第1章 解直角三角形 单元测试卷（含答案） 浙教版2026-2027学年九年级数学下册

浙教版2026-2027学年九年级上册第1章解直角三角形单元测试卷满分120分时间120分钟一、选择题（共30分）1．sin60°的相反数为（

A．12 B．−12 C．32．在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°，下列结论正确的是（

A．sinA=BCAB B．cosA=BCAB3．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在点C′处，BC′交AD于点EA．△ABE∽△C′DEC．sin∠ABE=AEED D．4．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，点A、B、C、D都在格点上，AB与CD相交于点E，则∠AED的正切值为（

）A．12 B．2 C．2 D．5．如图，在△ABC中，∠A=30°，AC=23，tanB=32，则

A．2+23 B．3+3 C．46．在△ABC中，∠A、∠B均为锐角，且|tanB−3|+(2A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形7．如图，某水库大坝的横断面是梯形ABCD，坝高DE=5m，斜坡BC的坡比为5:12，则斜坡BC=（

A．13m B．8m C．18m D．12m8．如图1是第七届国际数学教育大会（ICME）会徽，在其主体图案中选择两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到如图2所示的四边形OABC．若AB=BC=2，∠BOC=α，则OA2的值为（A．4tan2α−4 B．sin2α−49．如图，在矩形ABCD中，E，F是BC边上的三等分点（点E在点F的左边），连接DE，AF相交于点G，连接CG．若AB=2，BC=33，则tan∠GCF的值是（A．239 B．312 C．310．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB=4，D在直线AB上运动，连接CD，E是CD的中点，连接EA，F是AE的中点，连接CF，则CF的最小值是（A．332 B．3 C．1 二、填空题（共18分）11．比较大小：cos30°_________0.5．（用“>”、“<”或“=12．计算：cos212°+13．如图，点A、B、C为正方形网格纸中的3个格点，则cosA的值是___________14．如图，∠MON=60°，以O为圆心，2为半径画弧，分别交OM,ON于A，B两点，再分别以A，B为圆心，6为半径画弧，两弧在∠MON内部相交于点C，作射线OC，连接AC,BC，则tan∠ACO=__15．如图，Rt△ABO在第一象限与反比例函数交于C，D两点，若CD垂直平分OB，则sinB=16．如图，在△ABC中，AB=203，BE平分∠ABC，F为线段BE上一点，且BF=EF=3，连接CF.若cos∠EFC=35三、解答题（共72分）17．（6分）计算：sin18．（6分）在Rt△ABC中，已知∠C=90°,c=128,∠B=60°19．（8分）已知：在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC的中点，连接OB，过C点作CD⊥OB，交BO的延长线于垂足D，BC=8，sin(1)线段OC的长；(2)cos∠OCD20．（8分）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作图，保留作图痕迹．(1)在图①中的边AB上找一点D，连结CD，使CD=1(2)在图②中的边AB上找一点E，连结CE，使∠AEC=∠ACE；(3)在图③中的边AB上找一点F，连结CF，使tan∠ACF=21．（10分）实验是培养学生的创新能力的重要途径之一．如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口三分之一处．