2026-2027学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年北京市大兴区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知直线y=2x与y=kx+1平行，则k=(

)A.−1 B.1 C.−2 D.22.已知圆(x−1)2+y2=rA.1 B.2 C.3 D.43.如图，直线l1，l2，l3的斜率分别是k1，k2，A.k1<k2<k3

B.4.已知点(1,0)与点(0,1)关于直线l对称，则直线l的方程为(

)A.x−y=0 B.x−y+1=0 C.x+y=0 D.x+y−1=05.已知半径为1的圆C经过点(2,3)，则圆C的圆心的轨迹方程为(

)A.(x+1)2+(y+2)2=13 B.(x+26.若{a,b,A.b+c，b，b−c B.a，a+b，a−b

C.a+b，7.a是直线l的方向向量，u是平面α的法向量，则a⋅u=0是A.充分但不必要条件 B.必要但不充分条件

C.充要条件 D.既不充分又不必要条件8.已知圆C：(x+3)2+(y−4)2=4和两点A(−m,0)，B(m,0)，圆C与以ABA.[1,5] B.[2,6] C.[3,7] D.[3,8]9.在空间直角坐标系O−xyz中，已知点A(2,0,0)，B(0,2,0)，C(0,0,2)，D(a,a,1)，直线OC//平面ABD，则三棱锥D−ABC的体积为(

)A.23 B.43 C.2 10.在平面直角坐标系xOy中，P，Q是圆x2+(y−2)2=10上的两个动点OP⋅OQ=0，若点M满足PMA.2+2 B.2+3 C.二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。11.直线x−1=0的倾斜角为

．12.已知空间向量a=(1,−2,3)和b=(2,−4,−t)平行，则t=

．13.已知圆C：x2+y2−2x=0和直线l：ax−y−2=0，若过直线l上任意一点，总存在直线与圆C相切，则实数a的一个取值为14.如图，在正方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=1，点P满足CP=CD+λCC1，λ∈[0,1]．

(i)当λ=12时，|CP|=15.已知曲线C：x2+y2=2|x|+2|y|.给出下列四个结论：

①直线x+2=0与曲线C有2个公共点；

②曲线C上两点间的距离的最大值为42；

③若P(x,y)为曲线C上任意一点，则x−y的最大值为4；

④在曲线C围成的区域内(含曲线C)，横坐标与纵坐标都为整数的点的个数为25．三、解答题：本题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题14分)

在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，E是AB的中点.以A为原点，AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

(Ⅰ)求平面ADD1A1与平面B1EC夹角的余弦值；

(Ⅱ)求点D1到平面17.(本小题13分)

如图，平行六面体ABCD−A1B1C1D1的所有棱长均为1，∠A1AB=∠A1AD=120°，∠BAD=60°，设向量AB=a，AD=b，AA1=c．

(Ⅰ18.(本小题14分)

已知圆x2+y2−4x−4y+4=0的圆心为C，半径为r，点A(4,−1)．

(Ⅰ)求圆心C的坐标和r的值；

(Ⅱ)设线段AC的垂直平分线为l，判断直线l与圆C的位置关系；

(Ⅲ)设B为圆C上的一个动点，D为线段19.(本小题14分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAB⊥平面ABCD，PA=PB，AD//BC，AD⊥AB，AB=BC=2，AD=4，E是PD的中点．

(Ⅰ)求证：CE//平面PAB；

(Ⅱ)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使四棱锥P−ABCD存在且唯一确定，求直线AP与平面AEC所成角的正弦值．

条件①：PC=3；

条件②：AC⊥PD；

条件③：cos∠APB=35．

注：如果选择的条件不符合要求，第(Ⅱ)20.(本小题15分)

