30.1.2 圆的切线 第2课时 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

人教版教材九年级上册数学第三十章《直线与圆的位置关系》30.1.2圆的切线第1课时切线的性质和判定定理理解并掌握圆的切线性质定理和判定定理.（重点）二会判定一条直线是否是圆的切线并会过圆上一点作圆的切线.一学习目标能运用圆的切线性质定理和判定定理解决问题.（难点）三直线与圆的位置关系相离相切相交图形

公共点个数0个1个2个公共点名称

切点交点直线名称切线割线圆心到直线距离d>rd=rd<r知识回顾PAlO探究新知思考：⊙O的半径

OA与过点

A的切线

l有什么关系？··如图，设

P为直线l上不同于点A的点，因为直线l与⊙O只有一个公共点A，所以点P在⊙O外.从而

OP＞OA，即半径

OA是圆心

O与直线l上的点的最短连线.因此，半径

OA与直线l垂直.用反证法证明试一试.垂直切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径.探究新知几何符号语言：∵直线l是⊙O

的切线，

OA是⊙O

的半径，A为切点.∴

l⊥OAAl··O

如图，

AB是⊙O的弦，PB与⊙O相切于点B，圆心O在线段PA上，已知∠P=50°，求∠A的度数.跟踪训练∴∠A=∠POB=20°∵PB与⊙O相切于点B∴PB⊥OB∴∠POB=90°-∠P=40°解:如图，连接

OB∴∠OBP=90°又∠P=50°方法总结：与切线相关的常见辅助线作法见切点，连半径，得垂直.思考：按上述性质，若⊙O的切线

l经过半径

OA的外端点

A，那么l⊥OA.反过来，如图，若直线

l过半径

OA的外端点

A，且l⊥OA，那么直线

l是⊙O的切线吗？探究新知Al··O可以看出，这时圆心

O到直线

l的距离就是⊙O半径，因而直线

l就是⊙O的切线.切线的判定定理

经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.探究新知Al··O几何符号语言：∵OA是⊙O的半径，l⊥OA于点

A，∴

直线

l就是⊙O的切线.注意：判定定理中的两个条件缺一不可，否则不成立.①经过半径的外端；②垂直于这条半径.判断一条直线是一个圆的切线有三个方法：1.定义法：直线和圆只有一个公共点时，我们说这条直线是圆的切线.2.数量关系法：圆心到这条直线的距离等于半径(即d=r)时，直线与圆相切.3.判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.lAlOlrd方法归纳思考：已知一个圆和圆上的一点，如何过这个点作圆的切线？探究新知lPO方法一：运用直角三角尺作图如图，设P为⊙O上一点，连接OP，则OP是⊙O的半径，过点P作OP的垂线l，则直线l就是⊙O的切线.方法二：运用尺规作图如图，设P为⊙O上一点

，则OP是⊙O的半径.1.连接OP并延长，2.以点P为圆心,适当长为半径作弧,交射线OP于点A，B，3.分别以点点A，B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点C，4.点C，P作直线l，则直线l就是⊙O的切线.POlABC例1已知,如图,直线AB经过⊙O上的点C，并且OA=OB，CA=CB.

求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB过⊙O上的点C，所以连接OC，则OC是⊙O的半径，只要证明AB⊥OC即可.

证明：连接OC.在△OAB中，OA＝OB，CA＝CB∴OC⊥AB.∵OC是⊙O的半径,∴直线AB是⊙O的切线.例题解析变式已知，如图，OA＝OB＝5，AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.OBAC分析：由于AB与⊙O有没有公共点还不确定，所以过点O作OC⊥AB，只要证明

OC是半径,则AB就是切线.又⊙O的直径为6∴OC是⊙O的半径3又OC⊥AB∴直线AB是⊙O的切线证明：过点O作OC⊥AB于C∴在△OAB中，OA＝OB＝5，OC⊥AB，AB＝8∴在Rt△ACO中，OA＝5，AC＝4∴例题解析如图，已知直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝OB，CA＝CB.求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO如图，OA＝OB＝5，AB＝8,⊙O的直径为6.求证：直线AB是⊙O的切线.CBAO对比思考？方法归纳与切线相关的常见辅助线作法有交点，连半径，证垂直无交点，作垂直，证半径l为⊙O的切线◆经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.OlA◎第一步：◎第二步：有公共点连半径作垂直◎第三步：证垂直证半径无公共点方法归纳跟踪训练1.如图,AB是⊙O的直径，点

