2025年成人高考成考(专升本)高等数学(一)试卷与参考答案

2025年成人高考成考(专升本)高等数学(一)试卷与参考答案一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。当x→0时，下列极限值为2/3的是A.limx→0sin3x2x

B.limx→0e2x−1sin3B.2C.4D.6曲线y=x3−2B.2C.3D.-1设函数f(x)在x=x0处具有二阶导数，且f′(x0B.极小值点C.拐点横坐标D.非极值点若∫f(x)dx=x2e2x+C，其中C为任意常数，则f(x设变上限积分函数F(x)=0xsin(t2)dt，则F′(x已知向量a=(1,2,3)，bB.1C.2D.3设二元函数z=ln(x2+yB.12

D.0下列无穷级数中，收敛的是A.n=1∞1n

B.n=1∞1n

C.n=B.2C.3D.4二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分。极限${x}(1+)^{2x}=$_____设函数y=esin不定积分$(2x+x)dx=$______定积分${-}^{}xxdx=$_____无穷限广义积分${1}^{+}dx=$_____过点(1,0设二元函数z=x2设D为单位圆x2+y无穷等比级数n=一阶微分方程y′−y21.（本题满分8分）计算极限limx→0求函数f(x)计算不定积分∫xe−计算定积分01x⋅设二元函数z=f(x2y,y2计算二重积分D​xdσ，其中D是由抛物线y=求二阶常系数线性非齐次微分方程y″−2证明：当x>0时，1参考答案及评分标准一、选择题答案（每小题4分，共40分）B2.C3.A4.B5.D6.A7.A8.A9.C10.C二、填空题答案（每小题4分，共40分）esinxcosx2+sin2x+yy=C解：当x→0时，分子x−sinx→0

此时仍为00型未定式，再次应用洛必达法则，对分子分母求二阶导数：

根据重要极限limx→

22.（本题满分8分）解：函数f(x)的定义域为

令f′(x)=0，解得驻点x1=−1，x2=3。将定义域划分为三个区间，分别判断导数符号：

-当x∈(−∞,−1)时，x−3<0，x+1<0，故f′(x)>0，f

综上，函数的单调递增区间为(−∞,−1)和(3,+∞解：应用分部积分法求解，设：$$u=x,\quaddv=e^{-x}dx\tag{2分}$$

对u求导、对dv积分得：

根据分部积分公式∫ud$$\intxe^{-x}dx=-xe^{-x}-\int(-e^{-x})dx=-xe^{-x}+\inte^{-x}dx\tag{6分}$$

计算剩余不定积分并整理结果：$$\intxe^{-x}dx=-xe^{-x}-e^{-x}+C=-e^{-x}(x+1)+C\tag{8分}$$

24.（本题满分8分）解：应用定积分分部积分法，设：$$u=\arctanx,\quaddv=xdx\tag{1分}$$

求导、积分得：

根据定积分分部积分公式abudv=u$$\int_{0}^{1}x\arctanxdx=\left.\frac{x^2}{2}\cdot\arctanx\right|_{0}^{1}-\int_{0}^{1}\frac{x^2}{2(1+x^2)}dx\tag{4分}$$

计算边界项：

将剩余积分的被积函数变形后计算：

将两部分结果代入原式，整理得：

25.（本题满分8分）解：引入中间变量u=x2y，v=y2，则z=f(u,v)，记f对第一个中间变量的偏导数为f1

其中∂u∂x=

求对y的偏导数时将x视为常数：

其中∂u∂y=

26.（本题满分10分）解：首先确定积分区域D的范围，联立抛物线与直线方程：

解得交点为(0,0)和(1,1$$D:\quad0\leqx\leq1,\quadx^2\leqy\leqx\tag{4分}$$

将二重积分化为先对y、后对x的二次积分：

$$\iint_Dxd\sigma=\int_{0}^{1}dx\int_{x^2}^{x}xdy\tag{6分}$$

先计算内层积分（对y积分时x视为常数）：

再计算外层积分（对x积分）：

27.（本题满分10分）解：二阶常系数线性非齐次微分方程的通解由对应齐次方程的通解Y与非齐次方程的一个特解y*组成，即y=Y+y*。

因式分解得(r−3)(r+1

第二步：求非齐次方程的特解y*。

非齐次项f(x)=3x+1为一次多项式，且0不是特征根，故设特解形式为

将y*、y*′、

比较等式两边同次幂系数，得到方程组