第五章反比例函数精讲精练

第五章反比例函数精讲精练第一节反比例函数的定义一、知识点归纳一、反比例函数的定义：函数（为常数，）叫做反比例函数，其中叫做比例系数，是自变量，是函数，自变量的取值范围是不等于0的一切实数．二、课前预习1．下列函数中，y是x的反比例函数的是（）A．y＝x2+1 B．y＝2x﹣1 C．y＝﹣ D．＝4【解答】解：A是二次函数；B是一次函数；C是反比例函数；D化简后为：y＝4x（x≠0）；故选：C．2．下列函数：①y＝x﹣2，②y＝，③y＝x﹣1，④y＝x2+3x+4，y是x的反比例函数的个数有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：①是一次函数，不是反比例函数；②是正比例函数，不是反比例函数；③是反比例函数；④是二次函数，不是反比例函数；共1个，故选：A．3．下列函数中，是反比例函数的是（）A．y＝﹣ B．y＝﹣ C．y＝﹣2x2 D．y＝﹣2x+1【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、是反比例函数，故此选项符合题意；C、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、是一次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；故选：B．4．下列函数中y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣7x2 D．y＝【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、是反比例函数，故此选项符合题意；C、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不符合题意；D、不是反比例函数，故此选项不合题意；故选：B．5．下列函数中，表示y是x的反比例函数的是（）A．y＝2x B．y＝x2 C．y＝ D．y＝【解答】解：A、是正比例函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、是二次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；C、是反比例函数，故此选项符合题意；D、不是反比例函数，故此选项不合题意；故选：C．三、典型例题例1下列函数是y关于x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣【分析】直接利用反比例函数的定义分别判断得出答案．【解答】解：A、y＝是y与x+1成反比例，故此选项不合题意；B、y＝，是y与x2成反比例，不符合反比例函数的定义，故此选项不合题意；C、y＝﹣，符合反比例函数的定义，故此选项符合题意；D、y＝﹣是正比例函数，故此选项不合题意．故选：C．例2、下列说法中，两个量成反比例关系的是（）A．商一定，被除数与除数 B．比例尺一定，图上距离与实际距离 C．圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高 D．圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高【解答】解：A、＝商一定，故两个量成正比例函数，故此选项不合题意；B、，不成反比例函数，故此选项不合题意；C、圆锥的体积＝圆锥的底面积×高，圆锥的体积一定，圆锥的底面积和高成反比例关系，故此选项合题意；D、＝圆柱的底面积一定，圆柱的体积和高成正比例关系，故此选项不符合题意；故选：C．例3、下列函数中，属于反比例函数的是（）A．y＝﹣2x B．y＝kx﹣1 C．y＝ D．y＝【分析】根据反比例函数的定义逐一判断可得答案．【解答】解：A．y＝﹣2x是正比例函数，不符合题意；B．y＝kx﹣1只有当k≠0时才符合反比例函数定义，不符合题意；C．y＝﹣是反比例函数，符合题意；D．y＝不是反比例函数，不符合题意；故选：C．例4、下列各式中x，y均不为0，x和y成反比例关系的是（）A．y＝6x B． C．x+y＝53 D．【分析】根据反比例函数的定义可以判定．【解答】解：根据反比例函数的定义可知x＝是反比例函数，故选：B．例5、下列函数中y是x的反比例函数的是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝【分析】根据反比例函数的定义，可得答案．【解答】解：A、y＝是正比例函数，故A错误；B、y＝不符合反比例函数的定义，故B错误；C、y＝是反比例函数，故C正确；D、y＝不符合反比例函数的定义，故D错误；故选：C．例6、已知y＝2x2m是反比例函数，则m的值是（）A．m＝ B．m＝﹣ C．m≠0 D．一切实数【分析】根据反比例函数的一般式是（k≠0）或y＝kx﹣1（k≠），即可求解．【解答】解：y＝2x2m是反比例函数，则2m＝﹣1，所以．故选：B．四、课堂作业1．