2.5.二次根式的计算二次根式的乘除运算

贾老师数学同步辅导班精讲精练教材——初二上二次根式的乘除1．二次根式的乘法法则1.1.一般地，二次根式的乘法法则是：．语言叙述：二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变。在进行二次根式的乘法运算时，一定不能忽略其被开方数a，b均为非负数这一条件．1.1.1推广：①．②，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行运算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数；③乘法交换律和结合律以及乘法公式（平方差公式和完全平方公式）在二次根式的乘法中仍然可应用．1.2..二次根式乘法法则的逆用．语言叙述：积的算术平方根等于积中各因数或因式的算术平方根的积．公式中的a，b可以是数，也可以是代数式，但必须满足a≥0，b≥0．实际上，a≥0，b≥0是限制公式右边的，对公式的左边，只要ab≥0即可．二次根式乘法法则的逆用也称为积的算术平方根，在进行二次根式的乘法运算时，这两个关系经常交替使用．1.2.1.推广：．运用这个性质可以化简二次根式：如果一个二次根式的被开方数有的因数（式）是完全平方数（式），则可以利用性质及将这些因数（式）“开方”出来，从而将二次根式化简．典型题型：二次根式的乘法【例1】下列计算正确的是A．2×3=6 B．3×3=3C．4×2=8 D．2×6=12【答案】D【例2】化简得A．144 B．±144 C．±12 D．12【答案】A【解析】=．故选A．2．二次根式的除法法则2.1.一般地，二次根式的除法法则是：．语言叙述：二次根式相除，把被开方数__________，根指数不变．【注意】①a≥0，b>0时，式子才成立，若a，b都是负数，虽然有意义，但在实数范围内无意义；若b=0，则号无意义．②如果被开方数是带分数，应先将其化成假分数．③二次根式的运算结果应不含能开得尽方的因数或因式，同时分母中不含二次根式．2.1.1.二次根式除法法则的逆用语言叙述：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根．公式中的a，b表示的代数式必频满足a≥0，b>0，a≥0，b>0是限制公式右边的，对公式的左边，只要且即可．利用这个公式，同样可以达到化简二次根式的目的，在化简被开方数是分数（或分式）的二次根式时，先将其化为“（a≥0，b>0）的形式，然后利用分式的基本性质，分子和分母同乘上一个适当的因式，化去分母中的根号即可．典型题型：二次根式的除法1．；2．，其中．【例3】等式成立的条件是A．a、b同号 B．a≥0，b>0 C．a>0，b>0 D．a>0，b≥0【答案】B【解析】由二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b是分母，故b>0．故选B．【例4】计算的结果为A． B． C． D．【答案】C【解析】原式=4x÷=4x×=×3=2×3=6，故选C．典型题型：二次根式的乘除混合运算二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用．二次根式乘除混合运算的一般步骤：（1）将算式中的除法转化为乘法；（2）利用乘法运算律将运算转化为系数和被开方数的乘法运算；（3）将系数和被开方数分别相乘；（4）化成最简二次根式．【例5】计算：于A． B． C． D．【答案】A【解析】．故选A．3．最简二次根式3.1满足下列两个条件的二次根式，叫做最简二次根式．（1）被开方数不含__________；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．在二次根式的运算中，一般要把最后结果化为最简二次根式，并且分母中不含二次根式．【拓展】分母有理化：二次根式的除法可以用化去分母中的根号的方法来进行，这种化去分母中根号的变形叫做分母有理化．分母有理化的方法是根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的有理化因式（两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式），化去分母中的根号．分母的有理化因式不唯一，但以运算最简便为宜．典型题型：最简二次根式判断二次根式是不是最简二次根式的方法：一看：看被开方数中是否含有能开得尽方的因数（或因式），且被开方数中是否含有分母．二化：若被开方数是多项式，能化成因数（或因式）积的形式，要先化成积的形式．三判断：得出结论．【例6】下列根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．【答案】C基础练习1．下列二次根式中，最简二次根式是A． B． C． D．2．如果mn>0，n<0，下列等式中成立的有｡①；②；③；④．A．均不成立 B．1个 C．2个 D．3个3．下列各组二次根式化成最简二次根式后，被开方数完全相同的是A．和 B．和C．和 D．和4．下列等式不成立的是A．6×=6 B．÷=4C．= D．×=45．若=，则x的取值范围是A．x<3 B．x≤3C．0≤x<3 D．x≥06．计算÷×结果为A．3 B．4 C．5 D．67．若成立，则x的取值范围是__________．8．计算：__________．9．化简=__________．学科_网10．下列二次根式：①；②3；③；④；⑤；⑥．其中是最简二次根式的是__________．（只填序号）11．计算：__________．12．__________．13．计算：（1）；（2）-3·．14．计算：（1）；（2）；（3）-÷；（4）3÷．15．计算（1）；（2）；（3）；（4）．能力拓展16．当x<0时，等于A．x B．x C．-x D．-x17．化简的结果是A． B． C． D．18．计算的结果是A． B． C． D．19．下列运算正确的是A．B．C．D．20．若和都是最简二次根式，则__________，__________．21．一个圆锥的底面积是2cm2，高是4cm，那么这个圆锥的体积是__________．22．计算：+（-2）2-（-）．23．方老师想设计一个长方形纸片，已知长方形的长是cm，宽是cm，他又想设计一个面积与其相等的圆，请你帮助方老师求出圆的半径．真题实战24．（2018·甘肃兰州）下列二次根式中，是最简二次根式的是A． B． C． D．25．（2018·湖南益阳）__________．26．（2018·江苏镇江）计算：=__________．基础练习1．D；2．C；3．D；4．B