第二章一元二次方程精讲精练学生

目录TOC\o"1-2"\h\u5067第二章一元二次方程专题 118932第一节一元二次方程的定义 1220第二节直接开平方法 715208第三节配方法 1127560第四节公式法 16554第五节因式分解法 2213330一元二次方程综合练习题 2915490第六节根与系数的关系 323432第七节增长率问题 3719978第八节利润问题 4223638第九节其他问题 5016972一元二次方程的应用综合练习 58第二章一元二次方程专题第一节一元二次方程的定义一、知识点归纳1．一元二次方程的概念：通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．

要点诠释：识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，（）这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项．

要点诠释：

(1)只有当时，方程才是一元二次方程；

(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.

3.一元二次方程的解：使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.二、课前预习1．下列是一元二次方程的是（）A．﹣5x+2＝1 B．2x2﹣y+1＝0 C．x2+2x＝0 D．x2﹣＝02．已知关于x的方程（a﹣1）x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，则a满足的条件是（）A．a≠0 B．a≠1 C．a＞1 D．a≤23．方程3x2﹣2x﹣1＝0的二次项系数和一次项系数分别为（）A．3和2 B．3和﹣2 C．3和﹣1 D．3和1三、典型例题例1（基础）方程5x2﹣2＝﹣3x的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（）A．5、3、﹣2 B．5、﹣3、﹣2 C．5、3、2 D．5、﹣3、2例2（基础）下列方程是关于x的一元二次方程的是（）A．x＝ B．ax2+c＝0 C．a2x﹣3x＝x（1﹣x） D．x（x2﹣1）＝0例3（基础）已知x＝1是一元二次方程2x2﹣cx＝0的一个根，则c的值是（）A．﹣1 B．2 C．3 D．﹣2例4（提高）若关于x的一元二次方程ax2+bx+4＝0的一个根是x＝﹣1，则2015﹣a+b的值是（）A．2011 B．2015 C．2019 D．2020例5（提高）将一元二次方程5x2﹣1＝4x化为一般形式，其中一次项系数是（）A．5 B．﹣4 C．4 D．﹣1例6（满分）已知关于x的方程x2﹣kx﹣6＝0的一个根为x＝﹣3，则实数k的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2例7（满分）已知a是方程x2+3x﹣1＝0的根，则代数式a2+3a+2019的值是（）A．2020 B．﹣2020 C．2021 D．﹣2021四、课堂练习1．给出下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②（x﹣9）2＝1；③4x2+2x﹣1＝0；④x+3＝；其中一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．42．下列方程中，一元二次方程共有（）①3x2+x＝20；②2x2﹣3xy+4＝0；③x2﹣＝4；④x2﹣3x＝4；⑤x2﹣+3＝0．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．已知关于x的方程x2+x+2a﹣4＝0的一个根是﹣1，则a的值是（）A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．24．在一元二次方程﹣x2﹣4x+1＝0中，二次项系数和一次项系数分别是（）A．﹣1，4 B．﹣1，﹣4 C．1，4 D．1，﹣4五、巩固练习1．关于x的方程（a﹣3）﹣3x﹣2＝0是一元二次方程，则（）A．a≠±3 B．a＝3 C．a＝﹣3 D．a＝±32．将方程3x2＝﹣6x+8化为一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项系数、常数项分别为（）A．3、6、8 B．3、﹣6、﹣8 C．3、﹣6、8 D．3、6、﹣83．关于x的方程（a+1）x|a|+1﹣3x+4＝0是一元二次方程，则（）A．a≠±1 B．a＝﹣1 C．a＝1 D．a＝±14．下列关于x的方程：①ax2+bx+c＝0；②x2+﹣4＝0；③2x2﹣3x+1＝0；④x2﹣2+x3＝0．其中是一元二次方程的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4第二节直接开平方法一、知识点归纳1．直接开方法解一元二次方程：

(1)直接开方法解一元二次方程：利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.

(2)直接开平方法的理论依据：平方根的定义.

(3)能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：

①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.

