北京市朝阳区东方德才学校2026-2027学年高二上学期期中数学试题（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市朝阳区东方德才学校2026-2027学年高二上学期期中数学试题一、单项选择题：本大题共10小题，共50分。1.直线x-y-3=0的倾斜角为()A. B. C. D.2.设平面的法向量为，平面的法向量为，若，则的值为（

）A.3 B.4 C.5 D.63.P是椭圆x2+4y2=16上一点，F1，F2是该椭圆的两个焦点，且|PF1|=7，则|PF2|=（）A.1 B.3 C.5 D.94.双曲线的焦点到渐近线的距离为（）A. B. C. D.5.已知直线l：y=x被圆C：（x-3）2+（y-1）2=r2（r＞0）截得的弦长为2，则r=（）A. B. C.3 D.46.如图，在平行六面体中，，，，点在上，且，则（

）

A. B. C. D.7.已知圆与圆，则圆与圆的位置关系是（

）A.内含 B.相交 C.外切 D.外离8.已知是椭圆的左、右焦点，点P为C上一点，O为坐标原点，为正三角形，则C的离心率为（

）A. B. C. D.9.一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面2米，水面宽12米，当水面下降2米后，水面宽是（）

A.13米 B.14米 C.15米 D.16米10.已知椭圆M：（a＞b＞0），双曲线N：（m＞0，n＞0）．设椭圆M的两个焦点分别为F1，F2，椭圆M的离心率为e1，双曲线N的离心率为e2，记双曲线N的一条渐近线与椭圆M一个交点为P，若PF1⊥PF2且|F1F2|=2|PF1|，则的值为（）A. B. C.2 D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。11.过点A（3，2）且与直线x+y+1=0平行的直线方程为

.12.椭圆的一个焦点是（0，-1），那么k等于

.13.已知点P（2，a）在抛物线C：y2=4x上，则点P到抛物线C的焦点的距离为

．14.在长方体中，，则

．15.已知点P是椭圆+=1上任意一点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则线段PM的中点N（x,y）的轨迹方程为

.16.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别为B1C1，C1D1的中点，P是底面A1B1C1D1上一点.若AP∥平面BEF，则AP长度的最小值是

；最大值是

.

三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题10分)已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．（1）求圆C的方程；（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．18.(本小题15分)已知椭圆，左右焦点分别为，直线与椭圆相交于两点．(1)求椭圆的焦点坐标及离心率；(2)求的面积．19.(本小题15分)

如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，AB⊥AD，

​​​​​​​AB＝1，AD＝2，AC＝CD＝.

(1)求证：PD⊥平面PAB；(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值；(3)在棱PA上是否存在点M，使得BM∥平面PCD？若存在，求的值；若不存在，说明理由.20.(本小题15分)已知椭圆过点，且离心率．(1)求椭圆的方程；(2)设点为椭圆的左焦点，点，过点作的垂线交椭圆于点，连接与交于点．求的值．21.(本小题15分)已知集合（）具有性质P：对任意的（），与两数中至少有一个属于A．(1)分别判断数集与是否具有性质P，并说明理由；(2)证明：，且；(3)当n＝5时，若，求集合A．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】B

5.【答案】A

6.【答案】C

7.【答案】D

8.【答案】B

9.【答案】D

10.【答案】A

11.【答案】x+y-5=0

12.【答案】3

13.【答案】3

14.【答案】3

15.【答案】+y2=1（（y≠0））

16.【答案】

17.【答案】解：（1）∵圆心为C（4，3）的圆经过原点O．

∴r=

，∴圆C：（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；（2）∵直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点,

∴圆心C到直线AB的距离d=,

∴，∴．

18.【答案】（1）椭圆知，该椭圆的焦点在轴上，设焦距为，由，所以，所以焦点坐标为离心率为：（2）由直线与椭圆相交于两点，设则消去得，，所以又到的距离为所以的面积为：

19.【答案】（1）证明：∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且AB⊥AD，AB⊂平面ABCD，

∴AB⊥平面PAD，

∵PD⊂平面PAD，

∴AB⊥PD，

又PD⊥PA，且PA∩AB=A，PA、AB平面PAB，

∴PD⊥平面PAB；

（2）解：取AD中点为O，连接CO，PO，

∵CD=AC=，

∴CO⊥AD，

又∵PA=PD，

∴PO⊥AD．

∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，

且PO⊂平面PAD，

∴PO⊥平面ABCD，

以O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图：

则P（0，0，1），B（1，1，0），D（0，-1，0），C（2，0，0），

则，，

设为平面PCD的法向量，

则由，得，令z0=1，则．

设PB与平面PCD的夹角为θ，则

​​​​​=；

（3）解：假设存在M点使得BM∥平面PCD，设，​​​​​​​M（0，y1，z1），

由（2）知，A（0，1，0），P（0，0，1），，B（1，1，0），，

则有，可得M（0，1-λ，λ），

∴，

∵BM∥平面PCD，为平面PCD的法向量，

∴，即，解得．

综上，存在点M，即当时，M点即为所求．

20.【答案】解：（1）

​​​​​​​由题意得解得．椭圆的方程为．（2）

由，显然斜率存在，，当时，．当时，直线过点且与直线垂直，则直线方程为．由得．显然．设，则．则中点．直线的方程为，由得．．综上的值为1．

21.【答案】解：(1)数集具有性质P，数集不具有性质P；理由如下：因为都属于数集，所以数集具有性质P，因为和均不属于数集，所以数集不具有性质P；(2)证明：令，因为与两数中至少有一个属于A，所以不属于A，所以属于集合A，即0∈A，所以，令j＝n，i＞1，因为与两数中至少有一个属于A，所以不属于A，所以属于集合A，令，则是集合A中的某一项，若，符合题意