已知试管AB=27cm，BE=13AB，试管倾斜角(1)求酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度（结果精确到0.1cm(2)实验时，当导气管紧贴水槽MN，延长BM交CN的延长线于点F，且MN⊥CF（点C,D,N,F在一条直线上），经测得：DE=27.53cm，MN=10cm，∠ABM=145°，求线段DN的长度（结果精确到0.1cm）．（参考数据：sin10°≈0.17，22．（10分）如图，矩形EFGH的顶点E、G分别在菱形ABCD的边AD、BC上，顶点F、H在菱形ABCD的对角线BD上．(1)求证：BG=DE；(2)若E为AD的中点，AB=5，sin∠ABD=3523．（12分）如图1，正方形ABCD的边长为6，点E在边BC上，沿AE折叠△ABE，点B落在F处，展开后仍保留折痕AE，连接AF、EF、CF、DF．(1)点F恰好落在正方形的对角线AC上，求BE的长；(2)当点E在BC上运动时，求CF的最小值；(3)若设∠BAE=α，由折叠得：AF=AB=6,∠FAE=∠BAE=α,∠BAF=2α，则在Rt△ABE中，BE=ABtanα（参考数据：tan15°=2−3,tan24．（12分）如图，在直角△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，点D为AC的中点．点P从点C出发，沿CB−BA方向向终点A运动．(1)sin∠A(2)当直线DP与△ABC的某一边平行时，求BP的长．(3)点P在运动过程中，当点P不与点B重合时，以DP、BP为邻边构造平行四边形DPBE．①当▱DPBE为矩形时，求BP的长；②当▱DPBE被△ABC的一边分成面积比为1:5两部分时，直接写出BP的长．参考答案题号12345678910答案DADBDBAADD1．D【详解】解：∵sin∴sin60°的相反数为2．A【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°由图可得，∠A的对边为BC，邻边为AC，斜边为AB，∴sinA=BCAB，cos3．D【分析】根据矩形性质及折叠性质得出角与边的等量关系，结合相似三角形判定及三角函数定义逐一判断选项．【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠A=∠C=90°，∴∠EDB=∠CBD．由折叠可知：∠C′=∠C=90°，∠EBD=∠CBD∴∠EBD=∠EDB，故B成立，∴BE=DE．在△ABE和△C′DE中，∠A=∠∴△ABE∽△C在Rt△ABE中，sin∵BE=DE，∴sin若BC′平分∠ABD，则∠ABE=∠EBD，结合折叠∠EBD=∠CBD，可得又矩形中∠ABC=90°，可求得这三个角均为30°，题干没有给出这个特殊角度条件，故D不一定成立．4．B【分析】过点C作CF⊥AB于F，由sin∠BAC=BCAB=CFAC可得CF=31010【详解】解：如图，过点C作CF⊥AB于F，∵AB=12+32=10∴110∴CF=3∵BD∥∴△BDE∽△ACE，∴DECE∵CD=1∴CE=3∴EF=C∵∠AED=∠CEF，∴tan∠AED=5．D【分析】作CD⊥AB于D，根据∠A=30°，AC=23，算出CD和AD，再根据tanB=CDBD=【详解】如下图，作CD⊥AB于D，

在Rt△ACD中，∠A=30°，AC=2∴CD=12AC=在Rt△BCD中，tan∴3∴BD=2，∴AB=AD+BD=3+2=5，故选：D．【点睛】本题考查了用锐角三角函数解非直角三角形，作垂直构造直角三角形是解题的关键．6．B【分析】先根据绝对值和平方的非负性得到tanB和cosA的值，再由特殊角的三角函数值可得到∠A、∠B【详解】解：∵tanB−∴tanB−3=0∴tanB=3，∵∠A、∠B均为锐角，∴∠B=60°，∠A=60°，∴∠C=180°−∠A−∠B=60°，∴△ABC是等边三角形．7．A【分析】根据斜坡BC的坡比为i=5：12和坝高DE=5m，如图可求出BF的长度，在Rt△BCF中根据勾股定理可求出BC【详解】如图，过点C作CF⊥AB，垂足为F．那么，∵坝高DE=5m，CF⊥AB∴DE=CF=5m又斜坡BC的坡比为5:12∴BF=1m，在Rt△BCF中BC=C=5=13m【点睛】本题考查的直角三角形坡度的问题.