2026年云南省高中学业水平合格考试数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）云南省2026年普通高中学业水平合格性考试数学试卷真题注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.请在答题卡指定位置按规定要求作答，答在试卷上一律无效.参考公式：如果事件A、B互斥，那么.如果事件A、B相互独立，那么.球的表面积公式：，体积公式：，其中R表示球的半径.柱体的体积公式：，其中S表示柱体的底面面积，h表示柱体的高.锥体的体积公式：，其中S表示锥体的底面面积，h表示锥体的高.选择题（共66分）一、选择题：本题共22小题，每小题3分，共66分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设集合，，则（

）A． B．C． D．2．记i为虚数单位，在复平面内，复数对应的点为（

）A． B． C． D．3．设平面向量，.若，则实数（

）A． B． C． D．4．下列函数中是增函数的为（

）A． B．C． D．5．设，则（

）A． B． C． D．6．记i为虚数单位，，则（

）A． B． C． D．7．（

）A．1 B．2 C．5 D．78．不等式的解集为（

）A．或 B．C．或 D．9．函数的最小正周期为（

）A． B． C． D．10．设平面向量，满足，与的夹角的余弦值为，，则（

）A．5 B．4 C．3 D．211．设函数，则的零点所在区间为（

）A． B． C． D．12．若，则下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．13．函数的定义域是A． B．C． D．14．某高级中学共有高一、高二和高三三个年级，高一年级有学生人，高二年级有学生人，高三年级有学生人.现按年级进行分层，用分层随机抽样的方法从该校学生中抽取60人进行有关研究，应抽取高二年级学生（

）A．人 B．人 C．人 D．人15．函数在区间上的最小值为（

）A． B． C． D．16．设函数是定义域为的奇函数.若，则（

）A．−3 B．−1 C．0 D．317．将函数图象上所有点向下平移个单位长度，所得图象的函数解析式为（

）A． B．C． D．18．设函数，则（

）A．0 B．2 C．4 D．819．甲、乙两名射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，甲的测试成绩为（单位：环）：8，7，8，9，7，8，8，9，9，7，这组数据的方差为；乙的测试成绩为（单位：环）：8，7，6，7，8，9，10，9，9，7，这组数据的方差为.与的大小关系为（

）A． B． C． D．无法确定20．设，则（

）A． B． C． D．21．设，，，则，，的大小关系为（

）A． B． C． D．22．已知是三个不同的平面，是两条不同的直线，下列命题为真命题的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则非选择题（共34分）二、填空题：本题共4小题，每小题4分，共16分.23．设是角终边上一点，则________.24．设，则的最大值为______.25．一个不透明的袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有3个红球，1个白球.从这个袋子中一次随机摸出2个球，则摸出的2个球中恰好有1个白球的概率为________.26．设一个正方体的八个顶点都在球的球面上，若这个正方体的棱长为6，则球的表面积为________.三、解答题：本题共3小题，共18分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.27．甲、乙两人参加某项技能测试，已知甲通过测试的概率为0.7，乙通过测试的概率为0.8，而且甲通过测试与乙通过测试是相互独立的.(1)求甲、乙两人恰好有一人通过测试的概率；(2)求甲、乙两人至少有一人通过测试的概率.28．如图，在直三棱柱中，D是的中点，.(1)求证：平面；(2)若，，，求三棱锥的体积.29．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.(1)若，求A的值；(2)若，求的最大值.答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】因为集合，，由交集的定义得．2．B【详解】因为复数的实部为2，虚部为，所以复数对应的点为.3．A【详解】由，则，解得.4．D【详解】对于A，函数的一次项系数为，所以在上为减函数，A不符合题意；对于B，函数在上为减函数，在上为增函数，因此在整个定义域上不是增函数，B不符合题意；对于C，函数的底数满足，所以在上为减函数，C不符合题意；对于D，函数的定义域为，底数，所以在上为增函数，D符合题意．5．B【详解】由题意可得：.6．C【详解】.7．B【详解】.8．B【分析】由可得异号，分类讨论解不等式组可得答案.【详解】因为，所以或，解得或，综上可得，不等式的解集为，故选：B.9．D【详解】由可知，所以最小正周期．10．C【详解】因为，则，j，即，解得.11．B【详解】由函数，易知函数在定义域上单调递增，又因为，，所以，根据零点存在性定理可知，的零点所在区间为.12．B【分析】根据不等式的性质，逐一分析各个选项，即可得答案.【详解】若，则，故A错误，B正确；因为，所以，则，故C错误；因为，所以，故D错误.13．C【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0联立不等式组求解的取值集合即可得到函数的定义域．【详解】解：由，解得：且．函数的定义域是．故选：C．【点睛】本题考查了函数的定义域及其求法，属于基础题．14．B【详解】由题意可知高二年级抽取的人数为人.15．A【详解】因为函数在区间上单调递增，所以当，函数在区间上取到最小值.16．D【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且，所以.17．C【详解】将函数图象上所有点向下平移个单位长度，所得图象的函数解析式为.18．D【分析】根据分段函数解析式求值即可.【详解】由，所以.19．C【分析】求出甲乙的方差即可得答案.【详解】设甲的平均数为，则，所以，设乙的平均数为，则，所以，所以.20．A【分析】展开正切的两角和公式，代入已知计算即可.【详解】由，则.21．B【分析】根据对数函数性质估计的范围，再计算的范围，结合平方根的性质估计，由此可得结论.【详解】因为函数在上单调递增，，所以，故，又，，所以.22．C【分析】根据空间中的直线与直线，直线与平面，平面与平面的位置关系，对照四个选项一一判断.【详解】对于A，由，得或与相交.故A错误；对于B，若，则m与n可能是异面直线、也可能是相交直线，也可能是平行直线.所以B错误；对于C，若，由线面垂直的性质定理知，所以C正确；对于D，若，则与可能相交，也可能平行.所以D错误.故选：C.23．6【详解】因为是角终边上一点，所以.24．5【详解】∵，∴，当且仅当时等号成立.故的最大值为5.25．##【分析】先写出样本空间，得到样本点总数；再确定目标事件所包含的样本点个数；最后代入古典概型公式求其概率.【详解】记3个红球分别为、、，1个白球为，从袋中一次随机摸出2个球，其样本空间为，样本空间中共有6个样本点，且每个样本点出现的可能性相等，设“摸出的2个球中恰好有1个白球”为事件，则，事件包含3个样本点，根据古典概型概率公式得，所以摸出的2个球中恰好有1个白球的概率为.26．【详解】正方体的对角线就是球的直径，即，故，则球的表面积为.27．(1)(2)【分析】（1）将“恰好一人通过”拆分为两个互斥的独立事件，依据独立事件乘法公式分别计算概率，再由互斥事件加法公式求和；（2）采用正难则反的思路，将“至少一人通过”转化为其对立事件“两人都不通过”，利用对立事件概率和为1简化运算.【详解】（1）记甲通过测试为事件，乙通过测试为事件，则，因为相互独立，因此、也分别相互独立，则甲、乙恰好有一人通过测试的概率为.（2）由于相互独立，所以也相互独立，故甲、乙两人至少有一人通过测试的概率为.28．(1)证明：是直三棱柱，平面，平面，，，，、平面，平面.(2)8【详解】（1）略（2）解法一（割补法）：，，，故.解法二（等体积法），过点C作边上的高，不妨设为h，则，得.，.29．(1)(2)【分析】（1）先根据已知和正弦定理得，然后利用余弦定理求得，进而根据角的范围求解即可；