑙}=̃𝑙̃∈ℝ𝐾𝐾𝛷(𝛷)=𝑍̃𝑍′，其𝑍∈{0,1}𝑁×𝐾𝑖𝑘=1。把𝛷换成(𝛷)，NR模型就变为𝝃=𝑍̃𝑍′𝝃 +

=𝛬𝑭(𝜉)+𝝐。其中，𝑡 𝑡−1 𝑡

𝜉𝑡 𝑡𝜉):=𝑍′𝝃 是𝐾𝛬:=𝑍̃是各条𝑡 𝑡−1 𝜉序列在这些社区因子上的载荷。期望邻接矩阵与社区因子的这一关系，Chenetal.(2023)也讨论过。介绍估计之前，先看模型何时平稳。𝐹命题平稳性|𝑧|≤1有−𝑃∗𝑧)≠0且det(𝐼𝑁𝛷𝑧)≠0𝐹⋯ 0 0 ⋯ 0𝑃∗=0 0 ⋯ 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮ ⋮(0 ⋯ 0 0)是式和特质都不会“发散”。证明。VAR过程{𝑭𝑡}𝑡∈ℤ与{𝝃𝑡}𝑡∈ℤ弱平稳，当且仅当对所有满足|𝑧|≤1的𝑧∈ℂ，𝐹𝐹𝐹 有−𝑧𝑙𝐹)≠0−𝛷𝑧)≠0（例如见BrockwellandDavis,199say1det(𝑟−1𝑧−⋯−𝑙𝑧𝐹)=det𝑁𝑙−𝑃∗𝑧Lütkepohl(1984)的定理1，若𝛬≠0，则当对|𝑧|≤1有det(𝐼𝑁𝑙−𝑃∗𝑧)≠0𝐹𝐹𝐹 {𝛬𝑭𝑡}𝑡∈ℤGrangerandMorris估计本文用两步法估计FNIRVAR的参数𝛬、𝑭𝑡、𝑃𝑘和𝛷。第一步，用PCA估计因子𝑭𝑡和载荷𝛬。第二步，扣除估计出的共同成分后，估计特质模型中潜在的VAR参数𝛷。这个流程需要下面的假设。假设1（差矩阵𝛤𝜉的最大特征值，即特征值间隙𝛥:=𝜆min(𝛤𝜒)−𝜆max(𝛤𝜉)>0。第一步：用PCA估计因子设有观测集𝑋=(𝒙1,…,𝒙𝑇)，其中𝒙𝑡=(𝑥1𝑡,…,𝑥𝑁𝑡)′是随机变量𝑿𝑡的一个实现。令𝐸:=eig(𝑋𝑋′/𝑇)[:,1:𝑟]，即样本协方差矩阵最大的𝑟个特征值所对应的特征向量构成的𝑁×𝑟矩阵。静态PCA给出：̂=𝐸，̂𝑡=𝐸′𝒙𝑡。预测时，向前一步的因子估计为ℓ𝐹𝑡+1=∑𝑘𝑡−𝑘𝑘=1其中𝑃用最小二乘回归估计。具体地，设𝑌𝐹=(𝐹′,…,𝐹′)′∈ℝ(𝑇−ℓ𝐹)×𝑟，且𝐹′ ⋯

ℓ𝐹 𝑇0 ℓ𝐹−1=( ⋮ ⋱

)∈ℝ(𝑇−ℓ𝐹)×𝑟ℓ𝐹𝐹′ ⋯ 𝐹′𝑇−ℓ𝐹−1

𝑇−1则̂=(̂′𝐹)1̂′𝐹𝐹 𝐹𝑟BaiandNg(2002)𝑙𝐹AIC（Fanetl3。估计出共同成分̂𝑡=̂̂𝑡之后，特质成分估计为̂𝑡=𝑿𝑡−̂𝑡。记̂=(̂1,…,̂𝑇，̂=(̂1,…,̂𝑇。第二步：用估计特质成分特质成分NIRVAR模型的参数，通过算法1估计。其最后一步用OLS估计受限细，见Lütkepohl(2005)第5算法1 估计。×𝑇𝑙𝐹𝐾。1：用静态A估计𝑟个因子及载荷：̂=𝐸，̂𝑡=𝐸′𝒙𝑡，其中𝐸:=e(𝑋𝑋′/𝑇)[:,1:𝑟]。2：用最小二乘估计𝑙𝐹个因子VAR系数矩阵𝑃𝑘。3̂𝑡=𝑿𝑡−̂𝑡。4𝜉←̂̂′𝑇。5𝜉𝑑1,…,𝒗𝑑𝑁×𝑑𝑉。6：用𝐾成分高斯混合模型对𝑉的各行聚类。7：对每个𝑖∈[𝑁]，令𝑧̂(𝑖)为第𝑖行的聚类结果。8̂𝑗=𝟙̂(𝑖)=̂𝑗)}0。9OLS模型