一个边长为2厘米的正方形，如果它的边长增加x（x＞0）厘米，则面积随之增加y平方厘米，那么y与x之间满足的函数关系是（）A．正比例函数 B．反比例函数 C．一次函数 D．二次函数【解答】解：根据题意得：y＝（x+2）2﹣22＝x2+4x，即y与x之间满足的函数关系是二次函数，故选：D．2．下面每个选项中的两种量成反比例的是（）A．A和B互为倒数 B．圆柱的高一定，体积和底面积 C．被减数一定，减数和差 D．除数一定，商和被除数【解答】解：A．因为A和B互为倒数，所以A×B＝1，符合题意；B．圆柱的体积÷底面积＝高，不是乘积，不符合题意；C．减数+差＝被减数，不是乘积，不符合题意；D．被除数÷商＝除数，不是乘积，不符合题意．故选：A．3．下列函数，y是x的反比例函数的是（）A．y＝8x+7 B．y＝x2 C．y＝ D．20y＝x【解答】解：A、y＝8x+7是一次函数，不是反比例函数，故此选项不合题意；B、y＝x2是二次函数，故此选项符合题意；C、y＝是反比例函数，故此选项符合题意；D、20y＝x，是x关于y的正比例函数，故此选项不合题意；故选：C．五、课后作业1．已知函数y＝（k2+k）x是反比例函数，则k的值为．【解答】解：由题意得：k2﹣k﹣1＝﹣1，且k2+k≠0，解得：k＝1，故答案为：1．2．函数y＝（m+1）x是y关于x的反比例函数，则m＝．解：∵函数y＝（m+1）是y关于x的反比例函数，∴m2﹣2m﹣4＝﹣1且m+1≠0，解得m＝3．故答案是：3．3．已知y与x成反比例，且当x＝﹣3时，y＝4，则当x＝6时，y的值为．【解答】解：设反比例函数为y＝，当x＝﹣3，y＝4时，4＝，解得k＝﹣12．反比例函数为y＝．当x＝6时，y＝＝﹣2，故答案为：﹣2．4．如果函数y＝x2m﹣1为反比例函数，则m的值是．【解答】解：∵y＝x2m﹣1是反比例函数，∴2m﹣1＝﹣1，解之得：m＝0．故答案为0．第二节反比例函数的图象与性质一、知识点归纳一、反比例函数的图象：反比例函数（为常数，）的图象由两条曲线组成，每条曲线随着的不断增大（或减小）越来越接近坐标轴，反比例函数的图象属于双曲线．反比例函数与（）的图象关于轴对称，也关于轴对称．二、反比例函数的性质：反比例函数（为常数，）的图象是双曲线；①当时，函数图象的两个分支分别位于第一、三象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而减小；②当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限内，它们关于原点对称，在每一个象限内，随的增大而增大．注意：⑴反比例函数（）的取值范围是．因此，①图象是断开的两条曲线，画图象时，不要把两个分支连接起来．②叙述反比例函数的性质时，一定要加上“在每一个象限内”，如当时，双曲线的两支分别在一、三象限，在每一个象限内，随的增大而减小．这是由于，即或的缘故．如果笼统地叙述为时，随的增大而增大就是错误的．⑵由于反比例函数中自变量和函数的值都不能为零，所以图象和轴、轴都没有交点，但画图时要体现出图象和坐标轴无限贴近的趋势．⑶在画出的图象上要注明函数的解析式．二、课前预习1．关于反比例函数y＝﹣的图象，下列说法正确的是（）A．y随着x的增大而增大 B．图象分布在一、三象限 C．当x＞﹣2时，y＞3 D．若（﹣a，b）在该图象上，则（a，﹣b）也在该图象上【解答】解：∵y＝﹣中，k＝﹣6＜0，∴（1）在每个象限内，y随x的增大而增大，故A错误，（2）图象分布在二、四象限，故B错误，（3）当﹣2＜x＜0时，y＞3；当x＞0时，y＜0，故C错误，（4）图象关于原点对称，故若（﹣a，b）在该图象上，则（a，﹣b）也在该图象上，故D正确，故选：D．2．若反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x的增大而增大，则（）A．k＜2 B．k＞2 C．k＞0 D．k＜0【解答】解：∵反比例函数y＝在每个象限内的函数值y随x增大而增大，∴k﹣2＜0，解得k＜2．故选：A．3．若双曲线y＝图象的一个分支位于第四象限，则k的取值范围是（）A．k＜﹣1 B．k＜1 C．k＜0 D．k≤0【解答】解：∵双曲线y＝的图象的一支位于第四象限，∴k+1＜0，解得k＜﹣1．故选：A．4．下列函数中，函数值y随自变量x的值增大而减小的是（）A．y＝ B．y＝﹣ C．y＝2x D．y＝﹣2x【解答】解：A、函数y＝，在x＞0时y随自变量x的值增大而减小，或x＜0时y随自变量x的值增大而减小，故A不符合题意，B、函数y＝﹣，在x＞0时y随自变量x的值增大而增大，或x＜0时y随自变量x的值增大而增大，故B不符合题意，C、函数y＝2x，y随自变量x的值增大而增大，故C不符合题意，D、函数y＝﹣2x，y随自变量x的值增大而减小，故D符合题意，故选：D．三、典型例题例1、如果反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，那么a的值可以是（）A．﹣3 B．2 C．0 D．