北京市东城区北京汇文中学2026-2027学年度第一学期期中考试八年级数学学科（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页北京市东城区北京汇文中学2026-2027学年度第一学期期中考试八年级数学学科一、选择题：本题共10小题，每小题2分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列交通标志图案是轴对称图形的是（）A. B. C. D.2.小汇手里有，两根长度不同的木棒，且，．他要在以下四根木棒中选取一根与，首尾顺次相接，其中能组成三角形的是（

）A. B. C. D.3.若一个三角形的三个内角度数的比为3：4：5，则这个三角形是（）A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.无法确定4.如图，在中，，和互补，，，则（

）

A. B. C. D.5.已知点的坐标是，点先关于轴对称，然后再关于轴对称的点的坐标为（

）A. B. C. D.6.从边长为a的大正方形纸板挖去一个边长为b的小正方形纸板后，将其裁成四个相同的等腰梯形（如图甲），然后拼成一个平行四边形（如图乙），那么通过计算两个图形阴影部分的面积，可以验证成立的公式为（

）

A. B.

C. D.7.如图，在中，，是边上的中线，则长的取值范围是（

）

A. B.

C. D.不能确定8.若m为任意整数，则(2m+6)2-36的值总能

（

）A.被3整除 B.被4整除 C.被5整除 D.被6整除9.如图，在

中，

，

，

，

是

上的任意一点，连接

，将

绕点

按顺时针方向旋转至

，使

，连接

，则线段

长度的最小值为（

）

A. B. C. D.10.如图，已知和均为等腰直角三角形，，点在线段上，则下列关于结论的判断正确的是（

）结论Ⅰ：．结论Ⅱ：结论Ⅲ：阴影部分的面积和的面积相等．

A.结论Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ都对 B.只有结论Ⅰ不对

C.只有结论Ⅱ不对 D.只有结论Ⅲ不对二、填空题：本题共7小题，每小题3分，共21分。11.因式分解：

．12.如图，是的中点，，添加一个条件使得，这个条件可以是

．（添加一个即可）

13.在中，为边上的高，，，则

．14.如图所示，由四个长为a,宽为b的全等长方形拼成一个大正方形，其中a＞b＞0，若，a+b=5，则阴影部分的面积为

.

15.如图是的角平分线，点是的中点，连接，若，则和面积之间的数量关系是

．

16.点分别是长方形纸条边，上一点，且，如图所示，分别沿，折叠，点落在处，点落在处，使得，若，则

．

17.如图，中，和的角平分线交于点，经过点与交于点，以为边向两侧作等边和等边，分别和，交于点，，连接．若，，，．则下列结论中正确的有

（填序号）．①；②是等边三角形；③垂直平分；④．

三、计算题：本大题共1小题，共5分。18.因式分解：(1)；(2)．四、解答题：本题共10小题，共54分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题6分)三角形的重心为三条中线的交点．重心具有两条性质：①设三角形的顶点坐标为，，，则重心坐标为；②重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．

(1)如图1，的顶点坐标分别为，，，则其重心的坐标为

；(2)如图2，点为的重心，且，，，则图中阴影部分的面积为

．20.(本小题5分)

已知，求代数式的值．21.(本小题6分)在分解因式时，小彬和小颖对同一道题产生了分歧，下面是他们的解答过程，请认真阅读并完成相应的任务．题目：将分解因式小彬的解法：第1步第2步第3步小颖的解法：第1步第2步第3步任务：(1)经过讨论，他们发现两人中只有一人的解答正确，你认为解答正确的同学是

；而另一位同学的解答是从第

步开始出错的，你认为这位同学解答过程错误的原因是

．(2)按照做错同学的思路，写出正确的解答过程：(3)若且，求．22.(本小题4分)如图，，，．求证：．

23.(本小题6分)如图，网格中每个小格都是边长为1的正方形，点、、、都在网格的格点上．

(1)过点画直线的垂线，垂足为点；(2)比较大小：

，理由是：

；(3)线段，则点到直线的距离为

．24.(本小题5分)

