2027《高一数学•函数性质专题讲义》单调性·奇偶性·最值

PAGE1高一函数性质专题讲义——单调性·奇偶性·最值（题型全解+变式训练）目录TOC\o"1-2"\h\z\u使用说明 3一、知识梳理 3二、题型精讲 5第一板块单调性（题型1—8） 5题型1用定义证明单调性 5题型2图象法求单调区间 7题型3复合函数单调性（同增异减） 8题型4抽象函数单调性（赋值法） 9题型5利用单调性比较大小 10题型6利用单调性解不等式 11题型7分段函数单调性（含参数） 12题型8由单调性求参数范围 14第二板块奇偶性（题型9—14） 15题型9判断函数的奇偶性 15题型10由奇偶性求解析式、求参数 16题型11奇偶性与单调性综合 17题型12抽象函数的奇偶性（赋值法） 19题型13对称性与周期性（◆拓展） 20题型14分段函数的奇偶性 21第三板块最值（题型15—20） 22题型15二次函数在闭区间上的最值 22题型16单调性法求最值 23题型17换元法求最值 25题型18对勾函数与基本不等式型最值 26题型19分离常数法与分式函数值域 27题型20恒成立与存在性问题 28第四板块综合（题型21—23） 30题型21单调性与奇偶性的综合应用 30题型22双变量与”任意—存在”问题 31题型23抽象函数综合（f(x+y)=f(x)f(y)型） 33附：题型—方法对照总表 35参考答案与提示 36易错点总清单（考前五分钟看） 47适用：高一（必修第一册第三章）题型：23类题目：115道（例题46道+变式69道）使用说明讲义分四块：单调性（题型1—8）、奇偶性（题型9—14）、最值（题型15—20）、综合（题型21—23）。每块内部按”概念辨析→判定→应用”的考试顺序排列。每个题型统一体例：识别特征→常用解法→例题（含完整解答）→变式训练（3题，由易到难）。变式题的答案与提示全部放在讲义最后”参考答案”部分，做完再对，不要在题干下面找答案。标记含义：★为高频易错点；◆为拓展内容（对称性、周期性、双变量），学有余力再看。一、知识梳理1.1单调性定义：设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I。若对任意x1,x2∈D，当x1<x2时都有f(x1)<f(x2)等价刻画（作差法的理论依据）：ff★三个易错点：单调区间必须是定义域的子区间，写区间时端点写开写闭要谨慎，多个单调区间之间用”和”或逗号隔开，绝不能写成并集∪。单调性是局部概念，说”f(x)单调区间不能跨过分段点、间断点拼凑。常用判定方法：方法适用对象关键动作定义法（五步）一切函数，尤其含根式、分式、抽象式取值→作差→变形→定号→结论图象法二次、绝对值、分段、对勾函数先化成分段或标准形，再画图读区间复合函数法y定定义域→拆内外层→同增异减运算性质法由已知函数组合而成增+增=增，增−减=增，-f与f赋值法抽象函数令x=y=0常见函数单调性一览：函数单调性yk>0时在R上递增；ky在-∞,-b2a递减，在yk>0时在(-∞,0)、(0y在0,a递减，在a,+∞y在R上递增；0<ay在[0,+∞)1.2奇偶性前提：定义域必须关于原点对称，这是判断奇偶性的第一步，也是最容易漏的一步★。偶函数：对定义域内任意x，都有f(-x)=f(x)奇函数：对定义域内任意x，都有f(-x)=-六条常用结论：奇函数若在x=0处有定义，则必有f(0)=0；偶函数在x奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同；偶函数在对称的两个区间上单调性相反。f(x)是偶函数⇔f(x)=既是奇函数又是偶函数的函数只有一类：f(公共定义域上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶，奇×偶=奇。