D是⊙O上一点，且∠ADC＝∠B，求证：直线

CD与⊙O相切．又AB是⊙O的直径∴∠A+∠B=90°又∠ADC=∠B解：如图，连接OD∵OA=OD∴∠A=∠ODA∴∠ADB=90°∴∠ODA+∠ADC=90°∴

CD⊥OD又OD是⊙O的半径∴直线

CD与⊙O相切2.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠BAC的平分线交BC于O，

以

O为圆心，OB长为半径作⊙O．求证：AC是⊙O

的切线．OD又AO平分∠ABC，OB⊥AB，OD⊥AC又OB是⊙O为半径证明：如图，过点O作OD⊥AC与于D∵∠ABC=90°∴

OB⊥AB∴OB=OD又OD⊥AC∴AC是⊙O

的切线∴OD也是⊙O为半径跟踪训练例题解析例2如图,AB是⊙O的弦，PA是⊙O的切线，且PA＝PB，求证：

PB是⊙O的切线．OBAP证明：如图，连接OA,OB,OP∵PA是⊙O的切线，A为切点∴

PA⊥OA,则∠PAO=90°在△POA与△POB中

PA=PB

OP=OP(公共边）OA=OB∴△POA≌△POB(SSS）∴PB⊥OB又OB是⊙O为半径∴

∠PBO=∠PAO=90°∴PB是⊙O的切线转动雨伞时飞出的雨滴在生活中，有许多直线与圆相切的实例.例如，列车车轮的边沿与铁轨的上沿是相切的，在砂轮上打磨工件时产生的火星是沿着圆的切线飞出的（如图）.用砂轮磨刀时擦出的火花生活实例车轮的边沿与铁轨上沿1.如图，线段

AB是☉O的直径，直线AC与AB交于点

A，∠ABC=45°，且AB=AC.求证：AC是☉O的切线.分析:直线AC经过半径OA的外端，因此只要证OA垂直于AC

即可.随堂练习OBAC随堂练习2.如图，

AB是☉O的直径，直线l1与l2是☉O的切线，

A,B是切点.l1与l2有怎样的位置关系？证明你的结论.证明：l1∥l2，理由如下：∵直线l1是☉O的切线，

A是切点，且AB是☉O的直径∴l1⊥AB同理l2⊥AB∴l1∥l2∴∠1

=∠2

=90°.OBAl2l112随堂练习3.如图，在以点

O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB小圆相切，点

P为切点，求证:

AP=BP．OBAP证明：如图，连接OP∵AB是小圆的切线，点

P为切点∴OP⊥AB∴AP=BP又OP是☉O的半径切线的性质与判定性质定理圆的切线垂直于过切点的半径有切线时常用辅助线添加方法：见切点，连半径，得垂直.判定定理经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.证切线时常用辅助线添加方法：①有公共点，连半径，证垂直；②无公共点，作垂直，证半径.课堂小结1.如图,A是☉O上一点，且OA=5，OP=13，AP=12，则PA与☉O的位置关系是_____.课后追踪相切课后追踪2.如图,点D在⊙O的直径AB的延长线上,点C在⊙O上,AC=CD,∠D=30°.求证：CD是⊙O的切线OABCD证明连接OCAC=CD∠D=30°∠A=∠D=30°OA=OC∠OCA=∠A=30°∠COD=∠A+∠OCA=60°∠OCD=180°−60°−30°=90°OC⊥CDOC是半径所以CD是⊙O的切线3.如图,△ABC中,AB=AC,以AB为直径的⊙O交边BC于P，PE⊥AC于E.求证：PE是⊙O的切线.拓展提升证明连接OPAB=AC∠B=∠COB=OP∠B=∠OPB∠OPB=∠COP∥ACPE⊥ACPE⊥OPOP是半径所以PE是⊙O的切线拓展提升

4.如图，△ABC为等腰三角形，O是底边BC的中点，腰AB与⊙O相切

于点D.求证：AC是⊙O的切线.

证明过点O作OE⊥AC，垂足为E，连接OD，OAAB切⊙O于DOD⊥AB△ABC是等腰三角形，O是BC中点AO平分∠BACOD⊥AB，OE⊥ACOD=OEOD是半径，OE等于半径所以AC是⊙O的切线解：直线CD与⊙O相切，理由如下：连接OC.∵C为的中点，∴.∴∠DAC＝∠BAC.∵OA＝OC，∴