上海市普陀区2026－2027学年九年级第一学期期中阶段学情检测数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页上海市普陀区2026－2027学年九年级第一学期期中阶段学情检测数学试卷一、选择题：本题共5小题，每小题3分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知，那么的值是（

）A. B. C. D.2.下列两个图形一定相似的是（）A.四个内角对应相等的两个四边形 B.四条边对应成比例的两个四边形

C.一个内角对应相等的两个菱形 D.一条边对应相等的两个矩形3.如图，在平行四边形中，点在边上，连接并延长交的延长线于点，那么下列线段的比中与不一定相等的是(

)

A. B. C. D.4.在平面直角坐标系中，对于抛物线，下列结论中正确的是（

）A.抛物线与轴交点的坐标为 B.顶点是抛物线的最低点

C.对称轴为直线 D.在对称轴左侧，图像上升5.已知抛物线经过点，，如果点，在该抛物线上，其中是正数，且始终成立，那么的取值范围是（

）.A. B. C. D.二、填空题：本题共11小题，每小题3分，共33分。6.在比例尺是1：15000000的地图上，测得甲乙两地的距离是2厘米，那么甲乙两地的实际距离是

千米．7.已知抛物线经过点，那么的值是

．8.将抛物线向左平移1个单位长度，所得新抛物线的顶点坐标是

．9.抛物线y=2x2-4x-3与x轴有

个交点．10.玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音阶.如图，实验发现当水面高度到达至点C处时，此时将瓶高AB分为AC和BC两部分，可以敲击出音阶“sol”.其中点C为瓶高AB的黄金分割点，即AC2=BC•AB，若瓶高AB=10cm,且敲击时发出音阶“sol”，则液面高度AC为

cm.

11.如图，已知直线、、分别截直线于点、、，截直线于点、、，且．如果，，，那么的长是

．

12.如图，在与中，，要使与一定相似，还需添加一个条件，这个条件可以是

．（只需填一种情况即可）

13.在中，，是边上的高．如果，，那么的长是

．

14.如图，矩形的边在的边上，顶点、分别在边、上．已知的边长为12，高为8，且，那么矩形的面积为

．

15.如图，在中，点、分别在边、上，，，为的中点，那么的值为

．

16.如果平行四边形一组邻边的中点与不在这组邻边上的顶点顺次连接而成的三角形是直角三角形，则称这个三角形为平行四边形的“中直三角形”．已知一个平行四边形的“中直三角形”的两条直角边之比为，且直角顶点在平行四边形的顶点上，那么这个平行四边形的较短边与较长边的比值为

．三、解答题：本题共7小题，共102分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17.(本小题12分)

已知抛物线的顶点为，且经过点，求这个抛物线的表达式．18.(本小题15分)如图，各顶点的坐标分别为、、．在平面直角坐标系中，画出与关于原点位似的三角形，使它与的位似比为2，并写出其各顶点的坐标：点的坐标为__________，点的坐标为__________，点的坐标为__________．（不用写画图过程，但要写出结论）

19.(本小题15分)

已知抛物线的顶点在轴的正半轴上．(1)求该抛物线的表达式；(2)已知直线l平行于轴，且与该抛物线交于、两点，点在点的左侧，如果线段的长度大于4，求点的纵坐标的取值范围．20.(本小题15分)如图，在四边形中，，是、的比例中项．

(1)求证：；(2)如果，，求的长．21.(本小题15分)如图，在中，，点在边上，过点作于点，连接、交于点．

(1)求证：；(2)若，求证：．22.(本小题15分)在学习了课本上抛物线的性质后，小普在课外查询了抛物线的其他性质，他收集到的材料如下：材料一：一般地，平面上到一个定点和到一条定直线（点不在直线上）距离相等的点的轨迹叫作抛物线，定点叫作抛物线的焦点，定直线叫作抛物线的准线．抛物线的焦点是．材料二：如图1，抛物线有一条重要性质：从焦点射出的光线，入射到抛物线上的一点并发生反射后，反射光线平行于抛物线的对称轴；反之，如图2，一束平行于抛物线对称轴的入射光线，经抛物线反射后，反射光线必定经过抛物线的焦点，并反射到抛物线上．利用这个性质，既可以将平行光汇聚到焦点，也可以把焦点处光源发出的光转化为平行光．小普准备了一支激光笔和一条用反光材料做成形如图1的抛物线的一部分．(1)以抛物线的顶点为原点，垂直于抛物线对称轴的直线为轴，抛物线的对称轴为轴，建立平面直角坐标系（如图3），这条抛物线的表达式为．①根据材料一，求该抛物线焦点的坐标；②小普用激光笔射出一束平行于轴的光线，沿直线入射到抛物线上．根据材料二，反射光线经过抛物线的焦点射到抛物线上，再沿直线反射，求直线的表达式．(2)小普进一步思考：能否调整抛物线的焦点位置，实现从指定位置的平行光入射，再从另一个指定位置平行射出，以此来实现一种加密方式．设改变焦点后的抛物线表达式为，当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出；当光线沿着直线入射时，最后的反射光线沿着直线射出．满足上述条件的是否存在，请说明理由．23.(本小题15分)如图，在矩形中，过边上的点作交边于点．

(1)求证：；(2)连接交于点，．①如图2，连接与交于点，如果，设，用含字母的代数式表示；②如图3，连接交于点，如果，求的值．

1.【答案】B

2.【答案】C

3.【答案】D

4.【答案】D

5.【答案】A

6.【答案】300

7.【答案】1

8.【答案】

9.【答案】2

10.【答案】（5-5）

11.【答案】6

12.【答案】/（答案不唯一）

13.【答案】4

14.【答案】24

15.【答案】

/

16.【答案】

17.【答案】解：抛物线的顶点为，设抛物线的表达式为，该抛物线经过点，，解得，抛物线的表达式为．

18.【答案】，如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、；如图，此时与位似，对应顶点坐标为：、、

19.【答案】【小题1】解：抛物线的顶点在轴上，抛物线的对称轴为轴，，解得，当时，，符合题意，抛物线的表达式为；【小题2】解：直线平行于轴，与该抛物线交于两点，且对称轴为轴，当时，点的横坐标分别为，当时，，此时点的纵坐标．图象开口向下，当时，．

20.【答案】【小题1】是的比例中项，，，，，，，即,．【小题2】解：，，，，，．

21.【答案】【小题1】证明：，，，，，．【小题2】，，，，，，，，，，，，．

22.【答案】【小题1】解：①抛物线的表达式为，，解得，经检验，是方程的解，焦点的坐标是；②将代入，解得，设经过焦点的光线表达式为．光线经过，，解得，经过焦点的光线的表达式为，设交点坐标为，代入，可得，解得，直线表达式为直线；【小题2】不存在，改变焦点后的抛物线表达式为，焦点的坐标是，当时，，当时，，由题意可得三点共线，，得,当时，，当时，，由题意可得三点共线，设该直线的解析式为，把，代入可得，，解得，过、的直线表达式为，将代入解得，，