判断分段函数奇偶性，要在每一段上验证f(-x)与图象的对称性推广（◆拓展）：f(a+x)=f(f(a+x)+f(若f(x)有两条对称轴x=a、x=b1.3最值定义：设函数f(x)的定义域为D，若存在对任意x∈D都有f(则称M为f(x)★两条缺一不可：“所有值都不超过”是界，“取得到”是最值。很多题目只验证了前者就下结论，是错的。求最值的五条主线：方法适用情形单调性法已知或易证单调，最值在区间端点取得二次函数法二次函数在闭区间上，看对称轴与区间的相对位置换元法含  、a2x、sin基本不等式/对勾函数形如ax+bx，注意分离常数（判别式）法分式型值域，如ax+b最值转化口诀（恒成立与存在性问题的总纲）：∀∃二、题型精讲第一板块单调性（题型1—8）题型1用定义证明单调性识别特征：题目出现”用定义证明”“判断并证明”“求证f(x)在⋯上单调”，且函数是含根式、分式、三次式的”常用解法：五步法。取值：设x1,x2作差：计算f(变形：因式分解、通分、分子有理化、配凑成”若干个符号已知的因式之积”；定号：由x1<结论：写出单调性。★变形是最难的一步。三个常用套路：分式通分后提公因式x1-x2；根式例题1-1用定义证明：f(x)=4x+证明：设0<f=(因为0<x1<x2<2，所以x于是(x1-x故f(x)在例题1-2用定义证明：f(x)=x3证明：设x1f而x（x1,x2不同时为0，而又x1-x2<0，故所以f(x)=x3变式训练11-1（易）用定义证明：f(x)=-2x+1-2（中）用定义证明：f(x)=x+11-3（难）用定义证明：f(x)=x+1题型2图象法求单调区间识别特征：给出具体函数解析式（二次、绝对值、分段、对勾函数），要求”写出单调区间”。常用解法：先求定义域（含绝对值、根式、分式时尤其重要）；化简：绝对值函数去绝对值化成分段函数；含|x|的二次式用|画出草图（只需顶点、零点、分段点三类关键点）；顺着图象从左到右读出”上升段”“下降段”。★写单调区间时，多个区间之间只能用”和”“逗号”连接，不能用∪。例题2-1求f(x解：令x-1=0得x=1，令f图象是”平底锅”形：左侧斜率为-2，中间水平，右侧斜率为2所以f(x)的单调递减区间为(-∞,-2例题2-2求f(x解：因为x2=|x|2，令先看x≥0的部分：f(x)=x2-2x+3又f(-x)=f(x)，f(x)右半段[0,1]递减⇒左半段右半段[1,+∞)递增⇒左半段(-∞,-所以f(x)的单调递增区间为[-1,0]、变式训练22-1（易）求f(x2-2（中）求f(x2-3（难）求f(x题型3复合函数单调性（同增异减）识别特征：函数是”外层+内层”的嵌套结构，如y=u(x)、y常用解法：四步走。定定义域：先解内层满足外层要求的条件（根号内≥0、对数真数>0、分母≠0拆内外层：设y=f(判内外层单调性：外层看底数、看函数类型；内层看对称轴或图象。同增异减：内外层同增或同减⇒复合后递增；一增一减⇒递减。★复合函数的单调区间一定是定义域的子集，且内层的单调区间要”切成”落在定义域内的部分。例题3-1求f(x解：令u=x2-2x-3，需内层u=x2-2x-3开口向上，对称轴x=1，故u外层y=u在[与定义域取交集后，用”同增异减”判断：在(-∞,-1]上：u递减，外层递增（异）⇒f在[3,+∞)上：u递增，外层递增（同）⇒f所以单调递增区间为[3,+∞)，单调递减区间为例题3-2求f(x解：定义域为R。令u=x2-4x+3，对称轴x=2，故u外层y=12u关于(-∞,2]上：内减外减（同）⇒f[2,+∞)上：内增外减（异）⇒f所以单调递增区间为(-∞,2]，单调递减区间为变式训练33-1（易）求f(x3-2（中）求f(x3-3（难）已知f(x)=12x2-2ax题型4抽象函数单调性（赋值法）识别特征：没有具体解析式，只给一个函数方程（如f(常用解法：赋特殊值求f(0)、f(1)、f(-x)等：令凑结构：把f(x2)-f(x1)用已知符号定号：由题干给的”x>0时由差的正负得单调性。