若，则；表示为，有两个不等实数根；

若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；

若，则方程无实数根．

②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是

.二、课前练习题1．方程（x+3）2＝4的根是（）A．x1＝﹣1，x2＝﹣5 B．x1＝1，x2＝﹣5 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝52．方程x2＝4的解是（）A．x1＝4，x2＝﹣4 B．x1＝x2＝2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝1，x2＝4三、典型例题例1（基础）解方程：（x﹣3）2＝4．例2（基础）解方程：4（2x﹣1）2﹣36＝0．例3（提高）解方程4x2﹣13＝12例4（提高）解下列方程：（1）（x﹣2）2﹣25＝0；（2）x2﹣1＝215．例5（满分）解方程：（y+2）2﹣6＝0四、课堂作业1．方程x2﹣1＝0的解是（）A．x1＝x2＝1 B．x1＝x2＝﹣1 C．x＝±1 D．无实数根2．一元二次方程（x﹣3）2﹣4＝0的解是（）A．x＝5 B．x＝1 C．x1＝5，x2＝﹣5 D．x1＝1，x2＝5五、巩固练习1．已知x＝﹣1是方程x2﹣a＝0的解，则a＝．2．解方程：（y+2）2＝（3y﹣1）2．第三节配方法一、知识点归纳1．配方法解一元二次方程：

(1)配方法解一元二次方程：将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.

(2)配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.

(3)用配方法解一元二次方程的一般步骤：

①把原方程化为的形式；

②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；

③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；

④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；

⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解.二、课前预习1．将一元二次方程x2﹣2x＝1配方，其正确的结果是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣2）2＝5 C．（x﹣1）2＝1 D．（x﹣1）2＝22．一元二次方程x2+4x＝2配方后化为（）A．（x+2）2＝6 B．（x﹣2）2＝6 C．（x+2）2＝﹣6 D．（x+2）2＝﹣23．用配方法解方程x2﹣6x+1＝0，方程应变形为（）A．（x﹣3）2＝8 B．（x﹣3）2＝10 C．（x﹣6）2＝10 D．（x﹣6）2＝84．用配方法解方程x2﹣4x﹣7＝0，可变形为（）A．（x+2）2＝3 B．（x+2）2＝11 C．（x﹣2）2＝3 D．（x﹣2）2＝11三、典型例题例1（基础）解方程：x2﹣6x﹣8＝0．例2（基础）解方程：x2﹣2x﹣5＝0．例3（提高）用配方法解方程：2x2﹣6x﹣1＝0例4（提高）用配方法解方程：20x2+12x＝．例5（满分）解方程：x2﹣4x＝1．例6（满分）解方程：x2﹣4x﹣3＝0．四、课堂作业1．一元二次方程x2+6x﹣6＝0配方后化为（）A．（x+3）2＝15 B．（x﹣3）2＝15 C．（x﹣3）2＝3 D．（x+3）2＝32．用配方法解方程x2﹣4x﹣4＝0时，原方程应变形为（）A．（x﹣2）2＝0 B．（x﹣2）2＝8 C．（x+2）2＝0 D．（x+2）2＝83．用配方法解方程x2﹣2x﹣8＝0时，原方程应变为（）A．（x﹣2）2＝9 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣1）2＝9 D．（x+1）2＝9五、巩固练习1．用配方法解一元二次方程2x2﹣12x﹣9＝5，则方程可变形为（）A．2（x﹣6）2＝43 B．（x﹣6）2＝43 C．2（x﹣3）2＝16 D．（x﹣3）2＝162．一元二次方程x2﹣6x+5＝0配方后可化为（）A．（x﹣3）2＝﹣14 B．（x+3）2＝﹣14 C．（x﹣3）2＝4 D．（x+3）2＝43．用配方法解方程x2+2x﹣1＝0时，配方结果正确的是（）A．（x+1）2＝2 B．（x﹣1）2＝2 C．（x+2）2＝3 D．（x+1）2＝3第四节公式法一、知识点归纳1.一元二次方程的求根公式

一元二次方程，当时，.

2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：．

①当时，原方程有两个不等的实数根；

②当时，原方程有两个相等的实数根；

③当时，原方程没有实数根.

