2.1平方根知识点总结典型例题归纳同步练习题

平方根知识点总结及同步练习题1．算术平方根（1）定义：一般地，如果一个正数x的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x叫做a的__________．（2）表示方法：a的算术平方根记为__________，读作“根号a”，a叫被开方数．（3）算术平方根的性质：①正数a的算术平方根为；②0的算术平方根是0，即=__________；③负数__________算术平方根．④算术平方根具有双重非负性：被开方数a是非负数，即a≥0；算术平方根本身是非负数，即≥0．典型题型：若求一个算式的算术平方根，一般是先求出算式的值，再求出它的算术平方根，有时也可通过简单的变形化成一个正数的平方的形式，从而提高运算的速度和准确率．【例1】9的算术平方根是A． B．-3 C．±3 D．3【答案】D【解析】∵32=9，∴9的算数平方根是3，故选D．【例2】（-2）2的算术平方根是A．2 B．±2 C．-2 D．【答案】A【解析】∵（-2）2=4，4的算术平方根是2，∴（-2）2的算术平方根是2，故选A．2．平方根（1）平方根的概念：一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2=a，那么这个数x叫做a的__________或二次方根．【注意】在这里，a是x的平方数，它的值是正数或零，因为任何数的平方都不可能是负数，即a≥0．（2）平方根的性质：①一个正数a有__________个平方根，其中一个是“”，另一个为“-”，它们互为相反数；②0的平方根是0；③负数没有平方根．（3）开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做__________．（4）利用平方根的定义解方程：将各式转化为等号的左边是含x的一个式子的平方式，右边是一个非负数的形式，如x2=m或（ax+b）2=m（m≥0），然后利用平方根的定义得到x=±或ax+b=±，进而得到原方程的解．【例3】25的平方根是A．5 B．-5 C．± D．±5【答案】D【解析】∵（±5）2=25，∴25的平方根为±5，故选D．【例4】设a-3是一个数的算术平方根，那么A．a≥0 B．a>0 C．a>3 D．a≥3【答案】D【解析】∵是一个数的算术平方根，∴，解得，故选D．【例5】下列说法正确的是①–是2的一个平方根；②–4的算术平方根是2；③的平方根是±2；④0没有平方根A．①②③ B．①④ C．①③ D．②③④【答案】C【解析】①–是2的一个平方根，正确；②–4没有算术平方根，错误；③的平方根是±2，正确；④0有平方根，是0，错误；故选C．【例6】求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】（1）=12．（2）=-0.9．（3）=．（4）=56．3．平方根与算术平方根的区别（1）定义不同；（2）个数不同，一个正数有两个平方根，它们互为相反数，而一个正数的算术平方根只有一个；（3）表示方法不同，正数a的平方根表示为，正数a的算术平方根表示；（4）取值范围不同，正数的算术平方根一定是正数，正数的平方根为一正一负．典型题型：算术平方根非负性的应用常用的三类非负性的表示形式：绝对值、偶次幂、算术平方根，当几个非负数的和为0时，则每一个非负数均为0，这一结论在解答许多数学问题中起着关键的作用．【例7】当式子的值取最小值时，a的取值为A．0 B．− C．–1 D．1【答案】B【解析】∵2a+1≥0，∴当式子的值取最小值时，2a+1=0，∴a的取值为–．故选B．【例8】若实数QUOTEx，y满足，则xy的值为__________．【答案】【解析】根据题意得：，解得，则xy=，故答案为：．【例9】x、y是实数，+＝0，则xy=__________．【答案】–6【解析】由题意可知：x+2=0，y–3=0，∴x=–2，y=3，∴xy=–6，故答案为：–6．典型题型：利用平方根的知识解方程先将方程转化为一个式子的平方等于一个非负数的形式，再利用开平方发求解．【例10】求下列各式中的x．（1）x2=17；（2）=0．【解析】（1）因为，所以x=．（2），，x=．【例11】求下列各式中x的值：（1）4（x-1）2-16=0；（2）8（2x+1）3-1=0.【解析】（1）4（x-1）2-16=0，4（x-1）2=16，（x-1）2=4，x-1=±2，x=-1或x=3．（2）8（2x+1）2-1=0，8（2x+1）2=1，（2x+1）2=，2x+1=±，2x=-1±，x=-或x=-+．典型题型：平方根和算术平方根定义和性质的综合运用若一个数的平方根是它本身，则这个数是0；若一个数的算术平方根是它本身，则这个数是0或1．【例12】若一个正数的算术平方根是a，则比这个数大3的正数的平方根是A． B． C． D．【答案】C【解析】根据一个正数的算术平方根是a，则这个正数为，则比这个数大3的正数的平方根是【例13】已知2a-1的平方根是±3，的算术平方根是b，求．【解析】∵2a-1的平方根是±3，∴2a-1=9，∴a=5，∵的算术平方根是b，且=16，即16的算术平方根是b，∴b=4，∴==3．基础练习1．1的平方根是A． B． C．1 D．±12．若=3，则a的值为A．3 B．±3 C． D．–33．的平方根是A． B． C． D．4．若一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是．A．3 B．9 C．25 D．495．如果x是4的算术平方根，那么x的平方根是A．4 B．2 C．± D．±46．估算＋的运算结果应在A．3到4之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间7．已知a为实数，那么等于A．a B．-a C．-1 D．08．若2m-4与3m-1是同一个数的平方根，则m为A．-3 B．1 C．-3或1 D．-19．x的算术平方根是2，y是36的算术平方根，则x+2y的平方根是__________．10．若一个数的算术平方根是，则这个数是__________．11．如果某数的一个平方根是-6，那么这个数的另一个平方根是__________，这个数是__________．12．已知：若≈1.910，≈6.042，则≈__________．13．一个正方形的面积是6平方厘米，则这个正方形的边长等于__________厘米．14．求下列各式的值：（1）；（2）；（3）；（4）．15．求下列各式中x的值：（1）9x2–25=0；（2）2（x+1）2–32=0．16．已知，求的平方根．17．已知x，y是实数，且（y-2）2与互为相反数，求x2+y3的平方根．能力拓展18．一个自然数的算术平方根是x，则它后面一个数的算术平方根是A．x+1 B．x2+1 C．+1 D．19．估计+2的值A．在2和3之间 B．在3和4之间C．在4和5之间 D．在5和6之间20．如果的小数部分为，的整数部分为，则=__________．21．求下列代数式的值（1）如果a2=4，b的算术平方根为3，求a+b的值．（2）已知x是25的平方根，y是16的算术平方根，且x<y，求x–y的值．真题实战22.（2018•铜仁市）9的平方根是A．3 B．–3 C．3和–3 D．8123.（2018•南京）的值等于A． B．– C．± D．24.（2018•杭州）下列计算正确的是A．=2 B．=±2 C．=2 D．=±225.（2018•贺州）4的平方根是A．2 B．–2 C．±2 D．1626.（2018•安顺）的算术平方根是A．± B． C．±2 D．227.（2018•株洲）9的算术平方根是A．3 B．9 C．±3 D．±928.（2018•济南）4的算术平