两类必背模型：函数方程凑差方式常见附加条件ffx>0时f(xffx>1时f(x例题4-1已知f(x)的定义域为R，对任意x,y∈R都有f(x+y)=f解：先求f(0)：令x=y=0再证奇偶性：令y=-x，得f(0)=f(判断单调性：设x1<x2，则xf所以f(x2)<f(x1)例题4-2已知f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x,y>0都有f(xy)=解：设0<x1<x2，则f所以f(x2)>f(x1)变式训练44-1（易）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+4-2（中）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+4-3（难）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)+f(题型5利用单调性比较大小识别特征：给出抽象函数f(x)的奇偶性与某区间上的单调性，比较常用解法：三步转化。化到同一单调区间：用奇偶性把负自变量”翻”到[0,+∞)。偶函数用f(-a)=f比较自变量大小：常涉及2、π、12、20.3用单调性下结论：递增则”自变量大⇒函数值大”，递减则相反。例题5-1已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，比较f(-解：由偶函数得f(-因为52=2.5<又f(x)在f即f5例题5-2已知f(x)是奇函数，且在[0,+∞)上单调递减，比较f(-解：奇函数在[0,+∞)上递减，则在(-∞,0]上也递减，故f(x又f(x)在x=0因为-2f变式训练55-1（易）已知f(x)=x2-4x，比较5-2（中）已知f(x)是偶函数，且在(-∞,0]上单调递增，比较f(-5-3（难）已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递增，比较f(-题型6利用单调性解不等式识别特征：题中含f(⋯)>f(⋯)、f(⋯)<0、f(⋯)<常用解法：把不等式”剥掉函数符号”。化为f(A)>f(B用单调性脱去f：递增⇒A>B；递减偶函数用f(x)=f(|x|)：f(A)<奇函数注意符号：f(★最后一定要用定义域或原不等式的隐含范围检验。例题6-1已知f(x)是R上的增函数，且f(2解：由f(x)在2所以a∈例题6-2已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)解：由偶函数性质f(f又f在[0,+∞)2所以解集为13变式训练66-1（易）已知f(x)在R上单调递减，解不等式6-2（中）已知奇函数f(x)在R上单调递增，解不等式6-3（难）已知奇函数f(x)在(0,+∞)上单调递增，且题型7分段函数单调性（含参数）识别特征：f(x)是分两段（或多段）给出的函数，问”在R常用解法：两段都要管，还要管接头。各段内部：分别要求每段在自己区间上单调（如二次函数看对称轴位置）；接头处：要求左段在分段点处的值与右段在分段点处的值满足单调的”衔接不等式”。整体递增：左段在分段点的值≤整体递减：左段在分段点的值≥取交集得参数范围。★最易错：只算各段，忘了接头；或者接头处不等号方向写反。例题7-1已知f(x)=x+a,x<0解：左段y=x+a的斜率为1>右段y=x2+2x开口向上，对称轴接头处：x→0-时x+a所以a≤0，即例题7-2（学完指数函数后可做）已知f(x)=(2-a)x+解：左段递增⇒2右段递增⇒a接头处：左段在x=1处的极限为(2-a3综上，32变式训练77-1（易）已知f(x)=ax,x<0x27-2（中）已知f(x)=-x2+2ax,7-3（难）已知f(x)=(3a-1)x题型8由单调性求参数范围识别特征：“f(x)在区间D上单调（递增/递减）”“f(x)常用解法：二次函数：把”在D上单调”翻译成”对称轴不在D的内部”（即D落在对称轴一侧）。