江西省南昌市2026届高三一模数学试题（含答案）

江西省南昌市2026届高三一模数学试题及答案解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.2.已知复数，则（）A.B.C.D.3.若，则所在的范围是（）A.B.C.D.4.某圆锥的轴截面是一个斜边长为4的等腰直角三角形，则此圆锥的侧面积为（）A.B.C.D.5.已知，则不等式的解集为（）A.B.C.D.6.已知圆，点在圆外，直线与圆有两个公共点，则是的（）条件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要7.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.D.8.已知函数，若函数为偶函数，则（）A.B.C.D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，不分选对的得部分分，有选错或不选的得0分.9.已知，，则下列选项中正确的有（）A.B.C.D.10.在正三棱柱中，，分别为的中点，则下列说法中正确的有（）A.平面B.平面平面C.D.平面11.在平面直角坐标系中，已知，动圆，过点分别作斜率为的两条直线与动圆相切，两切线交于第一象限的点，设点到直线的距离为，则下列说法中正确的是（）A.B.C.D.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.的展开式中，的系数是.13.已知向量，，，若向量满足，则的最大值为.14.已知A盒中装有大小相同的3个红球和3个黑球，B盒中装有大小相同的3个红球，从A盒中随机取一个球，若是红球，则放回A盒；若是黑球，则从B盒中取一红球与替换，这样称为1次操作，重复以上操作，直到A盒中6个球全是红球为止.记重复操作后，A盒中6个球恰好全是红球的概率为，则.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知的内角所对边分别为，且，.（1）求；（2）若的面积为2，求和.16.（15分）近年来，青少年近视问题备受关注.为了探究中学生手机使用习惯于近视之间是否存在关联，某研究小组在某中学随机抽取了200名学生进行问卷调查.调查项目包括平均每天使用手机的时间（分为“小于1小时”和“1小时及以上”两类）以及是否被医院诊断为近视（分为“是”和“否”两类）.调查结果汇总如下表：（1）从该校学生中任选1人，记“该人平均每天使用手机时间少于1小时”为事件A，记“该人近视”为事件B.根据上表数据，用频率估计概率，分别估计，，并由此直观判断平均每天使用手机时间与近视是否有关联，简要说明理由；（2）利用列联表中的数据，计算统计量（精确到0.001），并判断是否有99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.附：公式，独立性检验临界值表：17.（15分）已知等比数列的公比为整数，且，.（1）求的通项公式；（2）设，求数列的前项和.18.（17分）已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）设函数的零点为，设曲线在处的切线为，求证：；（3）当时，设，且满足，求证：.19.（17分）已知正方体的棱长为，对角线的中点为，动点在平面内，且点到平面的距离等于.（1）求四棱锥体积的最大值；（2）记点的轨迹为曲线，点是曲线上不同三点.（ⅰ）若平面与轨迹相交于两点，求线段的长；（ⅱ）若点在点上方，且，与平面所成角相等，平面过且与平行，判断平面与平面的夹角是否为定值，若是定值，求出这个夹角的余弦值，若不是定值，请说明理由.参考答案一、填空题1.B2.C3.C4.A5.D6.C7.A8.B二、多项选择题9.BCD10.BC11.ABD三、填空题12.8013.14.四、解答题15.解：（1）由正弦定理可得，即.（2）∵，∴，，∴，即，∴，∴，∴，∴.16.解：（1）在A（平均每天使用手机时间1小时以下）条件下，近似的频率为，用频率估计概率，得，在（平均每天使用手机时间1小时及以上）条件下，近视的频率为，用频率估计概率，得，使用手机时间少于1小时的学生近视概率约为0.4，而使用手机时间1小时及以上的学生近视概率约为0.65，两者有较大差异，因此直观判断，平均每天使用手机时间与近视有关联，使用手机时间越长，近视的概率越高.（2），，，，，，由于，∴有99%的把握认为“平均每天使用手机时间”与“近视”相关.17.解：（1）由已知可得，两式相除得：，解得，∴，∴.（2）由（1）可得，，∴，①∴，②则②-①的：，∴.18.解：（1）∵，则，当时，，即在为增函数；当时，，即在为减函数.（2）令，解得，又∵，则，∴切线方程为，设，则，可知在为增函数，在为减函数，∴，∴.（3）由（1）可知，①若，则，，不符合题意；∴；②若，则；③若，，又∵在为减函数，∴，∴，综上所述：.又∵，由，∴，即，即，设，∴，方法一：设，∴，∵在上单调递增，当时，，，，∴存在，使得，即，又∵，，即在为减函数；是，，即在为增函数，∴，又∵，则有，又∵，∴，即在为增函数，又∵，∴，即.方法二：，设，∵在单调递增，由∵，∴，∴，即在为增函数，又∵，∴，即.19.解：（1）设点到平面和直线的距离分别为，∵点在平面内，且平面与平面的夹角为，∴，得，∴点的轨迹是为焦点，为准线的抛物线，当点在抛物线的顶点处时，最小，最小值为，此时，∴四棱锥体积的最小值为.（2）设的中点为，则，如图1，以的中点为原点，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，过点且平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系，设点，则，（ⅰ）若平面与平面的交线为，因此是直线与抛物线的交点，如图2，在平面中，可以设，与抛物线方程联