沪科版八年级上册数学15.4 第1课时 等腰三角形的性质定理及推论 教学课件（新教材）

教

学

课

件沪科版八年级上册数学（25秋新教材）第15章轴对称图形与等腰三角形15.4等腰三角形第1课时等腰三角形的性质定理及推论1.了解等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的性质定理及推论，会用定理及推论解决简单问题;（重点）2.进一步培养学生分析问题、解决问题的能力，渗透转化思想;3.培养学生探究思维、逻辑推理能力以及如何规范证明题书写格式等学习方法．（难点）建筑中的等腰三角形：古典建筑

铁塔现代桥梁定义及相关概念有两条边相等的三角形叫作等腰三角形.

等腰三角形中，相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.ACB腰腰底边顶角底角底角剪一剪：把一张长方形的纸按图中的红线对折，并剪下蓝色部分（一个直角三角形），再把得到的直角三角形展开，得到的三角形有什么特点？等腰三角形的性质1ABCAB=AC等腰三角形折一折：△ABC

是轴对称图形吗？它的对称轴是什么？ACDB底边上的中线所在的直线是它的对称轴.等腰三角形是轴对称图形.找一找：把剪出的等腰三角形

ABC沿折痕对折，找出其中重合的线段和角.重合的线段重合的角

ACBDAB

与

AC

BD与

CDAD与

AD∠B

与∠C∠BAD

与∠CAD∠ADB

与∠ADC猜一猜：由这些重合的角，你能发现等腰三角形的性质吗？说一说你的猜想.定理1

等腰三角形的两个底角相等(等边对等角).应用格式：∵AB=AC(已知)，∴∠B=∠C(等边对等角).

等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴。要点归纳已知：△ABC

中，AB=AC，求证：∠B=∠C.证法：作底边

BC边上的中线

AD.在△ABD

与△ACD

中，AB=AC(已知)，BD=DC(已作)，AD=AD(公共边)，∴

△ABD≌△ACD(SSS).∴

∠B=∠C.ABCD猜想验证你还有其他的证明方法吗？解：∵AB

=

AC

(已知)，∴∠B

=∠C

(等边对等角).∴∠B

=∠C

=×(180°

-

120°)=

30°.又∵BD

=

AD

(已知)，∴∠BAD

=∠B

=

30°(等边对等角).同理，∠CAE

=∠C

=

30°.∴∠DAE

=∠BAC

-∠BAD

-∠CAE

=

120°

-

30°

-

30°

=60°.例1如图，在△ABC

中，AB

=

AC，∠BAC

=

120°，点

D，E

是底边上两点，且

BD

=

AD，CE

=

AE.求∠DAE

的度数.

ABCD

例2

如图，在△ABC中，AB=AC，点

D在

AC上，且

BD=BC=AD，求

△ABC各角的度数.分析：(1)找出图中所有的相等角；(2)找出图中有几个等腰三角形；∠A=∠ABD，∠C=∠BDC=∠ABC.△ABC，△ABD，△BCD.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x(3)观察∠BDC与∠A的关系，∠ABC、∠C呢?∠BDC=∠A+∠ABD=2∠A，∠ABC=∠BDC=2∠A，∠C=∠BDC=2∠A.(4)设∠A=x°，请把△ABC的内角和用含

x

的式子表示出来.∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴x+2x+2x=180°.解：∵

AB=AC，BD

=

BC

=

AD，∴

∠ABC

=∠C

=∠BDC，∠A

=∠ABD.设∠A

=

x，则∠BDC

=∠A

+∠ABD

=

2x，从而∠ABC

=∠C

=∠BDC=2x.于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°，解得x

=

36°.∴在△ABC中，∠A

=

36°，∠ABC

=∠C

=

72°.ABCDx⌒2x⌒2x⌒⌒2x方法总结：利用等腰三角形的性质和三角形外角的性质可以得到角与角之间的关系，当这种等量关系或和差关系较多时，可考虑列方程解答，设未知数时，一般设较小的角的度数为

x.

如图，在△ABC中，AB=AD=DC，

∠BAD=26°，求∠B和∠C

的度数.解：∵

AB=AD=DC，∴∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.设∠C=x°，则∠DAC=x°，

，∴∠ABD=∠ADB=∠C

+∠DAC=2x°.在△ABC中，根据三角形内角和定理，得2x+x+26

+x=180，解得

x=38.5.∴∠C=x°

=38.5°，∠B=2x°

=77°.变式训练：例3

等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的底角的度数.解：当

50°

的角是底角时，三角形的底角就是

50°；当

50°

的角是顶角时，由于两底角相等，根据三角形的内角和定理易得底角是

65°.方法总结：等腰三角形的两个底角相等，已知一个内角为锐角时，则这个角可能是底角也可能是顶角，要分两种情况讨论．

问题1等边三角形的三个内角之间有什么关系？ABCABC等腰三角形AB=AC∠B=∠C等边三角形AB=AC=BCAB=AC∠B=∠CAC=BC∠A=∠B∠A=∠B=∠C类比探究等边三角形的性质2推论：等边三角形的三个内角相等，且都等于60°.已知：△ABC

中，AB=AC=BC.

求证：∠A=∠B=∠C=60°.

证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C(等边对等角).

同理，∠A=∠C.∴∠A=∠B=∠C.∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=∠B=∠C=60°.ABC例4

如图，△ABC是等边三角形，E是

AC上一点，D是

BC延长线上一点，连接

BE，DE，若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度数．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°.∵∠ABE＝40°，∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.∵BE＝DE，∴∠D＝∠EBC＝20°.∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.方法总结：等边三角形的三个内角都是60°，这个性质常应用在求角度的问题上，一般需结合“等边对等角”、三角形的内角和与外角的性质求解.ABCDE2.如图，在△ABC

中，AB

=

AC，过点

A

作

AD∥BC，若∠1

=

70°，则∠BAC

的大小为（）

A．30°B．40°C．50°D．70°

B1.等腰三角形有一个角是

90°，则另两个角的度数分别是（）

A.30°，60°

B.45°，45°

C.45°，90°

D.20°，70°

BABCD1⌒3.(1)等腰三角形一个底角为

75°，它的另外两个角为

__________；

(2)等腰三角形的一个角为

36°，它的另外两个角为

____________________；

(3)等腰三角形的一个角为

120°，它的另外两个角为

.75°，30°72°，72°或36°，108°30°，30°4.如图，已知△ABC为等腰三角形，AB＝AC，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.∴∠DBC＝∠ECB.∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F.∴EC∥DF.证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.又∵BD、CE为底角的平分线，ABCDEF5.如图，点

P为等边△ABC的边

BC上一点，且∠