分式函数：先分离常数化成y=k+cx+d的形式，再看对勾函数：y=x+ax的拐点是a区间包含关系：若”f的递减区间是(a,b)“（已知区间），则参数直接等于端点；若”f在(a,b)上递减”，则例题8-1已知f(x)=x2+2(a-解：抛物线开口向上，对称轴为x在(-∞,4]上递减，等价于对称轴在41所以a∈(-∞,-例题8-2已知f(x)=ax+1x+2解：先分离常数：f因为y=1x+2在(-21所以a∈变式训练88-1（易）已知f(x)=-x2+4x+a8-2（中）已知f(x)=x+ax在8-3（难）已知f(x)=x2-ax+1第二板块奇偶性（题型9—14）题型9判断函数的奇偶性识别特征：“判断下列函数的奇偶性”，函数常含根式、绝对值、分式、指数式。常用解法：三步走。求定义域，看是否关于原点对称。不对称⇒非奇非偶，直接结束★（这是最常见的失分点，例如f(化简解析式：利用a2=|a验证f(-等于f(x)等于-f(x)都不是⇒非奇非偶；都成立（且定义域非空）⇒既是奇函数又是偶函数（只有f(x★判断前先化简，但化简不能改变定义域。例题9-1判断f(x解：由1-x2≥0得因为-1≤x≤1，所以x+2>0故定义域为[-1当x∈[-1f所以f(x例题9-2判断f(x解：定义域为R，关于原点对称。f所以f(x变式训练99-1（易）判断f(x9-2（中）判断f(x9-3（难）判断f(x题型10由奇偶性求解析式、求参数识别特征：“已知f(x)是奇（偶）函数，当x>0时f(x)=⋯，求常用解法：（一）求解析式（对称区间转化）设x<0，则-x>用f(-x)=f(x)★若定义域含0且为奇函数，必须补上f(最后写成分段函数形式，并注明定义域。（二）求参数恒等式法：由f(-x)=±f(x特殊值法：奇函数且0在定义域内⇒f(0)=★特殊值法求出后必须回代验证，防止出现”必要性成立、充分性不成立”。例题10-1已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时f解：设x<0，则f又f(x)-当x=0时，由奇函数且0在定义域内，得f(0所以f例题10-2已知f(x)=ax+bx2+1是定义在解：因为f(x)是R上的奇函数，且f于是f(f所以a=验证：f(x)=变式训练1010-1（易）已知f(x)=x2+(10-2（中）已知奇函数f(x)的定义域为R，当x<0时f(x)=x10-3（难）已知定义在R上的奇函数f(x)，当x≥0时f(x)=x2-2题型11奇偶性与单调性综合识别特征：题目同时给出”奇（偶）函数”和”在某区间上单调”，要求比较大小或解不等式。常用解法：先把单调性”补全”到整个定义域，再脱函数符号。已知推出的结论奇函数在[0,+∞)在R上递增奇函数在[0,+∞)在R上递减偶函数在[0,+∞)在(-∞,0]偶函数在[0,+∞)在(-∞,0]偶函数情形必须用f(x)=f(|x例题11-1已知f(x)是偶函数，且在[0,+∞)上单调递减，解：f(f又f在[0,+∞)x所以解集为[-1例题11-2已知f(x)是奇函数，且在R上单调递增，解不等式解：由奇函数得-ff又f在R上递增，故x所以x<-2或x>1变式训练1111-1（易）已知f(x)是偶函数，且在(-∞,0]上单调递增，比较f(-11-2（中）已知奇函数f(x)在R上单调递减，f(11-3（难）已知f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，且在[0,题型12抽象函数的奇偶性（赋值法）识别特征：给出函数方程，要求”判断奇偶性”“求某个函数值”。