已知平面内定点M(1,2)，设P为圆O：x2+y2=1外一动点，过点P作圆O的两条切线，切点分别为A，B．

(Ⅰ)若点P的坐标为(−1,1)，求直线AB的方程；

(Ⅱ)若直线AB经过点M，求证：OP⋅OM为定值；

(Ⅲ)若动点P在以点M为圆心，23为半径的圆上，平面内是否存在定点N1.【答案】D

2.【答案】A

3.【答案】B

4.【答案】A

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】C

8.【答案】C

9.【答案】A

10.【答案】D

11.【答案】π212.【答案】−6

13.【答案】0(答案不唯一，满足a≤34即可14.【答案】[

15.【答案】②③④

16.【答案】解：(Ⅰ)根据题意可得平面ADD1A1的一个法向量为m=(1,0,0)，

又B1(1,0,2)，E(12,0,0)，C(1,1,0)，D1(0,1,2)，

所以EB1=(12,0,2)，B1C=(0,1,−2)，

设平面B1EC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅EB1=12x+2z=0n⋅B1C=y−2z=0，取n=(4,−2,−1)，

所以平面ADD1A1与平面B1EC夹角的余弦值为：

|<m，n>|=|m⋅n||m||n|=41×16+4+1=42121；

(Ⅱ17.【答案】解：(Ⅰ)A1C=AC−AA1=AB+AD−AA1=a+b−c，

由题意知，|a|=|b|=|c|=1，a⋅b=12，a⋅c=b⋅c=−18.【答案】解：(Ⅰ)圆x2+y2−4x−4y+4=0的圆心为C，半径为r，

把圆的方程转化为标准形式得：

(x−2)2+(y−2)2=4，

∴C(2,2)，r=2．

(Ⅱ)A(4，−1)，C(2,2)，AC的中点坐标为(3,12)，

kAC=−32，垂直平分线斜率为23，

∴垂直平分线为：y−12=23(x−3)，即4x−6y−9=0，

圆心到直线距离为：

d=|8−12−9|42+62=132<2，

∴直线l与圆C相交．

(Ⅲ19.【答案】解：(Ⅰ)取AP的中点G，连接BG，EG．

因为E，G分别是PD和AP的中点，

所以EG/​/AD且EG=12AD，

又因为AD//BC，BC=2，AD=4，

所以EG/​/BC且EG=BC，

所以四边形BCEG为平行四边形，

所以CE/​/BG．

又因为CE⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，

所以CE/​/平面PAB．

(Ⅱ)分别取AB，CD中点O，M，连接OP和OM，

所以OM/​/AD．

因为AD⊥AB，所以OM⊥AB，

因为PA=PB，所以OP⊥AB，

又因为平面PAB⊥平面ABCD，

平面PAB∩平面ABCD=AB，OP⊂平面PAB，

所以OP⊥平面ABCD，

所以OP⊥AB，OP⊥OM，

如图建立空间直角坐标系O−xyz．

选择条件①：PC=3．

在Rt△CBO中，BC=2，OB=1，所以OC=5，

在Rt△POC中，PC=3，OC=5，所以OP=2，

则A(1,0,0)，P(0,0,2)，C(−1,2,0)，D(1,4,0)，E(12,2,1)，

所以AP=(−1,0,2)，AC=(−2,2,0)，AE=(−12,2,1)，

设平面AEC的法向量为n=(x,y,z)，

则n⋅AC=0,n⋅AE=0,即−2x+2y=0,−12x+2y+z=0.令x=2，得y=2，z=−3．

于是n=(2,2,−3)．

设直线AP与平面AEC所成角为θ，

则sinθ=|cos<n,AP>|=|n⋅AP||n||AP|=8858520.【答案】解：(Ⅰ)因为圆O：x2+y2=1，

若过点P(−1,1)作圆O的切线的斜率不存在，

则切线方程为x=−1，其切点为A(−1,0)，

若过点P(−1,1)作圆O的切线的斜率存在，

则切线方程为y=1，其切点为B(0,1)，

故直线AB的方程为：x−y+1=0；

(Ⅱ)证明