第二十七章 相似数学活动1测量旗杆的高度教学设计（初中九年级数学）

第二十七章相似数学活动1测量旗杆的高度教学设计（初中九年级数学）一、教学背景与设计意图“相似”是九年级下册的核心内容，学生已经掌握了相似三角形的判定与性质，具备了一定的几何推理能力。本节数学活动以“测量旗杆的高度”为载体，将课堂所学与生活实际紧密相连，目的是让学生经历“提出问题—建立模型—设计方案—实际操作—反思优化”的完整数学活动过程。这不仅是对相似三角形知识的综合运用，更是发展学生数学建模、直观想象、逻辑推理等核心素养的重要契机。在2025—2026学年的人教版教材体系中，这一数学活动被安排在第二十七章末，具有明显的综合性与实践性。教师应当跳出单纯解题的窠臼，把课堂还给学生，让测量活动真正发生，让学生在动手动脑中获得真知。本设计立足课标要求，突出学生主体地位，注重活动过程的层次性与可操作性，力求让每一位学生都能在活动中获得成功的体验。二、教学目标设定依据《义务教育数学课程标准（2022年版）》对第三学段“图形与几何”领域的要求，结合本节活动特点，确定如下教学目标。1.知识与技能目标：学生能够依据相似三角形的判定与性质，设计出测量旗杆高度的合理方案，并能正确运用比例关系计算旗杆高度，误差控制在合理范围内。2.过程与方法目标：经历从实际情境中抽象出数学问题、建立相似三角形模型、进行测量与计算的全过程，体会数学建模的基本方法，积累数学活动经验。3.情感态度与价值观目标：激发学生探究生活中的数学问题的兴趣，培养合作交流意识与严谨求实的科学态度，增强用数学眼光观察世界的自觉性。三、教学重难点分析重点：以相似三角形为工具，设计测量旗杆高度的多种方案，并正确进行实测与计算。难点：测量方案中辅助线的构造与比例关系的建立，以及如何对测量结果进行合理的误差分析。其中，难点集中在“影子测量法”中旗杆影子端点难以准确定位的问题，以及“平面镜反射法”中反射角与入射角相等的抽象理解。学生往往知道相似模型，但在实际情境中难以准确提取数学模型，这正是教师需要着力引导之处。四、学情分析授课对象为九年级学生，他们已经系统学习过相似三角形的判定（两角分别相等、两边成比例且夹角相等等）与性质（对应边成比例、对应高、对应中线、对应角平分线的比等于相似比等）。同时，学生在七八年级已经具备了一定的测距、作图与数据处理能力。然而，学生的知识多停留在纸面解题层面，面对真实的旗杆，往往有如下困难：不知如何把实物转化为几何图形，不会选择合适的测量工具，容易忽略测量误差。此外，小组合作中的分工协调能力也有待锻炼。因此，本活动设计关注从“抽象问题”到“直观操作”的过渡，用层层递进的问题串引导学生主动思考，以小组合作的形式让每位学生都参与到测量实践中去。五、教法学法与教学准备教法：以“活动探究法”为主，辅以“启发式问答法”与“讲练结合法”。教师作为组织者、引导者与合作者，不直接给出方案，而是通过追问、点拨、对比来推动学生自主建构。学法：小组合作探究、动手实测、计算对比、交流反思。教学准备：皮尺或卷尺若干（每组一个）、刻度尺、量角器、平面镜（每组一面）、标杆（每组一根）、记录表（每组一份）、粉笔、计算器（可手机替代）。课前选择天气晴朗的日子，确保旗杆投影清晰可见。若遇阴天，则启用备选方案——室内模拟测量（利用自制旗杆模型配合灯光投射）。六、教学过程设计（一）创设情境，激发兴趣上课伊始，教师带领学生来到操场旗杆下，指着高耸的旗杆提问：“同学们，谁能快速告诉我这面旗杆有多高？