常用解法：令x=y=0令y=-x得到f(-x)巧构造：f(x+y)=f(x+y)+f(x-f(x+y)=f(x)★抽象函数题里，“先算f(0例题12-1已知f(x)的定义域为R，对任意x,y都有f解：令x=y=0，得f令y=-f且定义域R关于原点对称，所以f(x例题12-2已知f(x)的定义域为R，对任意x,y都有f(x+解：令x=y=0，得2f(0)=2f再令x=f所以f(x变式训练1212-1（易）已知f(x)的定义域为R，f(x+y12-2（中）已知f(x)的定义域为R，f(x12-3（难）已知f(x)的定义域为R，对任意x,y都有f(x+y)+f(x-题型13对称性与周期性（◆拓展）识别特征：题中出现f(a+x)=f常用解法：记牢三条转化。f(a+x)=f(a-x)f(a+x)+f(a-周期结论：两条对称轴x=a、x=两个对称中心(a,0)、一条轴x=a加一个中心(b特别地，奇函数+对称轴x=a例题13-1已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(1解：由f(1+x)=f(1-x)又f(x)为奇函数，f(-于是f把x换成x+2，得f所以T=4是f例题13-2已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-解：由f(x+2)=-f(x因为2027=f又f(x)为奇函数，f(-变式训练1313-1（易）已知f(x)满足f(2+13-2（中）已知偶函数f(x)满足f(113-3（难）已知奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x)，且当题型14分段函数的奇偶性识别特征：f(x常用解法：设x在未知段，则-x在已知段，代入已知表达式得f用f(-x)=±f(对比系数求参数；★校验分段点：两段在x=0处的值必须相等（否则不是函数），奇函数还要求例题14-1已知f(x)=x2+2x,x解：设x<0，则f由奇函数f(-x-与f(x)=ax例题14-2已知f(x)=x2,x≥0g解：设x<0，则-x由奇函数得-f(x)=所以g(验证：g(0)处f(0)=0，满足f(变式训练1414-1（易）已知f(x)=x3+14-2（中）已知f(x)=x2+x,x≥14-3（难）已知f(x)=x2+bx+c,x≤0-第三板块最值（题型15—20）题型15二次函数在闭区间上的最值识别特征：f(x)=a常用解法：抓住一句话——看对称轴与区间的相对位置。设对称轴为x=x0，区间为（一）开口向上（a>对称轴位置最小值最大值xffmfmax{xff（二）开口向下（a<0三类考法：定轴定区间：直接代入；动轴定区间（参数在对称轴里）：按”轴在区间左、内、右”分三类★；定轴动区间（参数在区间端点里）：按”区间在轴左、跨轴、在轴右”分三类。★分类讨论的三个临界点就是x0=m与x0=例题15-1求f(x)=x2-解：f(x)=(x因为1∈[f最大值在离对称轴较远的端点处。|0-1|=1，|3-f例题15-2已知f(x)=x2-2ax+1在区间解：对称轴x=①当a<0时，f(x)g②当0≤ag③当a>2时，f(x)g综上，g变式训练1515-1（易）求f(x)=-x2+15-2（中）已知f(x)=x2-2x+3在区间15-3（难）已知f(x)=x2-2ax+1在区间题型16单调性法求最值识别特征：函数在给定区间上已能判断单调性（一次、反比例、对勾函数在拐点一侧等），要求最值。常用解法：先判单调：一次函数看斜率，反比例看k的符号，对勾函数看拐点是否落在区间内★；单调则最值在端点：递增⇒最小值在左端点，最大值在右端点；不单调则找拐点：如y=x+ax (分式型先分离常数化成y=★对勾函数是这一题型的高频”坑”：拐点在区间内和不在区间内，答案完全不同。