﹣1【分析】根据反比例函数的图象所处的位置确定a的符号，然后确定a的值即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分布在第一、三象限，∴a＞0，∴只有2符合，故选：B．例2、已知反比例函数，在下列结论中，不正确的是（）A．图象必经过点（4，） B．图象过第一、三象限 C．若x＜﹣1，则y＞﹣6 D．点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上的两点，x1＜0＜x2，则y1＞y2【分析】根据反比例函数的性质，利用排除法求解．【解答】解：A、x＝4，y＝＝，∴图象经过点（4，），正确，不符合题意；B、∵k＝6＞0；，∴图象在第一、三象限，正确，不符合题意；C、当x＝﹣1时，y＝﹣6，∵图象在第一象限内y随x的增大而减小，∴当x＜﹣1时y＞﹣6，正确，不符合题意；D、∵k＝1＞0，∴图象在一、三象限内，∴x1＜0＜x2，则y1＜y2，故原命题错误，符合题意，故选：D．例3、已知点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，则（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m、n的大小无法确定【分析】根据a、b与0的大小关系利用反比例函数的性质确定答案即可．【解答】解：∵反比例函数y＝﹣中k＝﹣2＜0，∴在每一象限内y随着x的增大而增大，∵点（a，m），（b，n）在反比例函数y＝﹣的图象上，且a＞b，∴当a＞b＞0时，m＞n＞0，当0＞a＞b时，m＞n＞0，当a＞0＞b时，m＜0＜n，∴m、n的大小无法确定，故选：D．例4、已知反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，则k的取值范围是（）A．k＞5 B．k＜5 C．k＞﹣5 D．k＜﹣5【分析】根据反比例函数的性质可得k﹣5＞0，再解不等式即可．【解答】解：∵反比例函数y＝的图象分别位于一、三象限，∴k﹣5＞0，解得，k＞5．故选：A．例5、关于反比例函数y＝，下列说法不正确的是（）A．点（﹣2，﹣1）在它的图象上 B．它的图象在第一、三象限 C．它的图象关于原点中心对称 D．y的值随着x的值的增大而减小【分析】根据反比例函数y＝和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：∵反比例函数y＝，∴当x＝﹣2时，y＝﹣1，即点（﹣2，﹣1）在它的图象上，故选项A正确；它的图象在第一、三象限，故选项B正确；它的图象关于原点中心对称，故选项C正确；在每个象限内，y的值随着x的值的增大而减小，故选项D不正确；故选：D．例6、已知反比例函数y＝（k≠0）的图象位于二、四象限，则一次函数y＝x+k图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据正比例函数图象所经过的象限判定k＜0，由此可以推知一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．【解答】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象在第二、四象限，∴k＜0，∴一次函数y＝x+k的图象与y轴交于负半轴，且经过第一、三象限．观察选项，只有B选项正确．故选：B．四、课堂作业1.若ab＜0，则函数y＝ax与在同一平面直角系中的大致图象是（）A． B． C． D．【解答】解：∵ab＜0，∴分两种情况：（1）当a＞0，b＜0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无选项符合．（2）当a＜0，b＞0时，正比例函数y＝ax的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，故B选项正确；故选：B．2.点A（x1，y1），B（x2，y2）都在反比例函数y＝的图象上，且x1＜x2＜0，则y1，y2的大小关系是（）A．y2＞y1＞0 B．y1＞y2＞0 C．0＞y2＞y1 D．0＞y1＞y2【解答】解：∵反比例函数y＝中k＝﹣3＜0，∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大．∵x1＜x2＜0，∴A、B都在第二象限，∴y2＞y1＞0．故选：A．3.已知反比例函数y＝﹣，下列结论不正确的是（）A．图象必经过点（﹣1，8） B．y随x的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．当x＞1时，﹣8＜y＜0【解答】解：A、图象必经过点（﹣1，8），说法正确，不符合题意；B、k＝﹣8＜0，每个象限内，y随x的增大而增大，说法不正确，符合题意；C、k＝﹣8＜0，图象在第二、四象限内，说法正确，不符合题意；D、若x＞1，则﹣8＜y＜0，说法正确，不符合题意；故选：B．4．关于函数y＝，下列判断正确的是（）A．点（1，﹣1）在该函数的图象上 B．