高考数学立体几何知识点总结题型归纳

立体几何一、空间几何体1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱．（1）斜棱柱：；（2）直棱柱：；（3）正棱柱：；（4）平行六面体：；（5）直平行六面体：；（6）长方体：；（7）正方体：；2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．（1）正棱锥：；（2）正四面体：；3、棱台：叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．4、圆柱：叫做圆柱．5、圆锥：叫做圆锥．6、圆台：叫做圆台．7、球：叫做球体，简称为球。8、球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度．9、大圆和小圆（1）大圆是指（2）小圆是指10、球心到小圆的距离11、表面积公式表面积柱体锥体台体球12、体积公式体积柱体锥体台体球二、外接球1、正方体、长方体外接球（1）正方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．（2）长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，半径为体对角线长的一半．（3）补成长方体①若三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，则可将其放入某个长方体内，如图1所示．②若三棱锥的四个面均是直角三角形，则此时可构造长方体，如图2所示．③正四面体可以补形为正方体且正方体的棱长，如图3所示．④若三棱锥的对棱两两相等，则可将其放入某个长方体内，如图4所示图1图2图3图42、直棱柱、圆柱的外接球如图1，图2，图3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）图1图2图33、直棱锥外接球如图，平面，求外接球半径．4、正棱锥、圆锥、侧棱相等的棱锥的外接球三、四个公理1、公理一。注意：（1）此公理是判定直线在平面内的依据；（2）此公理是判定点在面内的方法2、公理二：。（1）推论①：。（2）推论②：。（3）推论③：。（4）证明四点共面的方法。3、公理3：。此公理是判定若干点在两个相交平面的交线上的依据（比如证明三点共线、三线共点）4、公理4：。四、空间直线、平面之间的位置关系1、线线关系位置关系相交（共面）平行（共面）异面图形符号公共点个数特征两条相交直线确定一个平面两条平行直线确定一个平面两条异面直线不同在如何一个平面内2、线面关系位置关系包含（面内线）相交（面外线）平行（面外线）图形符号公共点个数3、面面关系位置关系平行相交（但不垂直）垂直图形符号五、证明线线平行的方法1、；2、；3、；4、；5、线面平行的性质定理：（1）线面平行的性质定理；（2）图形及符号语言:6、面面平行的性质定理（1）面面平行的性质定理；（2）图形及符号语言:7、线面垂直的性质定理（1）线面垂直的性质定理；（2）图形及符号语言:_b_a六、证明线面平行的方法1、线面平行的判定定理：（1）判定定理：。（2）图形及符号语言:面面平行的性质定理：（1）面面平行的性质定理：（2）图形及符号语言:七、面面平行的证明方法1、面面平行的判定定理（1）面面平行的判定定理：（2）图形及符号语言:2、面面平行的判定定理的推论（1）面面平行的判定定理的推论：（2）图形及符号语言:八、证明线线垂直的方法1、；2、；3、；4、；5、线面垂直的性质定理（1）性质定理；（2）图形及符号语言九、证明线面垂直的方法1、线面平行的判定定理（1）判定定理；（2）图形及符号语言2、面面垂直的性质定理（1）性质定理；（2）图形及符号语言___a3、线面垂直的性质定理（1）性质定理；（2）图形及符号语言_b_a十、证明面面垂直的方法1、面面垂直的判定定理（1）判定定理；（2）图形及符号语言__十一、空间角1、异面直线的夹角2、线面角3、二面角十二、空间向量的坐标运算1、已知两点，。2、若（1）。（2）。（3）=。（4）。（5）=。（6）与方向相同的单位向量。（7）。（8）。（9）若是锐角，则。（10）若是钝角，则。十三、空间向量的应用1、直线的方向向量2、平面的法向量：如果表示向量的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面，记作，如果，那么向量叫做平面的法向量．3、判定直线、平面间的位置关系（1）直线与直线的位置关系：不重合的两条直线，的方向向量分别为，．若∥，即，则；若，即，则．（2）直线与平面的位置关系：直线的方向向量为，平面的法向量为，且．若∥，即，则；若，即，则l//α．4、空间角（1）异面直线所成角公式：设，分别为异面直线，上的方向向量，为异面直线所成角的大小，则。（2）线面角公式：设为平面的斜线，为的方向向量，为平面的法向量，为与所成角的大小，则。（3）二面角公式：设，分别为平面，的法向量，二面角的大小为，则。5、求解空间中的距离（1）异面直线间的距离：（2）点到平面的距离考点01点线面的位置关系及其判断1．（2024·全国甲卷·高考真题）设为两个平面，为两条直线，且.下述四个命题：①若，则或