例题16-1求f(x)=1x-解：y=1x-1在(1,+∞)上单调递减，故f例题16-2求f(x)=x+4解：f(x)=x+4x故f(x)在[1,2]上递减，在f最大值在端点处取得，比较：f因为5>133，所以变式训练1616-1（易）求f(x)=-2x+16-2（中）求f(x)=x+416-3（难）求f(x)=x+2题型17换元法求最值识别特征：函数中含有可整体替换的结构，常见三类：根式型：f(x)=指数型：f(二次型：f(x)=常用解法：设元：令t=⋯或t=2x，并立刻写出还元：把x用t表示，原函数化为关于t的二次函数（或对勾函数）；在新范围内求最值：用题型15、16的方法；回代：写出取到最值时x的值（题目若问）。★换元的本质是”把陌生函数变成熟悉的二次函数”，但定义域会跟着变，t的范围决定了一切。例题17-1求f(x解：令t=1-x，则tf当t=12，即f又t→+∞时f→-∞，故f(x)例题17-2求f(x解：f(令t=2x，则f当t=1，即xf变式训练1717-1（易）求f(x)=17-2（中）求f(x17-3（难）求f(x题型18对勾函数与基本不等式型最值识别特征：形如f(x)=ax+常用解法：（一）模型识别：y=x+ax (a>0)在x=a处取最小值（二）基本不等式法：“一正、二定、三相等”。ax取等条件ax=bx，即（三）配凑技巧（当x有偏移时）：ax即”加一项减一项”，把分式的分母凑成与前面括号一致。★常见错误：直接用基本不等式却不管等号能否取到，得到错误的最值。例题18-1求f(x解：因为x>f当且仅当x=4x，即所以fmin例题18-2求f(x解：因为x>1，所以f当且仅当2(x-1)=1x-1，即所以fmin变式训练1818-1（易）求f(x18-2（中）求f(x18-3（难）求f(x题型19分离常数法与分式函数值域识别特征：求形如y=ax+bcx+常用解法：（一）一次除以一次：直接分离常数y（二）二次除以二次：若分子分母同次，先分离出常数；或令y为参数，整理成关于x的方程，用判别式Δ≥0求y的范围★（注意二次项系数为0（三）一次除以二次：y=xx2+1型，分x=0、x≠0（四）二次除以一次：y=x2+1x例题19-1求y=2解：分离常数：y因为3x-1≠故值域为{y例题19-2求y=x解：分离常数：y因为x2+2≥1故值域为12变式训练1919-1（易）求y=x19-2（中）求y=x19-3（难）求y=x题型20恒成立与存在性问题识别特征：题中出现”对任意x∈D恒成立”“存在x∈D使⋯成立”常用解法：两条路，先想分离参数。（一）分离参数法（首选）把参数集中到一边：a≤g(x)转化为最值：a≤g(x)a≥g(x)a≤g(x)a≥g(x)★分离时除以含x的式子，必须讨论它的正负（通常题设已保证为正）。（二）最值讨论法（参数无法分离时）直接求含参函数的min或max（分类讨论），再解关于参数的不等式。（三）双变量问题（见题型22）例题20-1已知对任意x∈[1,2]，不等式x2解：因为x∈[1,2要使上式恒成立，只需2令g(x)=x+1x，x∈[1,2]。因为g于是2a<2，即a<例题20-2已知存在x∈[0,2]，使不等式x2解：设f(x)=x2-2ax+1，对称轴x=a①当a<0时，f(x)f不满足。②当0≤af结合前提得1<③当a>2时，f(x)f结合前提得a>综上，a>1，即变式训练2020-1（易）已知对任意x∈[1,3]，x220-2（中）已知对任意x∈[1,2]，x220-3（难）已知f(x)=x2-2x+3 (x∈[第四板块综合（题型21—23）题型21单调性与奇偶性的综合应用识别特征：题目同时涉及奇偶性、单调性，要求解带f的不等式，且常数项需要”翻译”成函数值。常用解法：四步闭环。