12.直线与圆的方程

直线的方程一、直线的倾斜角与斜率1、直线的倾斜角：，规定当直线与轴平行或重合时，直线的倾斜角为0，直线倾斜角的范围是。2、直线的斜率（1）直线斜率的定义式，（要会画图像）（2）直线斜率的计算式：过、两点的直线斜率为。二、直线的方程1、直线的点斜式方程。（1）直线点斜式方程适用条件，（求过某点直线的方程时，需要讨论斜率存在与不存在两种情况）。（2）直线过定点问题（3种方法）：直线恒过定点，并求定点坐标。：已知直线方程为，试判断该直线是否恒过定点，若恒过定点，求出该定点坐标。2、直线的斜截式方程。（1）直线斜截式方程适用条件。（2）截距，横截距是指，用字母表示；纵截距是指，用字母表示；（3）直线的方向向量是，直线的法向量是。（4）直线的斜截式方程表示直线平行与垂直，、，若，则，若，则；两直线的夹角为。（5）已知直线，则与平行的直线设为，与平行的直线设为。3、直线的两点式方程，过、两点的直线方程为。直线的两点式方程的使用条件是。4、直线的截距式方程。（1）直线截距式方程适用条件。（2）截距相等、截距互为相反数、截距的绝对值相等求直线方程，需要分类讨论。eg：经过点M（1,1）5、直线的一般式方程。（1）直线的方向向量是，直线的法向量是。（2）已知直线，，若，则，若，则。eg：经已知直线(k−3)x+(4−k)y+1=0与2(k−3)x−2y+3=0平行，则k的值是。eg：经已知直线l1:2x+(m+1)y+4=0与l2:mx+3y−6=0平行.则实数eg：经已知平面直角坐标系xOy中，直线l1:x+3y+1=0，直线l2:3x−y+1=0，则eg：经若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a−1)y+5=0垂直，则实数（3）已知直线，则与平行的直线设为，与垂直的直线设为。eg：已知直线l过点(0,3)且与直线x+y−1=0垂直，则l的方程是。eg：过点(1,−3)且平行于直线三、距离公式1、两点间的距离：已知、两点，则。2、中点坐标公式：已知、两点，则两点的中点坐标为。3、三角形的重心（中心）坐标公式：已知三角形三个顶点坐标分别为、、，则三角形的重心坐标为。4、点到直线的距离公式：点到直线的距离为。eg：点（1,2）到直线3x+4y−1=0的距离为。5、两平行直线与之间的距离为。eg：两平行直线x+3y−4=0与2x+6y−5=0的距离是。四、对称问题1、点关于点对称，对称点是中点eg：点A（1,2）关于点P（3,5）对称的点的坐标为2、直线关于点对称，所求直线与已知直线平行，且点点到两直线的距离相等eg：直线x＋y＝1关于点P(2,5)的对称点的直线是。3、点关于直线对称，已知点与所求点的中点在直线上，且过两点的直线与已知直线垂直eg：点P(2,5)关于直线x＋y＝1的对称点的坐标是。4、直线关于直线对称eg：直线y=2x+1关于直线x=1对称的直线方程是圆的方程一、圆的定义：平面内，到的距离等于的点的轨迹叫做圆，确定圆的位置，确定圆的大小。二、求曲线轨迹方程的一般步骤1、建系设点，；2、找线性条件，；3、把线性条件转换成代数条件；4、化简代数条件。三、圆的标准方程；其中圆心为；圆的半径为；四、圆的一般方程；五、点与圆的位置关系有三种，、、。判断方法有几何法与代数法两种。1、几何法2、代数法3、圆上一点到定点距离的最值问题六、直线与圆的位置关系有三种，、、。判断方法有几何法与代数法两种。1、几何法（优先使用）：设圆的半径为，圆心到直线的距离为，相离：、相切：、相交：。2、代数法：联立直线与圆的方程，消元得一元二次方程（判别式为Δ），相离：、相切：、相交：。eg：判定直线与圆的位置关系。eg：已知圆，直线，试讨论的取值范围，使直线与圆相离、相切、相交。eg：已知圆，直线，判断直线与圆的位置关系，并说明理由。六、求圆的切线方程1、过圆上一点：切线垂直于该点与圆心的连线（斜率乘积为−1）；2、过圆外一点：设切线点斜式的方程，利用求解，有两条切线（如果算出来有一条，那么另一条的斜率不存在）3、斜率已知：设切线方程为，利用求。eg：求过圆上一点的切线方程。eg：求过点且与圆相切的切线方程。eg：求斜率为2且与圆相切的切线方程。七、切线长eg：已知圆C的方程为，点在圆外，求点P到圆C的切线长。eg：已知圆O：，求到圆O的切线长为的点P的轨迹方程。eg：已知圆C：，点，过点A作圆C的两条切线，切点分别为M、N，求：（1）切线长AM；（2）四边形AMCN的面积。八、弦长1、核心公式：弦长（d为圆心到直线的距离），优先用几何法；2、弦长最值：当直线过圆心时，弦长最大（为直径）；当直线与圆心和定点的连线垂直时，弦长最小。eg：求直线被圆截得的弦长。eg：已知圆与直线相交于A、B两点，且|AB|=，求实数m的值。eg：已知圆，点在圆内，求过点P的直线与圆相交所得弦长的最大值和最小值，并求对应直线方程。九、直线与圆的最值问题1、圆上点到直线的距离最值eg：已知圆，直线，求圆上点到直线的最大距离和最小距离。eg：已知点在圆上，求的最大值和最小值。2、圆上点到定点的距离最值eg：已知圆，点，求圆上点到点Q的距离的最大值和最小值。eg：已知点在圆上，求的最大值和最小值。3、圆上的点与定点连线的斜率最值eg：已知圆，求圆上点与定点连线的斜率的取值范围。eg：已知点在圆上，求的最大值和最小值。