北师大版数学 寒假作业03 整式及其加减（梳理讲练培优） 同步练习 含答案

整式及其加减（全章方法梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】整式的化简常与求值相结合,解决此类问题的大致步骤为“一化、二代、三计算”,有时根据题目的特征和条件,灵活的选择解题方法,常见的类型有:一：直接代入求值；二：化繁为简后求值；三：数形结合化简求值；四：“无关型”化简求值；五：整体代入求值.（1）直接整体代入求值;（2）变形后整体代入求值;（3）化简后整体代入求值;（4）特殊值法整体加减求值；（5）出现大写字母整体化简求值.【题型目录】【题型1】直接代入求值......................................................1【题型2】化繁为简后求值....................................................2【题型3】数形结合化简......................................................2【题型4】“无关型”化简求值.................................................3【题型5】整体代入求值(直接整体代入求值）...................................3【题型6】整体代入求值（变形后整体代入求值）................................3【题型7】整体代入求值（化简后整体代入求值）................................4【题型8】整体代入求值（赋值法整体加减求值）................................4【题型9】整体代入求值（出现大写字母代入整体求值）..........................5第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接代入求值；【例1】（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值．【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）如果，，，那么的值为（）A． B． C． D．【变式2】（22-23六年级上·全国·单元测试）已知单项式的次数是5，则的值为．【题型2】化繁为简后求值；【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，．【变式1】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则整式的值为（

）A．19 B． C．20 D．22【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）如果与是同类项，那么代数式的值等于．【题型3】数形结合化简；【例3】（21-22七年级·全国·假期作业）已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|．(1)填空：abc0，a+b0（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．【变式1】（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如果在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示，那么化简的结果为（

）

A． B． C． D．【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知a，b，c所表示的数在数轴上位置如图所示，化简．

【题型4】“无关型”化简求值;【例4】（22-23七年级上·云南红河·期末）“当，时，求多项式的值．．”小明说：本题中，是多余的条件．小强马上反对说：这不可能，不给出x、y的值，怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．【变式1】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（

）A．0 B． C． D．2【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值．【题型5】整体代入求值(直接整体代入求值）;【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：．请仿照上面的解题方法，完成下列问题：(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值．【变式1】（2024·海南海口·二模）若，则的值是（）A．0 B．3 C． D．9【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若代数式的值为4，那么代数式的值为．【题型6】整体代入求值（变形后整体代入求值）;【例6】（23-24七年级·全国·假期作业）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：(1)若，则______；(2)若，则______；(3)若，则______．【变式1】（23-24七年级上·福建三明·期中）若，则．【变式2】（22-23七年级上·四川绵阳·阶段练习）若，则．【题型7】整体代入求值（化简后整体代入求值）;【例7】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______．（2）已知，求的值．拓展探索：（3）已知．求的值．【变式1】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知代数式，则的值是（

）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【变式2】（22-23七年级上·北京朝阳·期中）已知，则代数式的值是．【题型8】整体代入求值（特殊值法整体加减求值）.【例8】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可得到；（3）取时，可以得到．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知，求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对取任意有理数都成立，例如给赋值时，可求得．请再尝试给赋其它的值并结合学过的知识，求得的值为．【变式2】（23-24七年级上·江苏盐城·期末）对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“特殊数对”，记为．若是“特殊数对”，则．【题型9】整体代入求值（出现大写字母代入整体求值）.【例9】（22-23六年级上·全国·单元测试）已知．(1)化简：；(2)若，，求的值；(3)若的值与y的取值无关，求此时的值．【变式1】（23-24七年级上·河北保定·期中）已知，．若的值与y的取值无关，则x的值为（

）A．3 B． C．8 D．【变式2】（22-23七年级上·江苏连云港·期中）已知多项式，，当时，代数式的值为．

整式及其加减（全章方法梳理与题型分类讲解）第一部分【知识点归纳与题型目录】整式的化简常与求值相结合,解决此类问题的大致步骤为“一化、二代、三计算”,有时根据题目的特征和条件,灵活的选择解题方法,常见的类型有:一：直接代入求值；二：化繁为简后求值；三：数形结合化简求值；四：“无关型”化简求值；五：整体代入求值.（1）直接整体代入求值;（2）变形后整体代入求值;（3）化简后整体代入求值;（4）特殊值法整体加减求值；（5）出现大写字母整体化简求值.【题型目录】【题型1】直接代入求值......................................................1【题型2】化繁为简后求值....................................................3【题型3】数形结合化简......................................................4【题型4】“无关型”化简求值.................................................6【题型5】整体代入求值(直接整体代入求值）...................................8【题型6】整体代入求值（变形后整体代入求值）................................9【题型7】整体代入求值（化简后整体代入求值）................................11【题型8】整体代入求值（赋值法整体加减求值）................................13【题型9】整体代入求值（出现大写字母代入整体求值）..........................15第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1】直接代入求值；【例1】（23-24七年级上·四川广安·阶段练习）已知，求的值．【答案】5【分析】本题主要考查了绝对值非负的性质、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．首先根据绝对值非负的性质求得的值，然后代入求值即可．解：∵，又∵，，，∴，，，解得，，，∴．【变式1】（2024七年级上·浙江·专题练习）如果，，，那么的值为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】本题考查有理数的乘方，有理数的混合运算，求代数式的值，分别求出、、并代入计算即可．掌握相应的运算法则是解题的关键．解：∵，，∴，∴的值为．故选：A．【变式2】（22-23六年级上·全国·单元测试）已知单项式的次数是5，则的值为．【答案】4【分析】本题主要考查了单项式的次数、代数式求值等知识，正确确定的值是解题关键．单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数；一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．根据单项式的次数的定义确定的值，然后代入求值即可．解：根据题意，单项式的次数是5，所以，解得，所以．故答案为：4．【题型2】化繁为简后求值；【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中，．【答案】；【分析】先去括号，合并同类项对原式进行化简，再代入x和y的值计算即可．本题考查整式加减的化简求值，解题的关键是正确去括号和合并同类项．解：原式，当，时，原式．【变式1】（23-24七年级上·黑龙江绥化·期中）若，则整式的值为（