定性：由奇偶性判断图象对称性（轴或中心），由已知区间单调性推出整个定义域的单调性（题型11的表）；化形：把不等式化为f(A奇函数：-f偶函数：f(脱壳：用单调性去掉f，得到关于A,B验域：★检验A,B是否都在定义域内（尤其当定义域是有限区间[例题21-1已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在R上单调递增，f(解：由f(f由f在R上递增得x所以解集为-∞,-2例题21-2已知f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数，且在解：由偶函数得f(1-又f在[0,1两边平方（非负）得(再考虑定义域：|1-m|≤2-综上，-1≤m<变式训练2121-1（易）已知f(x)在R上单调递增，且f(a21-2（中）已知奇函数f(x)在R上单调递减，f(21-3（难）已知f(x)是定义在[-3,3]上的偶函数，且在[题型22双变量与”任意—存在”问题识别特征：题中出现两个变量x1,x2，并带常用解法：先把文字翻译成最值关系，再算最值。四句口诀：表述等价条件∀f∀f∃f∃f记忆方法：看“任意”管的是哪个最值——“任意”配”最小”（对f而言要处处成立，就得拿最小值去扛），“存在”配”最大”（只要能找一个，拿最大值去试就行）。g在不等式右边，方向相反。★两个函数定义域不同时，最值必须在各自的定义域上取。例题22-1已知f(x)=x2-2x+3 (x解：题意等价于f先求f(x)：f(x)=(再求g(x)=ax+1当a≥0时，g递增，当a<0时，g递减，①若a≥0：2≥3②若a<0：2≥1恒综上，a≤13，即例题22-2已知f(x)=x2-2x+3 (x∈[0,解：题意等价于f（对每个x1，都要能找到一个x2使不等式成立，所以g由前知fming(x)=ax-1a≥0时递增，a<0时递减，①若a≥0：2≥a②若a<0：2≥2a-综上，a≤3，即变式训练2222-1（易）已知f(x)=x2-2x (x∈[0,22-2（中）条件同22-1，若改为”存在x1,x2∈[0,322-3（难）已知f(x)=x2-2x+3 (x∈[0,题型23抽象函数综合（f(x+y)=f(识别特征：给出乘法型函数方程f(x+常用解法：三步模板。求f(0)：令x=y=0得f(0)=f(0)2，故f(0证正性：f(x)=fx2+x2=fx2作商判单调：设x1f根据题设中f(正数)与1的大小关系，判断商大于1还是小于★与题型4的”作差”相比，这一类型是”作商”，因为函数方程是乘法的。例题23-1已知f(x)的定义域为R，对任意x,y都有f(x+y)=f（1）求f(3)；（2）判断解：（1）令x=y=1，得ff（2）先证f(x)>0f若存在x0使f(x0f与f(1)=2≠0再判单调性：设x1<x2，则xf又f(x1)>0，故f(x2)>例题23-2已知f(x)的定义域为(0,+∞)，对任意x,y>0都有f(xy)=解：设0<x1<x2，则f因为f(x1)>f即f(x)在变式训练2323-1（易）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(23-2（中）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)23-3（难）已知f(x)的定义域为R，f(x+y)=f(x)f附：题型—方法对照总表题型核心方法一句话提醒1定义证明五步法变形要提出x2图象求区间去绝对值+画图区间之间不能用∪3复合函数同增异减先定定义域4抽象单调赋值+凑差凑成f5比较大小化同一区间偶函数翻正，奇函数翻号6解不等式脱壳用f7分段单调各段+接头接头不等号别写反8求参数对称轴、分离常数“是”区间与”在”区间不同9判断奇偶先看定义域不对称直接判死10求解析式设x<0用奇函数补f11奇偶+单调补全单调性偶函数必用f12抽象奇偶令x先算f13对称周期轴、中心、周期一轴一中心⇒14分段奇偶转化+对比系数校验分段点15二次最值看轴与区间三类位置分类16单调求最值判单调、找拐点拐点在不在区间内17换元设元+写范围范围决定答案18对勾函数基本不等式等号能否取到19分式值域分离常数分母不为零的那一点要挖掉20恒成立分离参数恒成立与有解方向相反21综合解不等式定性、化形、脱壳、验域忘验定义域22双变量译成最值关系“任意”配”最小”23乘法型抽象作商先证f参考答案与提示说明：变式题按”题型号-序号”编号，与正文一一对应。