解题的关键是理解坡度的定义．8．A【分析】在Rt△OBC中利用正切函数求出OB，再在Rt△OBA中利用勾股定理求出【详解】解：在Rt△OBC中，tan∴OB=BC在Rt△OBA中，∠A=90°∴OA9．D【分析】根据矩形的性质证明△FGE∽△AGD得EGED=14，然后过点G作GH⊥BC于点H，证明△GHE∽△DCE，根据相似三角形对应边成比例分别求出HE，【详解】解：∵AB=2，BC=33，在矩形ABCD中，E，F是BC∴AD∥BC，∠BCD=90°，BE=EF=FC=13BC=∴∠EFG=∠DAG，∠FEG=∠ADG，EC=EF+FC=23∴△FGE∽△AGD，∴EGDG∴EGED如图，过点G作GH⊥BC于点H，∴∠EHG=90°=∠ECD，又∵∠GEH=∠DEC，∴△GHE∽△DCE，∴EHEC∴EH=14EC=∴CH=EC−EH=23∴tan∠GCF=10．D【分析】首先根据直角三角形的性质求出AC、BC的长以及点C到AB的距离；然后利用三角形中位线定理确定点F的运动轨迹是一条平行于AB的直线；最后根据平行线分线段成比例或相似三角形性质求出CF的最小值．【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°∴BC=12AB=2过点C作CH⊥AB于点H，∴CH=BC⋅sin取AC的中点M，连接ME，∵E是CD的中点，∴ME是△CAD的中位线，∴ME∥AB，取AM的中点N，连接NF，∵F是AE的中点，∴NF是△AME的中位线，∴NF∥ME，∴NF∥AB，∴点F在过点N且平行于AB的直线上运动，∴当CF垂直于该直线时，CF取得最小值，此时CF的最小值等于点C到直线NF的距离，∵M是AC中点，N是AM中点，∴AN=1∴CN=AC−AN=3设点C到直线NF的距离为d，∵NF∥AB，CH⊥AB，∴d∴d=3∴CF的最小值是3311．>【分析】本题考查了特殊锐角的三角函数值及实数的大小比较，掌握特殊锐角三角函数值是解题的关键．根据特殊锐角三角函数值及实数的大小比较法则进行比较求解．【详解】解：∵cos30°=32∴cos30°>故答案为：>．12．1【分析】作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠A=12°，表示出cos【详解】解：作Rt△ABC，其中∠C=90°，∠A=12°如图，∴cos∠A=ACAB∴cos2∵在Rt△ABC中，A∴cos2即cos213．55/【分析】先取格点D，连接BD，再利用勾股定理和勾股定理的逆定理，得出△ABD是直角三角形，最后根据余弦的定义求值即可．【详解】解：如图，取格点D，连接BD，设网格纸中的每个小正方形的边长为1，则AB=32+42∴AD∴△ABD是直角三角形，且∠ADB=90°，∴cosA=14．5【分析】连接AB，交OC于点D，先得出OC垂直平分AB，再证出△AOB是等边三角形，则可得AD=1，然后利用勾股定理可得CD=5【详解】解：如图，连接AB，交OC于点D，由题意得：OA=OB=2，AC=BC=6∴OC垂直平分AB，∴OC⊥AB,BD=1∵∠MON=60°，∴△AOB是等边三角形，∴AB=OA=2，∴AD=1，∴CD=A∴在Rt△ACD中，tan15．3【分析】根据题意，设出点C坐标，进一步表示出点B和点D坐标，再结合线段垂直平分线的性质及正弦的定义进行计算即可．【详解】解：令反比例函数的解析式为y=kx，设点C坐标为因为CD垂直平分OB，所以点B坐标为2a,2k因为△ABO是直角三角形，所以点D的横坐标为2a，则点D坐标可表示为2a,k连接OD，因为CD垂直平分OB，所以OD=BD，即OD所以2a2+k在Rt△AOB中，OB=所以sinB=16．