1八年级数学上册第一章勾股定理知识点及练习题（北师大版） - 副本

贾老师数学同步辅导班精讲精练系列课程——初二（上）第一章：勾股定理1．勾股定理1.1.勾股定理：直角三角形的两条直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，即：a2+b2=c2．1.2.应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆a2+b2=c2时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是c2+a2=b2；若a为斜边，则关系式是b2+c2=a2．1.3.如果已知的两边没有明确边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解．【例1】已知直角三角形的两条直角边的长分别为3和4，则第三边长为（）A．5 B． C．或5 D．【练习1】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求AB的长；【练习2】如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，求BC的长；【练习3】在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，求AB²的值2．勾股定理的验证2.1.在西方，勾股定理被称为毕达哥拉斯定理．2.2.对于勾股定理的证明，现在世界上已找出很多种运用图形的割、移、补、拼构造特殊图形，并根据面积之间的关系进行推导的方法，著名的证法有赵爽“勾股圆方图”（“赵爽弦图”）、刘徽（“青朱出入图”）、加菲尔德总统拼图、毕达哥拉斯拼图等．2.3.勾股定理的证明是通过拼图法或割补法完成的，探索时利用面积关系，将“形”的问题转化为“数”的问题．【例2】中国古代数学家们对勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位，体现了数学研究中的继承和发展．现用4个全等的直角三角形拼成如图所示“弦图”．Rt△ABC中，∠ACB=90°，若，．请你利用这个图形解决下列问题：（1）试说明；（2）如果大正方形的面积是10，小正方形的面积是2，求的值．3．勾股数3.1.能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数，即a2+b2=c2中，a，b，c为正整数时，称a，b，c为一组勾股数．3.2.一组数是勾股数必须同时满足两个条件：（1）这三个数都是正整数；（2）两个较小数的平方和等于最大数的平方，这两个条件缺一不可．3.3.常见的勾股数有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15．常见的勾股数需牢记，平时在解决问题时常用，有利于打开思路．3.4.勾股数的求法：如果a为一个大于1的奇数，b，c是两个连续自然数，且有a2=b+c，那么a，b，c为一组勾股数．如3为大于1的奇数，4，5为两个连续自然数，且32=4+5，则3，4，5为一组勾股数，还有：5，12，13；7，24，25；9，40，41；11，60，61；…．【例3】下列各组数是勾股数的是（）A．、、 B．、、 C．、、 D．、、【练习1】判断下列各组数是不是勾股数。（1）3,4,7； （2）5,12,13； （3）3，-4,5； （4）4．勾股定理的应用4.1.勾股定理是直角三角形的一个重要性质，它把直角三角形有一个直角的“形”的特点转化为三边“数”的关系．利用勾股定理，可以解决与直角三角形有关的计算和证明问题，还可以解决生活、生产中的一些实际问题．4.2.利用勾股定理解应用题的关键是寻找直角三角形，若不存在直角三角形，可通过添加辅助线构造出直角三角形．应用题型一、勾股定理与实际生活【例4】一架5m的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯足距离墙角3m，若梯子的顶端向下滑1m，则梯足将滑动（）米。【练习】如图，有一只小鸟在一棵高13m的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m，高8m的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s的速度飞向小树树梢，它最短要飞多远？这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？应用题型二、勾股定理在非直角三角形中的应用【例5】如图，在△ABC中，AB=15cm，AC=13cm，BC=14cm，求△ABC的面积。应用题型三、勾股定理在折叠问题中的应用【例6】如图，有一块直角三角形纸片，直角边AC=6cm，直角边BC=8cm，现将直角边AC沿AD所在直线折叠，使点C落在斜边AB上的点E处，试求CD的长。【练习】如图，长方形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（）应用题型四、判断三角形的形状【例7】若三角形的三边长a，b，c满足（a-b）2=c2-2ab，则这个三角形是（）A、等边三角形 B、钝角三角形 C、等腰三角形 D、直角三角形【练习】已知|x-12|+(y-13)2+z2-10z+25=0，试判断以x，y，z为三边长的三角形的形状。应用题型五、确定立体图形上的最短距离【例8】有一个圆柱形油罐，油罐的底面周长是12m，高AB=5m。如图，要从A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，问：梯子最短需要多长？