②若，则或③若且，则

④若与,所成的角相等，则其中所有真命题的编号是（

）A．①③ B．②④ C．①②③ D．①③④2．（2024·天津·高考真题）若为两条不同的直线，为一个平面，则下列结论中正确的是（

）A．若，，则 B．若，则C．若，则 D．若，则与相交3．（2022·全国乙卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为的中点，则（

）A．平面平面 B．平面平面C．平面平面 D．平面平面4．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（

）A．直线与直线垂直，直线平面B．直线与直线平行，直线平面C．直线与直线相交，直线平面D．直线与直线异面，直线平面5．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（

）A． B．C． D．6．（2019·全国·高考真题）如图，点为正方形的中心，为正三角形，平面平面是线段的中点，则A．，且直线是相交直线B．，且直线是相交直线C．，且直线是异面直线D．，且直线是异面直线7．（2019·全国·高考真题）设，为两个平面，则的充要条件是A．内有无数条直线与平行B．内有两条相交直线与平行C．，平行于同一条直线D．，垂直于同一平面8．（2019·北京·高考真题）已知l，m是平面外的两条不同直线．给出下列三个论断：①l⊥m；②m∥；③l⊥．以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题：．9．（2017·全国·高考真题）（多选）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面平行的是（

）A． B．C． D．10．（2016·浙江·高考真题）已知互相垂直的平面交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则A．m∥l B．m∥n C．n⊥l D．m⊥n11．（2016·山东·高考真题）已知直线a，b分别在两个不同的平面，内则“直线a和直线b相交”是“平面和平面相交”的A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件12．（2016·全国·高考真题）α、β是两个平面，m、n是两条直线，有下列四个命题：（1）如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.（2）如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.（3）如果α∥β，mα，那么m∥β.（4）如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）13．（2015·浙江·高考真题）设，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，且，A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则14．（2015·湖北·高考真题）表示空间中的两条直线，若p：是异面直线；q：不相交，则A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件C．p是q的充分必要条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件15．（2015·广东·高考真题）若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，l是平面与平面的交线，则下列命题正确的是A．与，都相交 B．与，都不相交C．至少与，中的一条相交 D．至多与，中的一条相交16．（2015·福建·高考真题）若是两条不同的直线，垂直于平面，则“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件17．（2015·北京·高考真题）设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点02求几何体的体积1．（2024·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（

）A． B． C． D．2．（2024·天津·高考真题）一个五面体．已知，且两两之间距离为1．并已知．则该五面体的体积为（

）A． B． C． D．3．（2024·全国甲卷·高考真题）已知圆台甲、乙的上底面半径均为,下底面半径均为，圆台的母线长分别为,，则圆台甲与乙的体积之比为．4．（2024·北京·高考真题）汉代刘歆设计的“铜嘉量”是龠、合、升、斗、斛五量合一的标准量器，其中升量器、斗量器、斛量器的形状均可视为圆柱.若升、斗、斛量器的容积成公比为10的等比数列，底面直径依次为，且斛量器的高为，则斗量器的高为，升量器的高为．5．（2023·全国甲卷·高考真题）在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（

）A．1 B． C．2 D．36．（2023·全国乙卷·高考真题）已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．7．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（

）A．直径为的球体B．所有棱长均为的四面体C．底面直径为，高为的圆柱体D．底面直径为，高为的圆柱体8．（2023·天津·高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（

）A． B． C． D．9．（2023·全国新Ⅰ卷·高考真题）在正四棱台中，，则该棱台的体积为．10．（2023·全国新Ⅱ卷·高考真题）底面边长为4的正四棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2，高为3的正四棱锥，所得棱台的体积为．11．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（

）A．23 B．24 C．26 D．2712．（2022·全国甲卷·高考真题）甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和．若，则（

）A． B． C． D．13．（2022·全国新Ⅰ卷·高考真题）南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔时，相应水面的面积为；水位为海拔时，相应水面的面积为，将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔上升到时，增加的水量约为（）（