你有多少种办法得到它的高度？”学生一般在物理课或生活经验中知道一个数字，例如“十米左右”，但当教师追问“你能不能自己动手、准确地测量出来”时，学生便会陷入思考。教师顺势展示两根不同长度的标杆，以及卷尺等工具，继续追问：“如果不用梯子爬上去，不能直接拉着皮尺量，你还能想出什么办法？”这个问题引起了学生的认知冲突。教师并不急于给出答案，而是请学生自由发言，教师将学生提出的各种“猜测方案”写在黑板上，如“量影子”、“用镜子”、“用标杆”、“拍照比高度”等。随即教师揭示课题：“今天我们就来当一次小小测量师，用我们已经学过的相似三角形的知识，把旗杆的高度精确地求出来。”设计意图：以真实情境引入，引发认知冲突，迅速聚焦到“如何间接测量高度”这一核心问题，为后续建模活动埋下伏笔。（二）温故知新，铺设路径回到教室后，教师用三个问题引导学生回忆相关知识。问题1：要判断两个三角形相似，我们学过哪些方法？学生回答：两角分别相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似；三边成比例的两个三角形相似。问题2：相似三角形有哪些性质？学生回答：对应角相等，对应边成比例。相似比等于对应边的比。问题3：如果我们在阳光下来测量旗杆，地面上的影子与旗杆本身会构成一个什么样的图形？学生可以在纸上画出草图：旗杆垂直于地面，影子在地面上，旗杆顶点、影子端点与旗杆底部构成一个直角三角形。教师继续提问：“与此同时，如果我们竖直插一根已知长度的标杆，它的影子是否也构成一个直角三角形？这两个三角形有什么关系？”经过讨论，学生确认：阳光下，同一时刻，光线是平行的，因此旗杆与标杆顶端的光线与地面的夹角相等，同时两个直角相等，所以两个直角三角形相似。教师板书核心关系：旗杆高度∶标杆高度＝旗杆影子长∶标杆影子长。设计意图：三个问题构成一条逻辑链，帮助学生唤醒知识储备，同时把“平行光线”这一隐含条件凸显出来，为第一套测量方案扫清障碍。（三）方案构建，层层深入教师把学生分成六人小组，给出任务卡：请每组设计一种测量旗杆高度的方案，要求写出测量工具、测量步骤、数学原理和计算公式。每组分发一张大白纸，鼓励学生画出图形并写出比例式。教师在组间巡视，适时点拨。经过约10分钟的组内讨论，各组上台展示方案。教师归纳提炼出三套主流方案。方案A：影子测量法。测量工具：皮尺、标杆。测量步骤：①在阳光下，竖直立一根标杆，记其高度为a；②分别测量旗杆的影子长度L₁和标杆的影子长度l₁；③设旗杆高度为H，由相似可得H∶a＝L₁∶l₁，即H＝a×L₁÷l₁。方案B：平面镜反射法。测量工具：皮尺、平面镜。测量步骤：①在旗杆前方适当位置放置一面平面镜，人站在镜子与旗杆之间，调整位置直到从镜子中恰好看到旗杆顶端；②记录人眼高度d、镜子到人的距离b、镜子到旗杆底部的距离c；③由光的反射定律，入射角等于反射角，且人与地面、旗杆与地面均垂直，因此两个直角三角形相似，得到H∶d＝c∶b，即H＝d×c÷b。方案C：标杆辅助法（目测法）。测量工具：皮尺、标杆。测量步骤：①一名学生手持标杆竖直站立，另一名学生后退观察，使旗杆顶端、标杆顶端与观测点三点共线；②测量人眼位置到旗杆的水平距离，以及人眼到标杆的水平距离；③利用三角形相似计算旗杆高度。教师在每组汇报后，组织全班进行质疑与补充，重点追问：“每种方案的误差可能来自哪里？如何减小误差？”