【练习】如图，长方体的底面相邻两边长分别为1cm，3cm，高为6cm。如果用一根细线从A点开始经过4个侧面缠绕一圈到达B点，那么所用细线最短需要（）cm。基础练习题1．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别是a，b，c．若a=5，b=12，则c的长为A． B．13C．18 D．1692．如果Rt△的两直角边长分别为k2-1，2k（k>1），那么它的斜边长是A．2k B．k+1C．k2-1 D．k2+13．如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少为A．4米 B．8米 C．9米 D．7米4．如图，一棵大树被台风刮断，若树在离地面3m处折断，树顶端落在离树底部4m处，则树折断之前高A．5m B．7m C．8m D．10m5．如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为1和9，则b的面积为A．8 B．9 C．10 D．116．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A．22 B．32 C．62 D．827．如图，某农舍的大门是一个木制的长方形栅栏，它的高为2m，宽为1.5m，现需要在相对的顶点间用一块木板加固，则木板的长为__________．8．若△ABC中，∠C=90°．（1）若a=5，b=12，则c=__________；（2）若a=6，c=10，则b=__________；（3）若a∶b=3∶4，c=10，则a=__________，b=__________．9．一个直角三角形的三边为三个连续偶数，则它的三边长分别为__________．10．如图，在东西走向的铁路上有A，B两站，在A，B的正北方向分别有C，D两个蔬菜基地，其中C到A站的距离为24千米，D到B站的距离为12千米．在铁路AB上有一个蔬菜加工厂E，蔬菜基地C，D到E的距离相等，且AC=BE，则E站距A站__________千米．11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c．（1）若a∶b=3∶4，c=75cm，求a、b；（2）若a∶c=15∶17，b=24，求△ABC的面积；（3）若c-a=4，b=16，求a、c；（4）若∠A=30°，c=24，求c边上的高hc；（5）若a、b、c为连续整数，求a+b+c．12．已知：△ABC中，AD为BC中线，求证：．13．折叠长方形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的F点处，若AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．能力拓展14．如图，一个圆桶，底面直径为16cm，高为18cm，则一只小虫从下底部点A爬到上底B处，则小虫所爬的最短路径长是（π取3）A．50cm B．40cm C．30cm D．20cm15．若直角三角形的三边长分别为、a、，且a、b都是正整数，则三角形其中一边的长可能为A．22 B．32 C．62 D．8216．如图，AC是电线杆的一根拉线，测得BC=6米，∠ACB=60°，则AB的长为A．12米 B．6米 C．6米 D．2米17．如图，，，，，垂足分别为，，，，则__________．18．如图，一只小猫沿着斜立在墙角的木板往上爬，木板底端距离墙角0.7m，当小猫从木板底端爬到顶端时，木板底端向左滑动了1.3m，木板顶端向下滑动了0.9m，则小猫在木板上爬动了__________m．19．古诗赞美荷花“竹色溪下绿，荷花镜里香”，平静的湖面上，一朵荷花亭亭玉立，露出水面10cm，忽见它随风斜倚，花朵恰好浸入水面，仔细观察，发现荷花偏离原地40cm（如图）．请部：水深多少？20．在一棵树的10米高处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。另一只爬到树顶D后直接跃到A处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树高．21．如图，甲乙两船从港口A同时出发，甲船以16海里/时的速度向南偏东50°航行，乙船向北偏东40°航行，3小时后，甲船到达B岛，乙船到达C岛，若C，B两岛相距60海里，问乙船的航速是多少？真题实战22．（2018·山东滨州）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为A．5 B．6 C．7 D．8（2018·湖北襄阳）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为__________．下列各组数是勾股数的是A．3，4，5 B．1.5，2，2.5C．32，42，52 D．，，下列各组数中，不能作为直角三角形三边长的是A．1.5，2，3 B．5，12，13C．7，24，25 D．8，15，17小华和小红都从同一点O出发，小华向北走了9米到A点，小红向东走了12米到了B点，则AB为__________米．参考答案1．B；2．D；3．D；4．C；5．C；6．B；7.2.5m；8.13；8；6；89．6，8，1010．1211.（1）a=45cm，b=60cm；（2）540；（3）a=30，c=34．；（4）；（5）12．12．如图，过A作AE⊥BC于E．由勾股定理得：AB2=BE2+AE2，AC2=AE2+EC2．∵AD为中线，∴BD=DC，∴AB2=（BD+DE）2+AE2，AC2=AE2+（BD-DE）2，∴AB2+AC2=（BD+DE）2+