3.用公式法解一元二次方程的步骤

用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：

①把一元二次方程化为一般形式；

②确定a、b、c的值（要注意符号）；

③求出的值；

④若，则利用公式求出原方程的解；

若，则原方程无实根.二、课前预习1．用公式法解方程x2﹣6x+1＝0所得的解正确的是（）A． B． C． D．2．用公式法解方程3x2+5x+1＝0，正确的是（）A． B． C． D．3．解方程：4x2﹣6x﹣3＝0．4．解方程：2x2﹣10x＝3．三、典型例题例1（基础）一元二次方程ax2+bx+c＝0（c≠0）的求根公式是（）A． B． C． D．例2（基础）解方程．（1）2x2﹣6x﹣1＝0；（2）2y（y+2）﹣y＝2．例3（提高）小明在解方程x2﹣5x＝1时出现了错误，解答过程如下：∵a＝1，b＝﹣5，c＝1，（第一步）∴b2﹣4ac＝（﹣5）2﹣4×1×1＝21（第二步）∴x＝（第三步）∴x1＝，x2＝（第四步）（1）小明解答过程是从第________步开始出错的，其错误原因是_______________________________．（2）写出此题正确的解答过程．例4（提高）解方程：3x2﹣4x+2＝0（用公式法解）．例5（满分）用公式法解方程：4x2+4x﹣1＝﹣10﹣8x．例6（满分）解方程：3x2﹣16x+5＝0四、课堂作业1．x＝是下列哪个一元二次方程的根（）A．2x2+3x+1＝0 B．2x2﹣3x+1＝0 C．2x2+3x﹣1＝0 D．2x2﹣3x﹣1＝02．解方程：x2﹣2x﹣4＝0．3．用公式法解方程：x2﹣5x﹣1＝0．五、课后作业1．解方程：x2+5x+8＝2（x+4）．2．用公式法解方程：2x2﹣4x﹣1＝0．3．解方程．（1）x2﹣4x+1＝0；（配方法）（2）2x2+x﹣1＝0．（公式法）第五节因式分解法一、知识点归纳1.用因式分解法解一元二次方程的步骤

（1）将方程右边化为0；

（2）将方程左边分解为两个一次式的积；

（3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程；

（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.

2.常用的因式分解法

提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：

（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.二、课前预习1．方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝02．方程（x﹣1）（x﹣2）＝0的解是（）A．1 B．2 C．1和2 D．﹣1和﹣23．方程x2﹣x＝0的解是（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝x2＝1 D．x1＝0，x2＝14．方程x（x+3）＝0的解是（）A．x1＝x2＝﹣3 B．x1＝0，x2＝﹣2 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝1，x2＝3三、典型例题例1（基础）计算：选择适当方法解下列方程（1）x2﹣2x﹣3＝0（2）3x（x﹣1）＝2﹣2x例2（基础）解方程（1）x2+x﹣3＝0（2）（2x+1）2＝3（2x+1）例3（提高）解下列方程：（1）x2﹣4x﹣1＝0；（2）2（x﹣3）2＝9﹣x2例4（基础）解方程（1）（x﹣1）2＝2（2）x2﹣7x+6＝0例5（满分）解方程：（1）x（x﹣3）＝6﹣2x（2）2x2﹣7x+3＝0例6（满分）解方程（1）x2+6x＝0（2）x2﹣4x﹣3＝0四、随堂练习1．方程x2+x﹣6＝0的两个根为（）A．x1＝﹣3，x2＝﹣2 B．x1＝﹣3，x2＝2 C．x1＝﹣2，x2＝3 D．x1＝2，x2＝32．方程x（x﹣1）+x﹣1＝0的解是（）A．x1＝2，x2＝1 B．x1＝0，x2＝﹣1 C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝﹣1，x2＝13．方程x2﹣x＝0的根为（）A．x1＝x2＝0 B．x1＝1，x2＝0 C．x1＝x2＝﹣1 D．x1＝﹣1，x2＝04．x2+3x＝0的解为（）A．x＝0 B．x＝﹣3 C．x1＝0，x2＝﹣3 D．x1＝0，x2＝35．方程x2﹣x＝0的解是（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝1 D．没有实数根五、课后作业1．方程x（x﹣5）＝2（x﹣5）的解是（）A．﹣5 B．2 C．2或﹣5 D．2或52．方程20（x+1）＝x（x+1）的解为（）A．x＝0 B．x＝1 C．x1＝0，x2＝﹣1 D．x1＝1，x2＝﹣13．一元二次方程x（x﹣1）＝x﹣1的根是（）A．1 B．﹣1 C．1和0 D．﹣1和04．方程x（x﹣2）＝2x的解是（）A．x＝2 B．x＝4 C．x1＝0，x2＝2 D．x1＝0，x2＝4一元二次方程综合练习题一．选择题（共3小题）1．一元二次方程﹣x2+2x＝0的根为（）A．﹣2 B．0，2 C．0，﹣2 D．22．下列一元二次方程中，两实数根之和为2的是（）A．x2+2x+1＝0 B．x2﹣x﹣＝0 C．﹣x2﹣2x+3＝0 D．x2﹣2＝03．如果关于x的方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个实数根，则a满足的条件是（）A．a≠5 B．a≥1 C．a＞1且a≠5 D．a≥1且a≠5二．解答题（共4小题）4．解方程（1）3x2﹣8x+4＝0； （2）（2x﹣1）2＝（x﹣3）25．已知a是方程x2﹣2x﹣4＝0的根，求代数式a（a+1）2﹣a（a2+a）﹣3a﹣2的值．6．已知关于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．（1）求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；（2）若m是方程的一个实数根，求m的值．7．用适当的方法解方程：（1）3x2﹣2x＝0；（2）（x﹣1）2＝4；（3）x2+2x﹣5＝0；（4）（3x+2）（x+3）＝8x+15第六节根与系数的关系一、知识点归纳如果一元二次方程的两个实数根是，那么，.注意它的使用条件为a≠0，Δ≥0.要点诠释：1.一元二次方程的根的判别式正反都成立．利用其可以解决以下问题：