）A． B． C． D．14．（2022·全国新Ⅱ卷·高考真题）如图，四边形为正方形，平面，，记三棱锥，，的体积分别为，则（

）A． B．C． D．15．（2021·全国新Ⅱ卷·高考真题）正四棱台的上､下底面的边长分别为2，4，侧棱长为2，则其体积为（

）A． B． C． D．16．（2021·北京·高考真题）某一时间段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量（单位：）．24h降雨量的等级划分如下：

等级24h降雨量（精确到0.1）…………小雨0.1~9.9中雨10.0~24.9大雨25.0~49.9暴雨50.0~99.9…………在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为200mm，高为300mm的圆锥形雨量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的24h的雨水高度是150mm（如图所示)，则这24h降雨量的等级是A．小雨 B．中雨 C．大雨 D．暴雨17．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（

）A．当时，的周长为定值B．当时，三棱锥的体积为定值C．当时，有且仅有一个点，使得D．当时，有且仅有一个点，使得平面18．（2020·海南·高考真题）已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，M、N分别为BB1、AB的中点，则三棱锥A-NMD1的体积为19．（2020·江苏·高考真题）如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的．已知螺帽的底面正六边形边长为2cm，高为2cm，内孔半径为0.5cm，则此六角螺帽毛坯的体积是cm3.20．（2019·江苏·高考真题）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是.21．（2019·全国·高考真题）学生到工厂劳动实践，利用打印技术制作模型.如图，该模型为长方体挖去四棱锥后所得的几何体，其中为长方体的中心，分别为所在棱的中点，，打印所用原料密度为，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为.22．（2019·天津·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.23．（2018·江苏·高考真题）如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为．

24．（2018·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为，母线，互相垂直，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的体积为．25．（2018·天津·高考真题）已知正方体的棱长为1，除面外，该正方体其余各面的中心分别为点E，F，G，H，M(如图)，则四棱锥的体积为.26．（2018·天津·高考真题）如图，已知正方体ABCD–A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1–BB1D1D的体积为．27．（2017·全国·高考真题）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为．

28．（2016·浙江·高考真题）如图，在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°.若平面ABC外的点P和线段AC上的点D，满足PD=DA，PB=BA，则四面体PBCD的体积的最大值是.29．（2015·上海·高考真题）若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则．30．（2015·江苏·高考真题）现有橡皮泥制作的底面半径为5、高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个，若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为．31．（2015·全国·高考真题）(2015新课标全国I理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有

A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛32．（2015·山东·高考真题）已知等腰直角三角形的直角边的长为2，将该三角形绕其斜边所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A． B． C． D．33．（2015·山东·高考真题）在梯形中，，，.将梯形绕所在直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为A． B． C． D．考点03求几何体的侧面积、表面积1．（2023·全国甲卷·高考真题）已知四棱锥的底面是边长为4的正方形，，则的面积为（

）A． B． C． D．2．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）已知圆锥的底面半径为，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（

）A． B． C． D．3．（2021·全国甲卷·高考真题）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为则该圆锥的侧面积为.4．（2020·全国·高考真题）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为（

）A． B． C． D．5．（2018·全国·高考真题）已知圆柱的上、下底面的中心分别为，，过直线的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为A． B． C． D．6．（2018·全国·高考真题）已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为．考点01直接求球的表面积与体积及相关应用1．（2021·全国新Ⅰ卷·高考真题）北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果．在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度为（轨道高度是指卫星到地球表面的距离）．将地球看作是一个球心为O，半径r为的球，其上点A的纬度是指与赤道平面所成角的度数．地球表面上能直接观测到一颗地球静止同步轨道卫星点的纬度最大值为，记卫星信号覆盖地球表面的表面积为（单位：），则S占地球表面积的百分比约为（

）A．26% B．34% C．42% D．50%2．（2020·山东·高考真题）已知球的直径为2，则该球的体积是.3．（2017·上海·高考真题）已知球的体积为，则该球主视图的面积等于考点02正方体与长方体中的球体切接问题1．（2023·全国甲卷·高考真题）在正方体中，E，F分别为AB，的中点，以EF为直径的球的球面与该正方体的棱共有个公共点．2．（2020·天津·高考真题）若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）A． B． C． D．3．（2017·天津·高考真题）已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为.4．（2016·全国·高考真题）体积为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为A． B．