答案给出最终结果与关键步骤；标★处是本题的失分点。题型1用定义证明单调性1-1设x1f故f(x1)>f(x21-2先分离常数：f(设1<f（因为x2-x1>故f(x)在1-3分子有理化。设0≤f=因为x1+1+x2+所以f(x)在[0,+∞)上单调递减。（★若题型2图象法求单调区间2-1f(x)=-(x单调递增区间为(-∞,1]，单调递减区间为2-2增区间为(-∞,-1]、[1,+∞)；减区间为★不能写成”[-1,0)∪(2-3令x2-2x-3=0得零点加上绝对值后，图象在[-1,3]段增区间：(-∞,-1]、[1,+∞)（★[1,减区间：[-1题型3复合函数单调性3-1定义域[-2,2]。内层u=4-x2在[-2增区间[-2,0]3-2定义域R。内层u=x2-2x-3在(-∞,1]由”同增异减”：增区间(-∞,1]，减区间3-3外层递减，要使复合函数在[1,2]上递减，需内层u=x2-a再验证内层在[1,2]上恒正：u所以a≤1，即题型4抽象函数单调性4-1单调递增。设x1<x2，则f4-2单调递增。设x1<x2，则f★这一类型的关键是把常数项”-1“跟着搬进来一4-3先合并：f(再求常数：f(由f在R上递减，f(22解集为(-∞,2题型5比较大小5-1f(x)=(xf(2)=-4，f(15-2偶函数+(-∞,0]上递增。先翻正：因为-3<-2<-1<0，且f5-3由偶函数得f(-比较3.1、π≈3.1416、10≈f在[0,+∞)f题型6利用单调性解不等式6-1f递减，f(2x-6-2由奇函数，-fff递增，故x>1-x，即x6-3★本题必须按x-1的正负分类，且在负半轴要注意①若x-1>0，f在f②若x-1=0，f(③若x-1<0，由奇函数知f在(-∞,0f综上，解集为(-∞,-1题型7分段函数单调性7-1右段y=x2-2x对称轴左段y=ax需递增接头处：左段极限为0，f(0)=0所以a>0。（★a=0时左段为7-2右段2x-左段-x2+2ax开口向下，对称轴x=a，在接头处：f(1)=-1+2a，右段在-所以a=7-3左段递减⇒3右段ax递减⇒接头处：左段在x→1-时趋于(3a7综上，a∈题型8由单调性求参数8-1对称轴x=2，递减区间为[2,+∞)。题意要求[所以m的最小值为2。8-2①当a>0时，f(x)=x+ax在0,a②当a≤0时，y=x与y=ax在综上，a≤8-3对称轴x=a2。f(x)a即a∈(-∞,题型9判断奇偶性9-1定义域R关于原点对称，f(-x)=-9-2定义域R关于原点对称。f故为奇函数。9-3★先看定义域：需x2-1≥0且1-x此时f(-1)=f(1)=0，故所以f(x)题型10求解析式与参数10-1f(-xx对任意x成立，故a=10-2设x>0，则f由奇函数f(-xf10-3①当x<0时，设x<0f所以f②解f(当x≥0时，x2-2x>当x<0时，故解集为(-2题型11奇偶性与单调性综合11-1偶函数+(-∞,0]上递增，且因为-3<-2<0，f在(-∞,f11-2奇函数在R上递减，f(f解集为(-∞,311-3由偶函数得f(1-f在[0,1★再用定义域限制：|1-m|≤2且综上，m∈题型12抽象函数的奇偶性12-1令x=y=0得f(0)=0所以f(-12-2g(x)=f验证：由f(g即g(x+y)=g(x)+g(y)，又于是g(-x)=-g12-3①令x=y=0：2f(0②令x=y=1：f③令x=0：f(y)+f(-y)=题型13对称性与周期性13-1由f(2+x)=f(2-x)13-2偶函数图象关于x