该函数的图象在第二、四象限 C．若点（﹣2，y1）和（1，y2）在该函数图象上，则y2＜y1 D．若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上【解答】解：A、由于1×（﹣1）＝﹣1≠k，所以点（1，﹣1）不在该函数的图象上，故本选项不符合题意；B、该函数的图象在第一、三象限，故本选项不符合题意；C、点（﹣2，y1）在第三象限，点（1，y2）在第一象限，则y1＜0，y2＞0，所以y2＞y1，故本选项不符合题意；D、若点（a，b）在该函数的图象上，则点（b，a）也在该函数的图象上，故本选项符合题意；故选：D．五、课后作业1．在同一直角坐标系中，函数y＝kx﹣k与y＝（k≠0）的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：①当k＞0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、三、四象限，反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过一、三象限，没有符合条件的选项，②当k＜0时，一次函数y＝kx﹣k经过一、二、四象限，反比例函数的y＝（k≠0）的图象经过二、四象限，故D选项的图象符合要求．故选：D．2．一次函数y＝ax+a与反比例函数y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当a＞0时，一次函数y＝ax+a，经过一二三象限，反比例函数图象位于二、四象限，当a＜0时，一次函数y＝ax+a，经过二、三、四象限，反比例函数图象位于一、三象限．故选：A．3．函数y＝和y＝﹣kx+k（k≠0）在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（）A． B． C． D．【解答】解：当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，一次函数的图象交y轴于正半轴，y随着x的增大而减小，B选项符合，A、C选项错误；当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，一次函数的图象交y轴于负半轴，y随着x的增大而增大，D错误；故选：B．4．反比例函数y＝与y＝﹣kx+1（k≠0）在同一坐标系的图象可能为（）A． B． C． D．【解答】解：A、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＞0，即k＜0，故本选项错误；B、由反比例函数的图象可知，k＞0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项正确；C、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈上升趋势且交与y轴的负半轴（不合题意），故本选项错误；D、由反比例函数的图象可知，k＜0，一次函数图象呈下降趋势且交与y轴的正半轴，﹣k＜0，即k＞0，故本选项错误．故选：B．5．一次函数y＝ax﹣2和反比例函数y＝的图象在同一坐标系中的位置如图所示，下列结论正确的是（）A．a＞0，b＞0 B．a＞0，b＜0 C．a＜0，b＜0 D．a＜0，b＞0【解答】解：如图，∵一次函数y＝ax﹣2和反比例函数y＝的图象都过一、三象限，∴a＞0，b＞0．故选：A．6．抛物线y＝ax2﹣1与双曲线y＝（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：由抛物线y＝ax2﹣1可知，抛物线与y轴的正半轴相交，故A、C不合题意，B、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第一、三象限可知a＞0，两结论相矛盾，故B选项不合题意；D、由抛物线开口向下可知a＜0，由双曲线在第二、四象限可知a＜0，两结论一致，故D选项符合题意．故选：D．第三节k的几何意义一、知识点归纳一、反比例函数的几何意义1.反比例函数的几何意义：如图，在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为。如图二，所围成三角形的面积为2.如图，四条双曲线、、、对应的函数解析式分别为：、、、，那么、、、的大小顺序为二、课前预习1．若图中反比例函数的表达式均为，则阴影面积为4的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：图1中，阴影面积为4；图2中，阴影面积为×4＝2；图3中，阴影面积为2××4＝4；图4中，阴影面积为4××4＝8；则阴影面积为4的有2个．故选：B．2．如图，点P在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，PA⊥x轴于点A，△PAO的面积为2，则k的值为（）A．1 B．2 C．4 D．