(1)不解方程判定方程根的情况；

(2)根据参系数的性质确定根的范围；

(3)解与根有关的证明题．

2.一元二次方程根与系数的应用很多：

(1)已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；

(2)已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；

(3)已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程．二、课前预习1．一元二次方程2x2+4x+1＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值是（）A．4 B．﹣4 C．﹣2 D．22．若一元二次方程5x﹣1＝4x2的两根为x1和x2，则x1•x2的值等于（）A．1 B． C． D．3．方程x2﹣5x﹣6＝0的两根之和为（）A．﹣6 B．5 C．﹣5 D．1三、典型例题例1已知方程2x2+4x﹣3＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝_______，x1x2＝_________．例2一元二次方程x2﹣4x+2＝0根的情况是（）A．无实数根 B．有两个正根 C．有一个正根，一个负根 D．有两个负根例3已知﹣3是一元二次方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根是_______.例4若x1、x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，则x1+x2+2x1x2的值为________．例5关于x的一元二次方程x2+3x+m﹣1＝0的两个实数根分别为x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）若2（x1+x2）+x1x2+10＝0，求m的值．例6已知一元二次方程的两根分别是3和0，则这个一元二次方程是（）A．x2+2x﹣15＝0 B．x2+3x＝0 C．x2﹣9＝0 D．x2﹣3x＝0四、课堂练习1．已知一元二次方程x2﹣8x﹣c＝0有一个根为2，则另一个根为（）A．10 B．6 C．8 D．﹣22．已知关于x的一元二次方程x2﹣6x+k＝0的一个根是1，则另一个根是（）A．5 B．﹣5 C．﹣6 D．﹣73．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．若x1+x2＝3，则k的值为．4．设x1、x2是方程x2+mx﹣5＝0的两个根，且x1+x2﹣x1x2＝1，则m＝．五、课后作业1．若方程x2+5x﹣6＝0的两根为x1，x2，则|x1﹣x2|＝．2．已知m，n是方程x2﹣2x﹣4＝0的两实数根，则＝．3．设x1、x2是方程x2﹣4x+1＝0的两个根，则x13+4x22+x1﹣1的值为．第七节增长率问题一、知识点归纳列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)二、课前预习1．一种商品原价100元，经过两次降价后的售价是60元，设平均每次降价的百分率为x，那么所列方程正确的是（）A．60（1+x）2＝100 B．60（1+2x）＝100 C．100（1﹣x）2＝60 D．100（1﹣2x）＝602．某超市一月份的营业额为36万元，由于受疫情影响，二月份营业额有所下降，三月份开始复苏，营业额为48万元，设从一月到三月平均每月的增长率为x．则下面所列方程正确的是（）A．36（1﹣x）2＝48 B．36（1+x）2＝48 C．36（1﹣x）2＝48﹣36 D．48（1﹣x）2＝363．某市为解决当地教育“大班额”问题，计划用三年时间完成对相关学校的扩建，2019年市政府已投资5亿人民币，若每年投资的增长率相同，预计2021年投资额达到y亿元人民币，设每年投资的增长率为x，则可得（）A．y＝5（1+2x） B．y＝5x2 C．y＝5（1+x）2 D．