=̂⊙̃𝑡−1

+𝝐̂)̃。𝑡̂𝑡̂R𝑘̂𝑖。𝑡为什么这样做。在稀疏度和噪声水平适当时，对SBM邻接矩阵做谱聚类，能够BMidil,5𝜉𝜉Lül,5vec(𝛤𝜉)=(𝐼𝑁2−𝛷⊗𝛷)−1vec(𝛤𝜖)。Martinetal.(2024)（8步嵌入维度𝑑ZhuandGhodsi(2006)DonohoGavishandRomanov(2023)ScreeNOT（lxtl0𝑑𝜉中大于ko-Pastur（Marčenkoand,1967）Marčenko-PasturWishart聚类个数𝐾。可以用BIC等信息准则选择。不过，本文遵循Martinetal.(2024)𝐾=SBM（HoffRafteryandHandcock,2002）𝐾𝑑=𝐾。计算复杂度。FNIRVAR的计算量主要来自特质成分的估计：𝛤𝜖同方差时为𝐹𝑂(𝑁3/𝐾2+𝑇𝑁2𝐾)𝑂(𝑁3+𝑇𝑁2（intlAs𝑂(𝑟)𝑂(𝑇𝑟2𝑙2)，因为𝑟≪𝑁𝑙𝐹≪𝑁R𝑂(𝑁3+𝑇𝑁2)𝜖NR𝐹模拟研究本文做了三个模拟实验，考察LASSO3（MSPE）最低。第二，数据由静态因子模型生成，考察估计的因子个数设错时，加上FNIRVAR特质模型有什么好处。第三，考察假设1对样本协方差特征值的影响，说明假设1对两步估计流程是必要的。数据生成下的预测NR𝑁=10𝑇=15𝑟=𝑞=5𝑙𝐹=，𝐾=4𝑗=0𝑖=𝑗）𝑗=0（𝑖≠𝑗𝜌(𝑃∗)=表示NR𝑗∼𝒩(𝑖,1𝑖:=(−)𝑧𝑖+1𝑧(𝑖；并将𝛷=𝐴⊙𝜌(𝛷)=0.9任务与结果。任务是一步向前预测，采用滚动窗口回测，回看窗口为1000个观LASSO（LASSOBIC图表2MSPEMSPE最低（1与5图表2FNIRVAR数据生成下三种预测模型的MSPE及标准误研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券因子个数设定错误=====5。的对角元素取1、非对角元素取−0.2，再重新缩放，使𝜌(𝑃∗)=0.7。1000结果。图表3比较静态因子模型和FNIRVAR（块数𝐾=4）在预测时假设不同因子个数𝑟̂的MSPE和标准误。数据中并没有特质成分，但因子个数设错时，FNIRVAR仍优于静态因子模型：NIRVAR特质模型捕捉了因子个数设少后遗留的那部分方差。而因子个数设对时，FNIRVAR并不会损害预测表现。图表3因子个数设定错误时两种预测模型的MSPE及标准误（数据来自r=5的静态因子模型）研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券违反正特征值间隙假设𝑁𝑇=1000下由的特𝑁𝑟=1）𝐾=5载荷从正态混合分布中抽取：𝛬𝑖,𝑗∼0.5⋅𝒩(1,𝜎2)+0.5⋅𝒩(−1,𝜎2)。因子VAR𝛬 𝛬𝜌(𝑃∗)=𝑞=𝑟𝑢𝑙𝐹=。块矩阵𝐵的对角元素取0.95，非对角元素取0.01。NIRVAR系数矩阵的权重取𝑗∼𝒩(𝑖,1𝑖:=(−)𝑧𝑖+1𝑧(𝑖̃←(̃+̃′)𝛷=𝐴⊙𝜌(𝛷)=0.9=𝐼𝑁𝑁20特征值间隙𝛥由𝜎𝛬控制：𝜎2=9×10−3时𝛥>0；𝜎2=2.5×10−4时𝛥<0。𝛬 𝛬结果。图表4𝜒𝜉𝑁𝜒𝑁（征值增长速度，见BzidHli,4𝛥<0（1𝜆ax𝜒)<𝜆n𝜉𝜉𝑁线性增长，说明R图表4FNIRVAR模型下样本协方差矩阵特征值随N的增长：(a)假设1成立；(b)假设1被违反研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券实证分析（Miaoetal(2023)Fanetal2023)Fanetal2023)LASSOandMargaritella(2025)；本文遵循Fanetal.(2023)BIC日收益预测应用数据说明。64820001320201231日（𝑇=属的CenterforResearchinSecurityPrices,LLC500500收益减去跟踪该指数的ETF——SPY的收益，得到pvCLCL任务。预测次日的pvCLCL市场超额收益。采用滚动窗口回测，固定回看四年。20041120201231（utlC2准则BidN,2选出12.163.97。业绩指标。每天的盈亏（PnL）按下式计算：𝑁PnL=∑𝜔(𝑡)sign(𝑠̂(𝑡))𝑠(𝑡)𝑡 𝑖=1