6【解答】解：依据比例系数k的几何意义可得，△PAO的面积＝|k|，即|k|＝2，解得，k＝±4，由于函数图象位于第一、三象限，故k＝4，故选：C．3．反比例函数如图所示，则矩形OAPB的面积是．【解答】解：设P点的坐标为（x，y），∵P在反比例函数的图象上，∴xy＝﹣4，即PB×PA＝4，∴矩形OAPB的面积是4，故答案为：4．4.如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S▱ABCD为5．【解答】解：设点A的纵坐标为b，所以，＝b，解得xA＝，∵AB∥x轴，∴点B的纵坐标为﹣＝b，解得xB＝﹣，∴AB＝﹣（﹣）＝，∴S▱ABCD＝•b＝5．故答案为：5．三、典型例题例1、如图，点P为反比例函数y＝上的一动点，作PD⊥x轴于点D，△POD的面积为k，则函数y＝kx﹣1的图象为（）A． B． C． D．【分析】先根据反比例函数系数k的几何意义，求出k的值等于1，然后求出一次函数的解析式，再确定一次函数的图象经过点（0，﹣1）（1，0），即可确定选项．【解答】解：设P点坐标为（x，y），∵P点在第一象限且在函数y＝的图象上，∴xy＝2，∴S△OPD＝xy＝×2＝1，即k＝1．∴一次函数y＝kx﹣1的解析式为：y＝x﹣1，∴一次函数的图象经过点（0，﹣1），（1，0）的直线．故选：A．例2、反比例函数图象的一支如图所示，△POM的面积为2，则该函数的解析式是（）A．y＝ B．y＝ C．y＝﹣ D．y＝﹣【分析】根据反比例函数系数k的几何意义，由△POM的面积为2，可知|k|＝2，再结合图象所在的象限，确定k的值，则函数的解析式即可求出．【解答】解：∵△POM的面积为2，∴S＝|k|＝2，∴k＝±4，又∵图象在第四象限，∴k＜0，∴k＝﹣4，∴反比例函数的解析式为：y＝﹣．故选：D．例3、如图，点A（m，1），B（2，n）在双曲线y＝（k≠0），连接OA，OB．若S△ABO＝8，则k的值是（）A．﹣12 B．﹣8 C．﹣6 D．﹣4【分析】过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，依据S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即可得到k的值．【解答】解：过A作y轴的垂线，过B作x轴的垂线，交于点C，连接OC，设A（k，1），B（2，k），则AC＝2﹣k，BC＝1﹣k，∵S△ABO＝8，∴S△ABC﹣S△ACO﹣S△BOC＝8，即（2﹣k）（1﹣k）﹣（2﹣k）×1﹣（1﹣k）×2＝8，解得k＝±6，∵k＜0，∴k＝﹣6，故选：C．例4如图，点A是反比例函数y＝的图象上的一点，过点A作AB⊥x轴，垂足为B．点C为y轴上的一点，连接AC，BC．若△ABC的面积为4，则k的值是（）A．4 B．﹣4 C．8 D．﹣8【分析】连结OA，如图，利用三角形面积公式得到S△OAB＝S△ABC＝4，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到|k|＝4，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值．【解答】解：连结OA，如图，∵AB⊥x轴，∴OC∥AB，∴S△OAB＝S△ABC＝4，而S△OAB＝|k|，∴|k|＝4，∵k＜0，∴k＝﹣8．故选：D．例5、如图，函数y＝和y＝﹣的图象分别是C1和C2．点P在C1上，PC⊥x轴，垂足为点C，与C2相交于点A，PD⊥y轴，垂足为点D，与C2相交于点B，则△PAB的面积为________．【分析】设P的坐标是（a，），推出A的坐标和B的坐标，求出∠APB＝90°，求出PA、PB的值，根据三角形的面积公式求出即可．【解答】解：设P的坐标（a，），则A（a，），B（﹣3a，），∴BP＝4a，AP＝，△PAB的面积＝AP•BP＝××4a＝8．故答案为8．例6、如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的负半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象上，正方形ADEF的面积为4，且BF＝2AF，则k值为________．【分析】先由正方形ADEF的面积为4，得出边长为2，BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．再设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），根据点B、E在反比例函数y＝的图象上，利用根据反比例函数图象上点的坐标特征得k＝6t＝2（t﹣2），即可求出k＝﹣6．【解答】解：∵正方形ADEF的面积为4，∴正方形ADEF的边长为2，∴BF＝2AF＝4，AB＝AF+BF＝2+4＝6．设B点坐标为（t，6），则E点坐标（t﹣2，2），∵点B、E在反比例函数y＝的图象上，∴k＝6t＝2（t﹣2），解得t＝﹣1，k＝﹣6．故答案为﹣6．四、课堂作业1．