高考数学解三角形知识点总结记性归纳

解三角形一、三角形的六个元素及关系1、三角形的三个内角的关系。2、三角形三条边的关系。3、三角形的边角关系。（1）定性描述。（2）定量描述。二、正弦定理1、正弦定理。2、正弦定理的变形（1）求三角形外接圆的直径。（2）边化角。（3）角化边。（4）比例。（5）边角关系。3、正弦定理解三角形的两个题型（1）已知两个内角和任意一边（2）已知两边及其中一边所对的角（在中，已知，则三角形的解的情况）为锐角为钝角图形关系式解的个数4、三角形的面积公式（1）（2）（3）（海伦公式）（4）（内切圆半斤）三、余弦定理1、余弦定理2、余弦定理的变形3、余弦定理解三角形的题型（1）已知两边及其夹角（余弦定理）（2）已知三边（余弦定理的变形）（3）已知三边，判断三角形的形状四、射影定理ABDCABDC如图，在中，平分,则（1）（2）六、三角形中线定理如图，在中，平分,则ABDCABDC七、范围问题考点01解三角形小题综合之求角和求三角函数函数值1．在中,内角所对的边分别为，若，，则（

）A． B． C． D．2．在中，，则（

）A． B． C． D．3．在中，内角的对边分别是，若，且，则（

）A． B． C． D．4．在中，，M是的中点，，则，.5．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则cosB=（

）A． B． C． D．6．如图，在三棱锥P–ABC的平面展开图中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，则cos∠FCB=.7．在△ABC中，cosC=，AC=4，BC=3，则tanB=（

）A． B．2 C．4 D．88．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知bsinA+acosB=0，则B=.9．在中，，，，点在线段上，若，则；.10．的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A． B． C． D．11．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=．12．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知C=60°，b=，c=3，则A=.13．的内角的对边分别为，若，则．14．△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知，a=2，c=，则C=.A． B． C． D．15．中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知,则A=A． B． C． D．16．在中，，，，则．17．在中，，，，则．考点02解三角形小题综合之求边长或线段1．在中，，的角平分线交BC于D，则．2．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则．3．在中，已知，，，则（

）A．1 B． C． D．34．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asinA－bsinB=4csinC，cosA=－，则=．A．6 B．5 C．4 D．35．在中，,BC=1,AC=5，则AB=A． B． C． D．6．在中，角的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是A． B． C． D．7．已知的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于．8．在中，，a=c，则=.9．在中，若

，则=A．1 B．2

C．3 D．410．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosA=，cosC=，a=1，则b=.11．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．若a=3,sin12．设的内角的对边分别为，且，则．13．在中，，，的角平分线，则.14．设的内角，，的对边分别为，，．若，，，且，则A． B． C． D．15．在中，内角所对的边分别为，已知的面积为，，则的值为．16．在中，AB=6,A=75∘,B=417．若中，，，，则．考点03解三角形小题综合之求面积1．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积．2．我国古代数学家赵爽用弦图给出了勾股定理的证明.弦图是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形(如图所示).若直角三角形直角边的长分别是3，4，记大正方形的面积为，小正方形的面积为，则.3．的内角的对边分别为.若，则的面积为.4．△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为．5．已知△ABC，AB=AC=4，BC=2．点D为AB延长线上一点，BD=2，连结CD，则△BDC的面积是，cos∠BDC=．6．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．考点04解三角形小题综合之求最值或范围1．已知中，点D在边BC上，．当取得最小值时，．2．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ3．在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为．4．若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=；的取值范围是.5．如图在平面四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则AB的取值范围是．考点05解三角形小题综合之实际应用1．已知点B在点C正北方向，点D在点C的正东方向，,存在点A满足，则(精确到0.1度)2．魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是有关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距3．我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意精度．祖冲之继承并发展了“割圆术”，将π的值精确到小数点后七位，其结果领先世界一千多年，“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六边形的面积，．4．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.考点06求面积的值及范围或最值1．在中，内角的对边分别为，为钝角，，．(1)求；(2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积．条件①：；条件②：；条件③：．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．2．记的内角的对边分别为，已知．(1)求；(2)若，求面积．3．在中，已知，，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.4．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．5．的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围．6．的内角的对边分别为已知.（1）求角和边长；（2）设为边上一点，且,求的面积.7．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.8．在中，内角A，B，C所对的边分别为.已知.（1）求的值；（2）若，求的面积.9．已知分别是内角的对边，．（1）若，求（2）若，且求的面积．10．设.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为,若,求面积的最大值.考点07求边长、周长的值及范围或最值1．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)求A．(2)若，，求的周长．2．记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面积为，求c．3．记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且．(1)若，求；(2)若，求．4．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知．(1)求的面积；(2)若，求b．5．记的内角的对边分别为，已知．(1)证明：；(2)若，求的周长．6．在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．7．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．8．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B=150°.（1）若a=c，b=2，求的面积；（2）若sinA+sinC=，求C.9．中，sin2A－sin2B－sin2C=sinBsinC．（1）求A；（2）若BC=3，求周长的最大值.10．在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.11．△ABC的内角的对边分别为,已知△ABC的面积为(1)求;(2)若求△ABC的周长.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,,S△ABC=3,求A和a.13．△ABC的内角的对边分别为，已知．（1）求；（2）若，△ABC的面积为2，求．14．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.（1）求角C；（2）若，，求的周长.考点08求角和三角函数的值及范围或最值1．在中，角所对的边分别为，已知．(1)求；(2)求；(3)求的值．2．在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值．3．在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.4．在，角所对的边分别为，已知，．（I）求a的值；（II）求的值；（III）求的值．5．记是内角，，的对边分别为，，.已知，点在边上，.（1）证明：；（2）若，求.6．在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．7．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（I）求角B的大小；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．8．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求的值；（2）在边BC上取一点D，使得，求的值．9．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．10．在△ABC中，a=3，b−c=2，cosB=．（Ⅰ）求b，c的值；（Ⅱ）求sin（B–C）的值．11．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设．（1）求A；（2）若，求sinC．12．在中，内角A，B，C