两个长和宽均为正整数的长方形A、B，其中长方形A的宽是a，长方形A的长比长方形A的宽多6，长方形B的长比长方形A的长少3，长方形B的宽比长方形B的长少2，两个长方形的面积分别为、（）．(1)请你判断与的大小，并证明：(2)若满足条件的整数有且只有6个，求的值．25.(本小题5分)如图，在中，平分交于，过点作平行于的直线交于点．

(1)判断的形状，并证明；(2)点在线段上，点在射线上（不与点、重合），连接，的角平分线与相交于点．①若，，求的度数．②直接写出与的数量关系．26.(本小题5分)

定义：若一个整数能表示成（，是非负整数）的形式，则称这个数为“完美数”．例如：因为，所以26是“完美数”；(1)已知（是整数，是常数），要使对于任意整数，的值均为“完美数”，试写出符合条件的一个值

；(2)证明两个“完美数”之积仍是“完美数”．27.(本小题6分)如图，是等腰直角三角形，，，延长至，使，延长至，使，连接，．点在线段上，且点到和所在直线的距离相等，延长、交于点，延长交于点．

(1)请你依据题意，补全图形；(2)试判断线段与线段所在直线的位置关系，并证明；(3)若，，求的长．28.(本小题6分)在平面直角坐标系中，直线为二、四象限的角平分线．图形关于轴的对称图形称为图形的一次反射图，记作图形：图形关于直线的对称图形称为图形的二次反射图，记作图形，例如，点的一次反射点为，二次反射点为，根据定义，回答以下问题：

(1)①的一次反射点为

，二次反射点为

．②点在第一象限时，点、、中可以是点的二次反射点的是

．(2)若点在第三象限，点，分别是的一次、二次反射点，为等边三角形，求射线与轴所夹锐角的度数；(3)已知点，若线段的二次反射图形与直线没有公共点，则的取值范围为

．

1.【答案】B

2.【答案】B

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】C

6.【答案】C

7.【答案】A

8.【答案】B

9.【答案】B

10.【答案】A

11.【答案】

12.【答案】///（答案不唯一）

13.【答案】或

14.【答案】16

15.【答案】

16.【答案】

17.【答案】①②③④

18.【答案】【小题1】解：；【小题2】解：．

19.【答案】【小题1】

/​​​​​​​【小题2】​​​​​​​

20.【答案】解：∵，∴，∴.

21.【答案】【小题1】小彬1时，没有变号【小题2】解：【小题3】解：∵，∴，结合（1）得∶，∴或，∴或，当时，，当时，，综上所述，．

22.【答案】证明：∵，∴又∵，∴∴∴∴．

23.【答案】【小题1】解：如图，点即为所求；证明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，即是直线的垂线；【小题2】

垂线段最短【小题3】

24.【答案】【小题1】解：，证明如下：∵长方形A的宽为，长为，∴，∵长方形B的长比A的长少3，∴长方形B的长为，∵长方形B的宽比B的长少2，∴长方形B的宽为，∴，∴，∵且为正整数，∴，∴；【小题2】解：由（1）知，∵且为正整数，∴，∴，且为正整数，∵满足条件的整数有且只有6个，∴这6个整数为2026，2027，2028，2029，2030，2031，∴，解得，∵为正整数，∴．

25.【答案】【小题1】解：是等腰三角形，证明：∵平分∴∵∴∴∴∴是等腰三角形；【小题2】解：①如图，∵，∴∴∵∴；②∵，平分∴设，∴如图，当点D在线段上时，∴，∴∴；如图，当点D在射线上时，∴，∴；综上所述，与的数量关系为或．

26.【答案】【小题1】5/（答案不唯一）【小题2】证明：设两个“完美数”分别为，（均为非负整数），又，均为非负整数，符合“完美数”的定义，即两个“完美数”之积仍是“完美数”．

27.【答案】【小题1】如图，【小题2】解：线段与线段所在直线垂直，证明如下：根据题意得，，又∵∴∴∴∵，即∴∴线段与线段所在直线垂直；【小题3】解：∵是等腰直角三角形，∴∵点到和所在直线的距离相等∴平分∴∵∴∴∴∴∵∴∴，∵∴．

28.【答案】【小题1】

​​​​​​​​​​​​​​【小题2】分情况讨论：第一种情况：如图，连接，交x