𝑖 𝑖其中，𝑠̂(𝑡)是资产𝑖在第𝑡日的预测收益，𝑠(𝑡)是实现收益，𝜔(𝑡)是组合权重，对每𝑖 𝑖 𝑖𝑖=1个𝑡∈[𝑇]满足∑𝑁𝑖=1

𝜔(𝑡)=1。也就是说，预测为正就做多，预测为负就做空。𝑖𝑖记Pn:=Pn𝑡𝑡=𝑇R√22×meaPnsPn。L（s1bpts2bptsPnL𝑖𝑖∈[𝑁]𝑡∈[𝑇𝜔𝑡)=1𝑁。𝑖图表5PnLPnL都最高LASSO模图表5等权组合下三种预测模型的夏普比率与日均PnL（基点，不同固定交易成本）研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券andFrench,199图表6给出以FNRDecile1007525L保持在相近水平。图表6等权十分位组合的夏普比率与日均PnL（基点，不同交易成本）研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券成交额加权组合（uegh。动性，权重定义为𝜔(𝑡)=min(𝛼𝜈

𝛽)

=

,…,

是资产𝑖在𝑖 𝑖,𝑡

𝑖,𝑡

𝑖,𝑡

𝑖,1

𝑖,𝑡第𝑡美元𝛼和𝛽𝛽图表7𝛽(𝛼,𝛽)0.00154图表8(𝛼𝛽)（1.569固定𝛼=0.001、𝛽=500,000时，图表9给出各十分位组合在不同交易成本下的夏普比率和日均PnL。注意，这组(𝛼,𝛽)是所有考虑过的组合中，最远离等权的。同样，分位越低，PnL越大。图表7不同α、β下的夏普比率与组合权重的日均标准差研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券图表8不同α、β下各资产的下注规模研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券图表9成交额加权十分位组合的夏普比率与日均n（α=1β=,00）研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券日内收益预测200762720211231（𝑇=纳斯516LOBSTER（LimitOrderBookSystemTheEfficientReconstructor3013（3025%任务。预测下一个30分钟的市场超额收益。同样采用滚动窗口回测，固定回看5.1业绩指标。与日收益预测相同，用夏普比率和日均PnL；但此处PnL𝑡是第𝑡日日图表10。的夏普比率为2.20，LASSO1.14，单独0.58。图表10三种模型在30分钟日内数据上回测的累计PnL（基点）研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券美国工业产出andNg20228196012019年12𝑇=71CndNg𝑁=12任务。一步向前预测月度工业产出（IP）指数对数的一阶差分。回测区间为20001201912480McCrackenandNg(2016)𝑟=8𝑙𝐹4.17。结果。图表11显示，与不含特质模型的因子模型相比，FNIRVAR降低了整体MSELASSO图表11美国工业产出预测的整体MSE研究所

Factor-DrivenNetworkInformedRestrictedVectorAutoregression》，华安证券结论与讨论SBM网络带来的正则化，使PCAFNRSSO估计稀疏R1.95，302.20FNIRVAR特别适合包含高度联动变量组的数据。从一个角度看，它可以被视为（idHli,4NR(i)研究Fanetal.(2023)SBMCapeandPriebeetal.,2021；LeiandRinaldo,2015）(ii)模型，此时需要用动态PA例如见Bzitl4。ii用Agarwaletal(2012)附录相关文献与符号说明相关文献+（Barigozzietal2024；Chenetal.,2023；Fanetal.,2023；KrampeandMargaritella,2025；Miaoetal.,202Geweke(1977)Sargent,Simsetal.(1977)型Chamberlain(1983)ChamberlainandRothschild1983)Stockand(2002a,2002b)、Bai(2003)BaiandNg(2002)模型的更一般类别，是Fornietal.(2000)ForniandLippi(2001)Bzidl,稀疏模型。LASSO（Tibshirani,1996）等正则化方法，通过稀疏性假设降维。例如AdamekSmeekesandWilms,2023；Basu