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0），若矩形ABCD的面积为10，则k的值为（）A．10 B．4 C．3 D．5【解答】设A（），∴AB＝，∵矩形的面积为10，∴BC＝，∴矩形ABCD对称中心的坐标为：矩形对称中心的坐标为：（），即（）∵对称中心在的图象上，∴，∴mk﹣5m＝0，∴m（k﹣5）＝0，∴m＝0（不符合题意，舍去）或k＝5，故选：D．2．如图，两个反比例函数y＝和y＝在第一象限内的图象分别是C1和C2，设点P在C1上，PA⊥x轴于点A，交C2于点B，则△POB的面积为（）A．1 B．2 C．4 D．无法计算【解答】解：∵PA⊥x轴于点A，交C2于点B，∴S△POA＝×4＝2，S△BOA＝×2＝1，∴S△POB＝2﹣1＝1．故选：A．3．在平面直角坐标系xOy中，A为双曲线上一点，点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，则点A的坐标为（）A．（﹣4，） B．（4，） C．（﹣2，3）或（2，﹣3） D．（﹣3，2）或（3，﹣2）【解答】解：设点A的坐标为（﹣，a），∵点B的坐标为（4，0）．若△AOB的面积为6，∴S△AOB＝4×|a|＝6，解得：a＝±3，∴点A的坐标为（﹣2，3）（2．﹣3）．故选：C．4．如图，在y＝（x＞0）的图象上有三点A，B，C，过这三点分别向x轴引垂线，交x轴于A1，B1，C1三点，连OA，OB，OC，设△OAA1，△OBB1，△OCC1的面积分别为S1，S2，S3，则有（）A．S1＝S2＝S3 B．S1＜S2＜S3 C．S3＜S1＜S2 D．S1＞S2＞S3【解答】解：因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即S＝|k|，所以S1＝S2＝S3．故选：A．五、课后作业1．平面直角坐标系中，矩形OABC如图放置，y＝（k＞0，x＞0）的图象与矩形的边AB、BC分别交于E、F两点，下列命题：①若E、F重合，则S矩形OABC＝k；②若E、F不重合，则线段EF与矩形对角线AC平行；③若E为AB的中点，则S矩形OABC＝2k，其中真命题的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：设B（a，b），①若E、F重合，则y＝（k＞0，x＞0）的图象过点B，根据反比例函数的比例系数的几何意义知，S矩形OABC＝k，故①是真命题；②若E、F不重合，∵B（a，b），∴E（，b），F（a，），∴BE＝a﹣，BF＝b﹣，AB＝a，BC＝b，∴，∵∠B＝∠B，∴△BEF∽△BAC，∴∠BFE＝∠BCA，∴EF∥AC，故②是真命题；③若E为AB的中点，则E（a，b），∴，∴ab＝2k，∴S矩形OABC＝AB•BC＝ab＝2k，故③是真命题．故选：D．2.如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（）A．2 B． C．1 D．4【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵矩形OABC的边AB的中点为F，∴F点的坐标为（a，），∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a•，∴ab＝2k，∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，∴ab＝2+k+k，∴2k＝k+2，∴k＝2．故选：A．3.如图，曲线C2是双曲线C1：y＝（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y＝x上，且PA＝PO，则△POA的面积为6．【解答】解：如图，将C2及直线y＝x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y＝﹣，过点P作PB⊥y轴于点B，∵PA＝PO，∴B为OA中点．∴S△PAB＝S△POB，由反比例函数比例系数k的性质，S△POB＝3，∴△POA的面积是6故答案为6．4.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，连接OA，OB，则△OAC与△OBD的面积之和为2．【解答】解：∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A，B，AC⊥x轴于点C，BD⊥y轴于点D，∴S△OAC＝S△OBD＝×2＝1，∴S△OAC+S△OBD＝1+1＝2．故答案为2．第四节反比例函数的实际应用一、课前预习1．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P（单位：kPa）是气体体积V（单位：m3）的反比例函数，其图象如图所示．当气球内的气压大于144kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应（）A．