607/【分析】过点A作AG∥BE交CB的延长线于点G，延长CF交AG于点H，连接BH，利用平行线及角平分线性质证BG=AB=203，结合F为BE中点证H为AG中点，进而得BH⊥AG及∠HBF=90【详解】解：如图，过点A作AG∥BE交CB的延长线于点G，延长CF交AG于点H，连接∵BE平分∠ABC，∴∠1=∠2，∵AG∴∠GAB=∠1,∠G=∠2∴∠GAB=∠G，∴BG=AB=20∵AG∴△CEF∽△CAH，△CFB∽△CHG，∴EFAH∴EFAH∵BF=EF，∴AH=GH，∴BH⊥AG，∴∠GBH=∠ABH，又∵∠ABH+∠1+∠GBH+∠2=180°，∴∠ABH+∠1=12又∵∠HFB=∠EFC，∴cos∠HFB=∴35∴HF=5，∴BH=H在Rt△HBG中，HG=∴AG=2GH=∵AG∴△CBE∽△CGA∴BEAG=解得：BC=6017．1【详解】解：原式===118．a=64,b=64【分析】通过已知元素将未知元素求解出即可．【详解】解：∵∠C=90°,c=128,∠B=60°∴∠A=90°−∠B=30°，sin∴b=128×3∴a=64,b=6419．(1)5(2)24【分析】（1）由sinα=ABAC=35，设AB=3x，则AC=5x，由勾股定理得出方程（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出OB=OC=OA=12AC=5，设OD=y，则BD=OB+OD=5+y，由勾股定理得出方程82−【详解】（1）解：∵在Rt△ABC中，AB⊥BC∴sin设AB=3x，则AC=5x，∵AB即3x2解得：x1=2，∴AC=10，∵点O是AC的中点，∴OC=1（2）解：∵在Rt△ABC中，AB⊥BC，点O是AC∴OB=OC=OA=1设OD=y，则BD=OB+OD=5+y，∵CD⊥OB，∴CD即82解得y=7∴OD=7∴CD=O∴cos20．(1)如图，点D为所求作：(2)如图，点E为所求作：(3)如图，点F为所求作：【分析】（1）连结格点N与点C，交AB于点D，连接AN、BN，利用矩形的判定与性质即可得解；（2）连结格点P与点C，交AB于点E，连接BP，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质，得出AE=35AB=3（3）连结格点M与点C，交AB于点F，取格点G，连接MG，利用全等三角形的判定与性质，得出∠CAB=∠GCM，进一步得出∠ACF+∠CAF=90°，利用三角形的内角和定理得出∠AFC=90°，再利用相似三角形的判定与性质得出ACAF=BC【详解】（1）解：由图可知，∠ACB=∠CBN=∠BNA=90°，∴四边形ACBN是矩形，∴对角线AB、CN相互平分，AB=CN，∴CD=1（2）解：由图可知，∠ACB=90°，PB=2，AC=3，BC=4，PB∥AC，∴在Rt△ACB中，AB=∵PB∥AC，∴△PBE∽△CAE，∴AEBE∴AE=3∴AC=AE=3，∴∠AEC=∠ACE．（3）解：由图可知，AC=CG=3，∠ACB=∠CGM=90°，BC=MG=4，∴△ACB≌△CGM(SAS∴∠CAB=∠GCM．∵∠ACB=∠ACF+∠BCM=90°，∴∠ACF+∠CAF=90°，∴∠AFC=180°−(∠ACF+∠CAF)=90°，∴∠ACB=∠AFC=90°．又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△AFC，∴ACAF∴ACBC∴在Rt△ACF中，tan21．(1)CD的长度为17.6(2)线段DN的长度为24.8cm【分析】（1）过点E作EG⊥AC于点G，利用余弦求GE，即可得CD的长度；（2）过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，先求出BP和EP，再求出BQ，利用∠ABM=145°得QM，即可求解．【详解】（1）解：如图，过点E作EG⊥AC于点G，∵AB=27cm，BE=∴BE=9cm，AE=18∵∠AEG=α=10°，∴GE=AE⋅cos∴CD=GE=17.6cm答：酒精灯与铁架台的水平距离CD的长度为17.6cm（2）解∶如图，过点B作BH⊥CF于点H，BP⊥DE于点P，过点M作MQ⊥BH于点Q，则BP=BE⋅cosEP=BE⋅sin∵DE=27.53cm∴PD=DE−EP=27.53−1.53=26cm∴BH=26cm∵MN=10cm∴QH=10cm∴BQ=BH−QH=26−10=16cm∵∠ABM=145°，∴∠QBM=∠ABM−α−90°=145°−10°−90°=45°，∴QM=BQ=16cm∴DN=DH+HN=BP+QM=8.82+16≈24.8cm答：线段DN的长度为24.8cm22．