y＝5（1+x2）三、典型例题例1国家实施“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走向了致富的道路．某地区2016年底有贫困人口1万人，通过各方面的共同努力，2018年底该地区贫困人口减少到0.25万人，求该地区2016年底至2018年底贫困人口年平均下降的百分率．例2某药品原价为100元，连续两次降价a%后，售价为64元，则a的值为（）A．10 B．20 C．23 D．36例3随着生产技术的进步，某厂生产一件产品的成本从两年前的100元，下降到现在的64元，求年平均下降率．设年平均下降率为x，通过解方程得到一个根为1.8，则正确的解释是（）A．年平均下降率为80%，符合题意 B．年平均下降率为18%，符合题意 C．年平均下降率为1.8%，不符合题意 D．年平均下降率为180%，不符合题意例4一件商品标价100元，连续两次降价后的价格为81元，则两次平均降价的百分率是（）A．10% B．15% C．18% D．20%例5为执行“均衡教育“政策，某区2017年投入教育经费2500万元，预计到2019年底三年累计投入1.2亿元，若每年投入教育经费的年平均增长百分率为x，则下列方程正确的是（）A．2500（1+2x）＝12000 B．2500（1+x）2＝1200 C．2500+2500（1+x）+2500（1+2x）＝12000 D．2500+2500（1+x）+2500（1+x）2＝12000四、课堂练习1．疫情期间，有3人确诊新型冠状肺炎，经过两轮传染后共有147人确诊新型冠状肺炎，设每轮传染中平均一个人传染了x人，则（）A．3x2＝147 B．3（1+x）2＝147 C．3（1+x+x2）＝147 D．（3+3x）2＝1472．自从国家实行“精准扶贫”政策以来，很多贫困人口走上了致富道路，据统计某地区2018年6月份有贫困人口2.85万人，通过社会各界的努力，2020年6月份统计贫困人口减少至0.73万人，若设2018年6月份到2020年6月份该地区贫困人口的年平均下降率为x，则根据题意可列方程为（）A．2.85（1﹣2x）＝0.73 B．0.73（1+x）2＝2.85 C．0.73（1+2x）＝2.85 D．2.85（1﹣x）2＝0.733．为防止疫情扩散，佩戴口罩成为疫情期间有效防范措施之一，某工厂为了能给市面上百日提供充足的口罩，第一个月至第三个月生产口罩由67500袋增加到90000袋，设该工厂第一个月至第三个月生产口罩平均每月增长率为x，则可列方程为（）A．67500（1+2x）＝90000 B．67500×2（1+x）＝90000 C．67500+67500（1+x）+67500（1+x）2＝90000 D．67500（1+x）2＝90000五、课后作业1．（2020秋•龙泉驿区期末）某口罩厂六月份的口罩产量为100万只，由于市场需求量减少，八月份的产量减少到81万只，设该厂七八月份的口罩产量的月平均减少率为x，可列方程为（）A．100（1+x）2＝81 B．100（1﹣x）2＝81 C．81（1﹣x）2＝100 D．100+100（1﹣x）+100（1﹣x）2＝812．（2020秋•临清市期末）某小区2018年屋顶绿化面积为2000m2，计划2020年屋顶绿化面积要达到2880m2．设该小区2018年至2020年屋顶绿化面积的年平均增长率为x，则可列方程为（）A．2000（1+2x）＝2880 B．2000×（1+x）＝2880 C．2000+2000（1+x）+2000（1+x）2＝2880 D．2000（1+x）2＝28803．某口罩加工厂2020年一月份口罩产值达50万元，第一季度总产值达175万元，若设二、三月份的月平均增长率为x，则由题意可列方程为（）A．50（1+x）2＝175 B．50+50（1+x）2＝175 C．50（1+x）+50（1+x）2＝175 D．50+50（1+x）+50（1+x）2＝175第八节利润问题一、知识点归纳利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价-进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