不大于m3 B．不小于m3 C．不大于m3 D．不小于m3【解答】解：设球内气体的气压P（kPa）和气体体积V（m3）的关系式为P＝∵图象过点（1.5，64）∴k＝96，即P＝在第一象限内，P随V的增大而减小，∴当P≤144时，V≥＝．故选：B．2．在温度不变的条件下，气体的压强和气体体积对应数值如下表，则可以反映y与x之间的关系的式子是（）体积x（mL）10080604020压强y（kPa）6075100150300A．y＝6000x B．y＝3000x C．y＝ D．y＝【解答】解：由表格数据可得：此函数是反比例函数，设解析式为：y＝，则xy＝k＝100×60＝6000，所以y与x之间的关系的式子是y＝，故选：C．3．小明学习了物理中的杠杆平衡原理发现：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．现已知某一杠杆的阻力和阻力臂分别为2400N和1m，则动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，已知阻力和阻力臂分别是2400N和1m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：2400×1＝Fl，则F＝，是反比例函数，A选项符合，故选：A．4．已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（）A．0＜x≤10 B．10≤x≤24 C．0＜x≤20 D．20≤x≤24【解答】解：由题意可设，∵图象过点（20，1000），∴k＝20000．∴．∴当y＝2000时，x＝10．观察图象可得：∴当y≥2000时，0＜x≤10．故选：A．二、典型例题例1（2020•温州一模）一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，则当电阻R为4Ω时，电流I为（）A．6A B．A C．1A D．A【分析】根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式，然后代入R＝4Ω求得电流I即可．【解答】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I＝，∵反比例函数图象过（2，3），∴k＝3×2＝6，∴I＝，当R＝4Ω时，I＝＝，故选：B．例2、公元前3世纪，古希腊科学家阿基米德发现了杠杆平衡，后来人们把它归纳为“杠杆原理”，即：阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，则动力F（单位：N）关于动力臂L（单位：m）的函数解析式正确的是（）A．F＝ B．F＝ C．F＝ D．F＝【分析】直接利用阻力×阻力臂＝动力×动力臂，进而将已知量据代入得出函数关系式．【解答】解：∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂．小伟欲用撬棍撬动一块石头，已知阻力和阻力臂分别是1500N和0.4m，∴动力F（单位：N）关于动力臂l（单位：m）的函数解析式为：1500×0.4＝FL，则F＝，故选：C．例3、当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（）A． B． C． D．【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断．【解答】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数．故选：C．例4、一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝【分析】先求得路程，再由等量关系“速度＝路程÷时间”列出关系式即可．【解答】解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．故选：A．例5、一定质量的二氧化碳，其体积V（m3）是密度ρ（kg/m3）的反比例函数，请你根据图中的已知条件，写出反比例函数的关系式，当V＝1.9m3时，ρ＝____________．【分析】由图象可得k＝9.5，进而得出V＝1.9m3时，ρ的值．【解答】解：设函数关系式为：V＝，由图象可得：V＝5，ρ＝1.9，代入得：k＝5×1.9＝9.5，故V＝，当V＝1.9时，ρ＝5kg/m3．故答案为：5kg/m3．例6、某气球内充满了一定量的气体，当温度不变时，气球内气体的压强P（kPa）是气体体积V（m3）的反比例函数，其图象如图所示．（1）求这个反比例函数的表达式；（2）当气球内的体积为气体1.6m3时，求气体压强P的值；（3）当气球内的气体压强大于150kPa时，气球将爆炸，为了安全起见，气体的体积不小于多少？【分析】（1）设出反比例函数解析式，把A坐标代入可得函数解析式；（2）把v＝1代入（1）得到的函数解析式，可得p；（3）把P＝200代入得到V即可．