）A．19 B． C．20 D．22【答案】A【分析】由绝对值与平方的非负性解得x、y的值，再计算整式的加减，最后代入值计算即可．解：，∴，，解得：，，，当，时，原式，故A正确．故选：A．【点拨】本题主要考查整式的化简求值，涉及绝对值与平方的非负性等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．【变式2】（2024七年级·全国·竞赛）如果与是同类项，那么代数式的值等于．【答案】【分析】本题考查了利用同类项的定义求字母的值，整式的化简求值．先根据同类项的定义求出x，y的值，然后把所给代数式去括号合并同类项，再把求得的x，y的值代入计算即可．解：由与为同类项得，解得，∴．故答案为：．【题型3】数形结合化简；【例3】（21-22七年级·全国·假期作业）已知A，B，C三点在数轴上如图所示，它们表示的数分别是a，b，c．且|a|＜|b|．(1)填空：abc0，a+b0（填“＞”“＜”或“＝”）．(2)化简：|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|．【答案】(1)＜，＞；(2)﹣3a﹣2b+c.【分析】（1）根据数轴上点的位置可知a<0，b>0，c>0，|c|＞|b|＞|a|，由此求解即可；（2）根据绝对值的含义和求法，化简|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|即可．解：（1）根据数轴上A、B、C三点的位置，可知a＜0＜b＜c，且|c|＞|b|＞|a|，∴abc＜0，a+b＞0，故答案为：＜，＞；（2）由题意可知，a﹣b＜0，a+b＞0，b﹣c＜0，∴|a﹣b|﹣2|a+b|+|b﹣c|＝b﹣a﹣2（a+b）+c﹣b＝b﹣a﹣2a﹣2b+c﹣b＝﹣3a﹣2b+c【点拨】此题主要考查了有理数大小比较的方法，绝对值的含义和求法整式的加减，要熟练掌握以上知识点，同时要明确∶当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大是解题的关键．【变式1】（23-24七年级上·陕西宝鸡·阶段练习）如果在数轴上表示a，b两个实数的点的位置如图所示，那么化简的结果为（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了根据数轴确定式子的符号，绝对值的化简，整式的加减等知识．根据数轴得到，进而得到，再根据绝对值的意义进行化简即可求解．解：由数轴得，所以，所以．故选：D【变式2】（23-24七年级上·四川成都·期末）已知a，b，c所表示的数在数轴上位置如图所示，化简．

【答案】/【分析】本题考查了数轴，绝对值的化简，解题的关键是明确绝对值里的数值是正是负，然后根据绝对值的性质“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值还是0”进行化简计算．解：由图可知：，，故答案为：．【题型4】“无关型”化简求值;【例4】（22-23七年级上·云南红河·期末）“当，时，求多项式的值．．”小明说：本题中，是多余的条件．小强马上反对说：这不可能，不给出x、y的值，怎么能求出多项式的值呢？你同意哪名同学的观点？请说明理由．【答案】同意，理由见解析【分析】本题考查了整式的加减-化简求值，掌握整式的加减运算法则是解本题的关键．原式去括号合并得到最简结果与x和y的值无关，所以本题中，是多余的条件，即可得出结论．解：同意．理由：原式．∴多项式的值与x、y的值无关．【变式1】（23-24七年级上·江苏镇江·期末）无论x取何值，代数式的值都不变，则m等于（