(1)证明：∵四边形EFGH是矩形，∴EH=FG，EH∥FG，∴∠GFH=∠EHF．∵∠BFG=180°−∠GFH，∠DHE=180°−∠EHF，∴∠BFG=∠DHE．∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，∴∠GBF=∠EDH，∴△BGF≌△DEHAAS∴BG=DE；(2)102【分析】（1）根据矩形的性质得EH=FG，EH∥FG，进而得出∠BFG=∠DHE，再根据菱形的性质可证△BGF≌△DEH，最后根据全等三角形的对应边相等得出答案；（2）连接EG,AC，AC交BD于点O，作FK⊥BC交BC于点K，先根据菱形的性质得AD=BC，AD∥BC，再说明四边形ABGE是平行四边形，可得AB=EG，进而根据矩形的性质得到FH=5，根据菱形的性质得到AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=5，BO=12BD，根据三角函数及勾股定理求出BO=4，进而求出BF+DH=3，根据全等三角形的性质得到BF=DH=32，根据菱形的性质得到sin∠CBD=FK【详解】（1）略；（2）解：连接EG,AC，AC交BD于点O，作FK⊥BC交BC于点K，∵四边形ABCD是菱形，∴AD=BC，AD∥BC．∵E为AD中点，∴AE=ED．∵BG=DE，∴AE=BG，AE∥BG，∴四边形ABGE是平行四边形，∴AB=EG．∵四边形EFGH是矩形，∴EG=FH，∴FH=AB，∵AB=5，∴FH=5．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AB=BC=CD=AD=5，BO=1在Rt△ABO中，sin∠ABD=AO∴AO=3，由勾股定理得BO=A∴BD=2BO=8，∴BF+DH=8−5=3，∵△BGF≌△DEH，∴BF=DH=32，∵四边形ABCD是菱形，∴∠CBD=∠ABD，∴sin∠CBD=∴FK=3∴BK=B∵E为AD的中点，BG=DE，AD=5，∴BG=DE=5∴GK=BG−BK=13∴FG=F23．(1)BE=6(2)6(3)12−63或【分析】（1）根据正方形的性质得到BC=AB=6，∠B=90°，∠ACB=45°，根据勾股定理得到AC=62+62=62，根据折叠的性质得到AF=AB=6，EF=BE，∠AFE=∠B=90°（2）由折叠可知AF=AB=6，是定值，因此点F的运动轨迹是以A为圆心、6为半径的在正方形内部的圆弧．根据“点到圆的最短距离为点与圆心连线长减去半径”，先计算A到C的距离，再根据当A、F、C三点共线时CF最小计算即可；（3）当DF=CD=6时，可知△ADF是等边三角形，得到∠DAF=60°，则∠BAF=30°，可知α=15°，根据BE=ABtanα计算即可；当DF=CF时，此时F在CD的垂直平分线上，连接BF，根据正方形的性质可知正方形中CD的垂直平分线也是AB的垂直平分线，即AF=BF，得到△ABF是等边三角形，即∠BAF=60°，可知α=30°，根据【详解】（1）解：如图，∵正方形ABCD，∴BC=AB=6，∠B=90°，∠ACB=45°，∴AC=6由折叠性质得：AF=AB=6，EF=BE，∠AFE=∠B=90°，因此△EFC是等腰直角三角形，∴EC=2设BE=x，则EC=6−x，EC=代入得：6−x=2解得x=62即BE=62（2）解：由折叠可知AF=AB=6，是定值，因此点F的运动轨迹是以A为圆心、6为半径的在正方形内部的圆弧．∵正方形ABCD，∴BC=AB=6，∠B=90°，∴AC=6可知CF≥AC−AF=62当A、F、C三点共线时取到等号，即CF的最小值为62（3）解：当DF=CD=6时，∵AD=CD=6，∴AD=DF=AF=6即△ADF是等边三角形，∴∠DAF=60°，∴∠BAF=90°−∠DAF=30°，∵∠BAF=2α，∴2α=30°，即α=15°，在Rt△ABE中，BE=AB⋅当DF=CF时，此时F在CD的垂直平分线上，如图，连接BF，∵正方形中CD的垂直平分线也是AB的垂直平分线，∴AF=BF，∵AF=AB=6，∴△A