【解答】解：（1）设p＝，由题意知120＝，所以k＝96，故p＝；（2）当v＝1.6m3时，p＝＝60，∴气球内气体的气压是60kPa；（3）当p＝150kPa时，v＝＝0.64．所以为了安全起见，气体的体积应不少于0.64m3．四、课堂作业1．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量y（mg）与时间t（h）成正比例；药物释放完毕后，y与t成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（）A．药物释放过程需要小时 B．药物释放过程中，y与t的函数表达式是y＝t C．空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h D．若当空气中含药量降低到0.25mg/m3以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室【解答】解：设正比例函数解析式是y＝kt，反比例函数解析式是y＝，把点（3，）分别代入反比例函数解析式得：＝，解得：m＝，∴反比例函数解析式是y＝，当y＝1时，代入上式得t＝，把t＝时，y＝1代入正比例函数解析式是y＝kt得：k＝，∴正比例函数解析式是y＝t，A．由图象知，y＝1时，t＝，即药物释放过程需要小时，故A不符合题意；B．药物释放过程中，y与t的成正比例，函数表达式是y＝t，故B不符合题意；C．把y＝0.5mg/m3分别代入y＝t和y＝得，0.5＝t1和0.5＝，解得：t1＝和t2＝3，∴t2﹣t1＝，∴空气中含药量大于等于0.5mg/m3的时间为h；故C不符合题意；＜0.25，解得t＞6，所以至少需要经过6小时后，学生才能进入教室，故D符合题意，故选：D．2．（2021•云南模拟）已知某品牌显示器的使用寿命为定值．这种显示器可工作的天数y与平均每天工作的小时数x是反比例函数关系，图象如图所示．如果这种显示器至少要用2000天，那么显示器平均每天工作的小时数x应控制在（）A．0＜x≤10 B．10≤x≤24 C．0＜x≤20 D．20≤x≤24【解答】解：由题意可设，∵图象过点（20，1000），∴k＝20000．∴．∴当y＝2000时，x＝10．观察图象可得：∴当y≥2000时，0＜x≤10．故选：A．近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）之间具有如图所示的反比例函数关系，若要配制一副度数小于400度的近视眼镜，则镜片焦距x的取值范围是（）A．0米＜x＜0.25米 B．x＞0.25米 C．0米＜x＜0.2米 D．x＞0.2米【解答】解：根据题意，近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，设y＝，∵点（0.5，200）在此函数的图象上，∴k＝0.5×200＝100，∴y＝（x＞0），∵y＜400，∴＜400，∵x＞0，∴400x＞100，∴x＞0.25，即镜片焦距x的取值范围是x＞0.25米，故选：B．4．如图，曲线表示温度T（℃）与时间t（h）之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度T≤2℃时，时间t应（）A．不小于h B．不大于h C．不小于h D．不大于h【解答】解：设函数解析式为T＝，∵经过点（1，3），∴k＝1×3＝3，∴函数解析式为T＝，当T≤2℃时，t≥h，故选：C．综合应用一．选择题1．若点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y1＜y3＜y2 B．y2＜y3＜y1 C．y3＜y2＜y1 D．y2＜y1＜y3【解答】解：∵点A（﹣1，y1），B（1，y2），C（3，y3）在反比例函数y＝的图象上，∴y1＝﹣3，y2＝3，y3＝1，∴y1＜y3＜y2．故选：A．2．如图，已知反比例函数y＝﹣的图象上有一点P，过P作PA⊥x轴，垂足为A，则△POA的面积是（）A．2 B．1 C．﹣1 D．【解答】解：设点P的坐标为（x，y）．∵P（x，y）在反比例函数y＝﹣的图象上，∴xy＝﹣2，∴△OPM的面积S△POA＝|xy|＝1，故选：B．3．反比例函数y＝经过点（2，﹣1），则下列点一定在其图象上的是（）A．（1，2） B．（4，﹣） C．（3，﹣2） D．（﹣2，﹣1）【解答】解：将点（2，﹣1）代入y＝得，m2+2m﹣7＝2×（﹣1）＝﹣2，可知函数解析式为y＝﹣，则xy＝﹣2，A、1×2＝2≠﹣2，故本选项错误；B、4×（﹣）＝2，故本选项正确；C、3×（﹣2）＝﹣6≠﹣2，故本选项错误；D、﹣2×（﹣1）＝2≠﹣2，故本选项错误；故选：B．4．如图，将边长为10的等边三角形OAB位于平面直角坐标系第一象限中，OA落在x轴正半轴上，C是AB边上的动点（不与端点A、B重合），作CD⊥OB于点D，若点C、D都在双曲线y＝（k＞0，x＞0）上，则k的值为（）A．9 B．18 C．25 D．9【解答】解：过点D作DE