）A．0 B． C． D．2【答案】C【分析】本题主要考查了代数式，掌握代数式的值与某一字母值无关即是关于该字母的代数式中，该字母各相应项的系数为0是解题的关键．先由无论x取何值，多项式的值不变，求得即可．解：，∵无论x取何值，多项式的值不变，∴，解得：，故选：C．【变式2】（23-24七年级下·山东菏泽·期中）在学习了多项式乘多项式以后，老师出了这样一道题：要求计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b为常数，请你分析并求出的值．【答案】【分析】本题考查了整式的混合运算，多项式乘多项式法则，先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．结果中不含一次项和二次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求解得到a、b的值即可解决问题．解：因为这个多项式不含一次项，所以，解得，．所以．故答案为：．【题型5】整体代入求值(直接整体代入求值）;【例5】（24-25七年级上·全国·单元测试）理解与思考：“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想，它在整式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，求代数式的值．我们可以将作为一个整体代入：．请仿照上面的解题方法，完成下列问题：(1)已知，求代数式的值；(2)已知，求代数式的值．【答案】(1)；(2)【分析】本题主要考查了代数式求值，灵活应用整体思想是解题关键．（1）把代入式子求值即可；（2）将原式变形为，再把代入求解即可．解：（1），原式．（2），原式．【变式1】（2024·海南海口·二模）若，则的值是（）A．0 B．3 C． D．9【答案】B【分析】本题考查了代数式求值．熟练掌握代数式变形，整体代入法，是解答此题的关键．根据，把代入，可得结论．解：∵，∴．故选：B．【变式2】（23-24七年级上·全国·单元测试）若代数式的值为4，那么代数式的值为．【答案】10【分析】本题主要考查的是求代数式的值，利用等式的性质求得的值是解题的关键．先利用等式的性质得到的值，然后代入计算即可．解：∵∴∴故答案为：10．【题型6】整体代入求值（变形后整体代入求值）;【例6】（23-24七年级·全国·假期作业）理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法，例如：，则______；我们将作为一个整体代入，则原式．仿照上面的解题方法，完成下面的问题：(1)若，则______；(2)若，则______；(3)若，则______．【答案】(1)2025；(2)11；(3)16．【分析】此题考查了整式的加减−化简求值，熟练掌握运算法则、运用整体思想是解本题的关键．（1）把已知等式代入原式计算即可得到结果；（2）原式变形后，把代入计算即可求出值；（3）已知第一个等式两边乘以2，减去第二个等式两边乘以3求出原式的值即可．解：（1）∵，∴，∴，故答案为：2025；（2）∵，∴；故答案为：11；（3）∵，，∴，，∴．故答案为：16【变式1】（23-24七年级上·福建三明·期中）若，则．【答案】2020【分析】本题考查了代数式求值，考查了整体思想，整体代入到代数式中求值是解题的关键．根据条件得：，整体代入到代数式中求值即可得出答案．解：，，原式．故答案为：【变式2】（22-23七年级上·四川绵阳·阶段练习）若，则．【答案】【分析】由变形可得，，把化为整理化简即可求解．解：∵，∴，，∴故答案为：2022【点拨】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键．【题型7】整体代入求值（化简后整体代入求值）;【例7】（23-24七年级上·河南安阳·期末）阅读材料：“整体思想”是中学数学的重要思想方法，在解题中会经常用到．我们知道，合并同类项：，类似地，我们把看成一个整体，则．尝试应用：（1）把看成一个整体，合并的结果是______．（2）已知，求的值．拓展探索：（3）已知．求的值．【答案】（1）；（2）；（3）【分析】本题主要考查了合并同类项，代数式求值，利用整体代入的思想求解是解题的关键．（1）仿照题意把当做一个整体，利用合并同类项的计算法则求解即可；（2）根据，把整体代入求解即可；（3）根据，把所给的条件式整体代入求解即可．解：（1）；故答案为：；（2）∵，∴；（3）∵，∴．【变式1】（22-23七年级上·贵州遵义·阶段练习）已知代数式，则的值是（

）A．6 B．4 C．﹣4 D．﹣6【答案】A【分析】先将式子进行化简，然后将代入即可得出答案解：原式＝，当时，原式．故选：A．【点拨】本题考查了整式的化简求值，整体代入的数学思想是解题的关键．【变式2】（22-23七年级上·北京朝阳·期中）已知，则代数式的值是．【答案】【分析】先去括号，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得．解：，将代入得：原式，故答案为：．【点拨】本题考查了整式加减中的化简求值、代数式求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解题关键．【题型8】整体代入求值（特殊值法整体加减求值）.【例8】（20-21七年级上·山东菏泽·期末）赋值法，又叫特值法，是数学中通过设题中某个未知量为特殊值，从而通过简单的运算，得出最终答案的一种方法．例如：已知：，则：（1）取时，直接可以得到；（2）取时，可得到；（3）取时，可以得到．（4）把（2），（3）的结论相加，就可以得到，结合（1）的结论，从而得出．请类比上例，解决下面的问题：已知，求：(1)的值；(2)的值；(3)的值．【答案】(1)4；(2)8；(3)0.【分析】本题主要考查代数式求值问题，合理理解题意，整体思想求解是解题的关键．（1）观察等式可发现只要令，即可求出的值；（2）观察等式可发现只要令即可求出的值．（3）令即可求出等式①，令即可求出等式②，两个式子相加即可求出来．（1）解：当时，；（2）解：当时，可得；（3）解：当时，可得①，由（2）得②；得：，，．【变式1】（23-24七年级上·福建福州·期中）赋值法是给代数式中的某些字母赋予一定的特殊值，从而解决问题的一种方法．已知等式对取任意有理数都成立，例如给赋