二、课前预习1．某餐厅主营盒饭业务，每份盒饭的成本为12元．若每份盒饭的售价为16元，每天可卖出360份．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每天要少卖出40份．若该餐厅想让每天盒饭业务的利润达到1680元，设每份盒饭涨价x元，则符合题意的方程是（）A．（16+x﹣12）（360﹣40x）＝1680 B．（x﹣12）（360﹣40x）＝1680 C．（x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝1680 D．（16+x﹣12）[360﹣40（x﹣16）]＝16802．某商场将进货价为20元的玩具以30元售出，平均每天可售出300件，调查发现，该玩具的单价每上涨1元，平均每天就少售出10件．若商场要想平均每天获得3750元利润，则每件玩具应涨价多少元？设每件玩具应涨价x元，则下列说法错误的是（）A．涨价后每件玩具的售价是（30+x）元 B．涨价后平均每天少售出玩具的数量是10x件 C．涨价后平均每天销售玩具的数量是（300﹣10x）件 D．根据题意可列方程为：（30+x）（300﹣10x）＝37503．（2020秋•鼓楼区期末）某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1250元，那么衬衫的单价降了多少元？设衬衫的单价降了x元，则可列方程为．4．（2021春•长兴县月考）某商场销售一批衬衣，每件衬衣的进价为80元，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元．为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出20件．若商场平均每天盈利2000元，则每件衬衣的售价应为多少元？三、典型例题例1某种服装，平均每天可以销售20件，每件盈利44元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？例2某商场销售一批衬衫，平均每天可销售出20件，每件盈利40元，为扩大销售盈利，商场决定采取适当的降价措施，但要求每件盈利不少于20元，经调查发现．若每件衬衫每降价1元，则商场每天可多销售2件．（1）若每件衬衫降价4元，则每天可盈利多少元？（2）若商场平均每天盈利1200元．则每件衬衫应降价多少元？例3某超市经销一种成本为40元/kg的水产品，市场调查发现，按50元/kg销售，一个月能售出500kg，销售单位每涨0.1元，月销售量就减少1kg，针对这种水产品的销售情况，超市在月成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，请你帮忙算算，销售单价定为多少？例4某汽车专卖店经销某种型号的汽车．已知该型号汽车的进价为15万元/辆，经销一段时间后发现：当该型号汽车售价定为25万元/辆时，平均每周售出8辆；售价每降低1万元，平均每周多售出2辆．（1）当售价为22万元/辆时，平均每周的销售利润为_______万元；（2）若该店计划平均每周的销售利润是90万元，为了尽快减少库存，求每辆汽车的售价．例5（2019秋•阜阳期末）商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调査发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．（1）若某天该商品每件降价3元，当天可获利多少元？（2）设每件商品降价x元，则商场日销售量增加______件，每件商品，盈利______元（用含x的代数式表示）；（3）在上述销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2000元？四、课堂作业1．洪城小超市以每千克42元的价格购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售．为了让顾客得到更多实惠，现决定降价销售．已知这种干果销售量y（千克）与每千克降价x（元）（0＜x＜18）之间满足一次函数关系，其图象如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）若洪城小超市要获利1920元，则这种干果每千克应降价多少元？2．平遥牛肉久负盛名．据史料记载，清代时已誉满三晋．其制作工艺独特，用料讲究，所产牛肉营养丰富，具有扶胃健脾之功效．某特产店以每千克110元的价格购进一批平遥牛肉，当按每千克140元的价格出售时，平均每天可销售30千克．“十一”期间，为了尽可能扩大销售量，商家决定降价销售．经调查发现，每千克降价1元，每天可多卖2千克．若该经销商想要每天获利1000元，则每千克应降价多少元？3．小明家在安徽某市经营了甲，乙两个连锁超市，这两个连锁超市4月份的销售额均为m万元，在5月份和6月份这两个月中，甲超市的销售额平均每月增长x%，而乙超市的销售额平均每月减少x%．（1）6月份甲超市的销售额比乙超市的销售额多万元（用含m，x的式子表示）；（2）若m＝10，且6月份甲超市的销售额比乙超市多0.8万元，求x的值．五、课后作业1．近日，海南省三亚市某饭店海鲜欺客宰客事件引起社会广泛关注，三亚市政府高度重视，每天公布海鲜排档鲜活海鲜的调控价格，对市场进行有效监管，杜绝此类事件再次发生．