4、直线截距的最值问题eg：已知点在圆上，求的最大值与最小值。eg：已知点是圆上任意一点，求的最大值与最小值。十、圆与圆的位置关系有五种，外离：、外切：、相交：。内切：、内含：。eg：圆C1:x2+y十一、公共弦：两个圆与相交时，公共弦所在直线的方程为。公共弦长的算法参考弦长公式。考点01直线方程与圆的方程1．圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．2．设点M在直线上，点和均在上，则的方程为．3．过四点中的三点的一个圆的方程为．4．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为．5．已知平行直线，则的距离是.6．已知，方程表示圆，则圆心坐标是，半径是．7．已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点在圆C上，且圆心到直线的距离为，则圆C的方程为.8．圆的圆心到直线的距离为1，则A． B． C． D．29．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则A．2 B．8 C．4 D．1010．圆(x＋1)2＋y2＝2的圆心到直线y＝x＋3的距离为()A．1 B．2C． D．211．圆心为且过原点的圆的方程是A．B．C．D．考点02直线与圆的位置关系及其应用1．已知直线与交于A，B两点，写出满足“面积为”的m的一个值．2．若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．3．若直线与圆相交所得的弦长为，则．4．已知直线和圆相交于两点．若，则的值为．5．直线与圆交于两点，则．6．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则.7．已知直线：与圆交于，两点，过，分别作的垂线与轴交于，两点，若，则．8．设直线与圆C：x2+y2-2ay-2=0相交于A，B两点，若，则圆C的面积为9．已知圆截直线所得线段的长度是，则圆与圆的位置关系是A．内切 B．相交 C．外切 D．相离10．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为_________；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．11．如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为；（Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①；②；③．其中正确结论的序号是．（写出所有正确结论的序号）

12．过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则A．2 B．8 C．4 D．10考点03圆中的切线问题1．（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（

）A．l与相切B．当P，A，B三点共线时，C．当时，D．满足的点有且仅有2个2．过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（

）A．1 B． C． D．3．已知过原点O的一条直线l与圆相切，且l与抛物线交于点两点，若，则．4．若双曲线的渐近线与圆相切，则．5．（多选）已知直线与圆，点，则下列说法正确的是（

）A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切 B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离 D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切6．若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（

）A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+7．若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．8．设直线与圆和圆均相切，则；b=．9．已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆相切于点，则，.10．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（）A．或 B．或 C．或 D．或11．过点作圆的两条切线，切点分别为，则=.12．如图，已知圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点A，B（B在A的上方），且．（Ⅰ）圆的标准方程为_________；（Ⅱ）圆在点处的切线在轴上的截距为_________．考点04直线与圆中的最值及范围问题1．已知直线与圆交于两点，则的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．62．已知b是的等差中项，直线与圆交于两点，则的最