模型30“垂美四边形”模型 （含答案）2025年中考数学几何模型专题复习

模型30“垂美四边形”模型

模型展现

定义对角线互相垂直的四边形叫做垂美匹边形

D

图示

B

条件在四边形ABCD中.ACJ_BD.

结论1.AB4CD2=AD2+BC2；2.S>^McD=1ACBD

结论分析

AB2+CD2=AD24-BC2

证明：：AC_LBD，根据勾股定理得：AB2=AO2+BO2,AD2=AO2+DO2,CD2=CO2+D02,BC2=BO2+

CO2,AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2,AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,：.AB2+CD2=AD2+B

C2.

绐四边形ABCD=》C.BD

自主证明：

模型解题三步法

例如图，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,LAOD=90。若AD==怖则AB2+C

D2=_.

题以类解

1.（模型构造）【问题发现】

如图①，垂美四边形ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间有怎样的数量关系?写出你的猜想，并说明理

由；

【拓展延伸】

如图②.分别以ABC的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE,连接CE,BG,

GE,CE与BG交于点O,点H为GE的中点，连接OH,已知AC=3,AB=5,求OH的长.

图①

第1题图

2.定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形.

(1得出一种你学过的垂美四边形;

(2)如图①，点0是垂美四边形ABCD对角线的交点,E,F,G,H分别是边AB.BC,CD,DA的中点连接OEQFQG,

0H,分别记四边形AEOH.四边形BEOF,四边形CGOF.四边形DHOG的面积为$,S3,S4，求St,S2,S3,S4间

的数量关系；

(3)如图②，四边形ABCD是垂美四边形，若AB=4,BC=2,CD=5,求AD的长.

图②

第2题图

自主证明：

,四边形ABCD-SACD+SACB

=-xAC-DO+-xAC-BO

22

二“C・(DO+B。)

=-AC-BD.

2

模型解题三步法

例13【解析】找模型图形背景是否为四边形：四边形ABCD;四边形中是否存在垂直的对角线:ACJ_BD;抽

离模型：如解图，用模型

根据"垂美四边形"模型得AB2+CD2=AD2+BC2；：AD=同,BC=V3,

BC2+AD2=3+10=13,•••AB2+CD2=13.

D

B

例题解图

1.解：【问题发现】

猜想：AD2+BC2=AB2+CD2.

理由:•・△（：，BD,

二/AOD=NAOB=NBOC=NCOD=90°,由勾月殳定理彳导：AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2,AB2+CD2=

2222

AO+BO+CO+DOf

•.AD2+BC2=AB2+CD2;

【拓展延伸】

GHE

第1题解图

如解图，连接CG,BE,设AB,CE交于点M,

・••zCAG=zBAE=90°,

AG=AC

乙GAB=£CAE,

.ZCAG+NBAC=NBAE+NBAC,即/GAB=NCAE（等角代换），在，GAB和"AE中,

AB=AE

.•/GAB*CAE（SAS）,

/.zABG=zAEC.

又「/AEC+/AME=9CT/OMB=/AME,

.-.zABG+zAME=zABG+zOMB=90°,

.•.zBOM=90°,BPCE±BG,

.•・四边形CGEB是垂美四边形（垂美四边形的定义），

CG2+BE2=CB2+G£2（"垂美四边形”模型），

•/AC=3,AB=5,

:.BC=4,CG=V2AC=3^2,BE=&AB=5四，

/.GE2=CG2+BE2-CR2=18+50-16=52,

•••GE=2J同负值已舍去）,

OH=\GE=m（直角三角形斜边中线性质）.

2.解：（1）正方形（或菱形）；

（2；如解图①，连接AC,BD,由垂美四边形的定义可知AC_LBD,

则"OB=/BOC=/COD=/DOA=90°,

第2题解图①第2题解图②

又.E,FGH分别是边AB,BC,CD,DA的中点,SAOE=SBOE,SROF=SCOF，SCOG=SDOG，^DOH=SAOH，

，Si+S3=SA0E+SA0H+SC0F+SC0G

S2+S4=sB0E+sB0P+sD0G+sD0H

：•S]+S3=S?+S4；

⑶如解图②，连接AGBD交于点O,由垂美四边形的定义可知AC_LBD,

在Rt^AOD中，AD2=AO2+0D2,

在