某海鲜排档购进一批大龙虾和海胆，它们的进货单价之和是360元．大龙虾零售单价比进货单价多40元，海胆零售单价比进货单价的1.5倍少60元，按零售单价购买大龙虾2只和海胆4个，共需要1200元．（1）求大龙虾和海胆的进货单价；（2）该海鲜排档平均每天卖出大龙虾20只和海胆12个．经调查发现，大龙虾零售单价每降低1元，平均每天就可多售出大龙虾2只，海鲜排档决定把大龙虾的零售单价下降a（a＞0）元，海胆的零售单价和销量都不变，在不考虑其他因素的条件下，当a为多少时，海鲜排档每天销售大龙虾和海胆获取的总利润为1490元？2．美丽的鲜花为人们传递着各种各样的情感：桔梗象征着永恒；水仙象征着尊敬；康乃馨象征着母亲的爱；风铃草象征着知恩图报…3月里，花店里的桔梗、风铃草两种鲜花共销售了1000朵，其中风铃草和桔梗的销量之比为3：2，且风铃草的单价是桔梗单价的．（1）若3月份两种鲜花的总销售额不低于3600元，则桔梗的单价至少为多少元？（2）根据往年的经验，4月份的桔梗更美，它的进价也会有所提升，因此商家决定将桔梗的单价在（1）中的最少单价的基础上提高m%，预计桔梗的销量将比3月份提高4m%，则4月份枯梗的销售额将比（1）中总销售额最低时风铃草的销售额多192元，求m的值．3．某品牌同时在A，B两个直播平台进行推广．去年在A，B两个平台各签约了5位主播，B平台每位主播的平均销售额比A平台每位主播的平均销售额多10万元，A，B两个平台的总销售额为300万元．（1）请求出A，B两个平台去年每位主播的平均销售额是多少？（2）今年，品牌方加大了推广力度，在A平台签约了12位主播，B平台签约了3a位主播，预计A平台每位主播的平均销售额将在去年的基础上增加a%，B平台每位主播的平均销售额将在去年的基础上增加2a万元．今年两个平台的总销售额将在去年的基础上增加48a%．求a的值．第九节其他问题一、知识点归纳1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).二、课前预习1．在一幅长50cm，宽40cm的矩形风景画的四周镶一条外框，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是3000cm2，设边框的宽为xcm，那么x满足的方程是（）A．（50﹣2x）（40﹣2x）＝3000 B．（50+2x）（40+2x）＝3000 C．（50﹣x）（40﹣x）＝3000 D．（50+x）（40+x）＝30002．如图，学校课外生物小组的试验园地是长20米，宽15米的长方形．为了便于管理，现要在中间开辟一横两纵等宽的小道（如图），要使种植面积为252平方米，则小道的宽为（）A．5米 B．1米 C．2米 D．3米3．（2020秋•官渡区期末）《生物多样性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为32m，宽为20m的矩形场地ABCD（如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与AB平行、另一条与AD平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为95m2，求道路的宽度、若设道路的宽度为xm，则x满足的方程为（）A．（32﹣x）（20﹣x）＝95 B．（32﹣2x）（20﹣x）＝95 C．（32﹣x）（20﹣x）＝95×6 D．（32﹣2x）（20﹣x）＝95×6三、典型例题例1学校打算用长16米的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园的一面靠在长为8米的墙上（如图）．（1）若生物园的面积为30平方米，求生物园的长和宽．（2）能否围成面积为35平方米的生物园？若能，求出长和宽；若不能，请说明理由．例2某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035 C．x（x+1）＝1035 D．x（x﹣1）＝1035例3（2019秋•大渡口区期末）为了宣传垃圾分类，童威写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．12例4如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5cm，BC＝7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发那么几秒后，PQ的长度等于cm？（2）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？请说明理由．四、课堂作业1．在“文博会”期间，某公司展销如图所示的长方形工艺品，该工艺品长60cm，宽40cm．中间镶有宽度相同的三条丝绸花边．若丝绸花边的面积为650cm2，设丝绸花边的宽为xcm，根据题意，可列方程为（）A．（60﹣2x）•（40﹣x）＝650 B．（60﹣x）•（40﹣2x）＝650 C．2x•40+2x•x＝650 D．2x•40+x•（60﹣2x）＝6502．如图，在长为32米、宽为20米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，设道路的宽x米，则可列方程为（）A．32×20﹣32x﹣20x＝540 B．（32﹣x）（20﹣x）+x2＝540 C．32x+20x＝54