设计意图：让学生自主设计测量方案，经历从实际问题到数学模型的抽象过程，发展建模素养与创新意识。教师的追问引导学生关注测量的精确度，培养严谨的科学态度。（四）实操测量，数据采集再次带队到操场，每组选择一种方案进行实地测量。教师强调测量要求：①标杆必须竖直（可用铅垂线检验）；②皮尺要拉直，读数要准确；③测量影子长度时，应选择影子清晰、边缘明确的时刻；④每人至少测量三次，取平均值。学生在操场上动手操作，教师巡回指导。对于影子端点不清晰的问题，教师引导学生可在影子上铺白纸，或用粉笔沿影子边缘描点，再取多个点定位端点。对于平面镜反射法，教师提醒学生保持平面镜水平，镜子位置要固定，人的眼睛高度要多次确认。每个小组的记录表如表1所示。表1测量旗杆高度记录表方案名称 测量次数 已知量（单位：米） 计算高度（米） 平均高度（米）影子测量法 第一次 标杆高a=—— 第二次 旗杆影长L₁=标杆影长l₁= ———— 第三次 —— ——实际操作中，各组大约需要15分钟获得完整数据。（五）数据汇总，误差分析回到教室后，各组汇报测量结果。教师将各组数据输入电子表格，实时投影展示，形成对比。表2各小组测量结果对比小组序号 所用方法 旗杆高度测得值（米） 与前一组差值（米）第1组 影子法 10.2 ——第2组 镜子法 9.8 0.4第3组 标杆法 10.5 0.7第4组 影子法 10.1 0.4第5组 镜子法 10.0 0.1第6组 标杆法 9.6 0.4教师引导学生分析：为什么不同组得到的数据有差异？误差主要来源有哪些？学生经过讨论归纳出：影子端点定位不准、标杆倾斜、皮尺拉伸不均匀、读数时视线偏斜、镜子位置移动等。教师追问：“如何改进才能让数据更准确？”学生提出：多次测量取平均值、使用更精细的工具、确保标杆竖直、在影子上做标记、多人协作读数互相校验。教师总结：“测量中误差不可避免，但通过合理的方法可以减小误差。这就是科学测量的精神——追求精确，同时承认误差存在。”设计意图：通过数据对比和误差分析，让学生体会到数学理论与工程实践之间的差距，培养实事求是的科学态度与精益求精的工匠精神。（六）变式拓展，思维进阶教师抛出进阶问题：“如果没有阳光，没有镜子，你还能测出旗杆的高度吗？”小组再次讨论。有学生想到利用已知高度的建筑物作为参照，也有的想到用无人机辅助，还有的提出利用等腰直角三角形的性质——在地面上摆放一个等腰直角三角形，通过调整位置使斜边与视线重合。教师顺势介绍一种新方法——等腰直角三角板法：将等腰直角三角板的直角边竖直放置，人眼通过斜边瞄准旗杆顶端，调整人与旗杆的距离，使视线沿斜边掠过，此时人与旗杆间的水平距离等于三角板的底边到旗杆顶端的竖直高度差，再加上人眼高度即可得到旗杆高度。这一方法不需要影子，也不需要镜子，在阴天同样适用，极大拓展了学生的思维。教师再追问：“如果进一步拓展，不测量距离，只拍摄一张照片，能估算旗杆高度吗？”学生思维被再次激活，交流出参照物比例估算法，教师肯定并鼓励课后尝试。设计意图：变式问题打破学生的思维定势，引导学生认识到同一问题有多条解决路径，渗透模型多样化思想。（七）课堂小结，升华提升教师引导学生围绕三个层面进行小结。知识层面：用相似三角形的判定与性质解决测高问题，关键是从实际情境中抽象出几何模型。方法层面：测量、计算、误差分析、方案优化构成了完整的数学活动链。情感层面：数学不是书本上的抽象符号，而是能够解决生活问题的有力工具。教师以一句话收束课堂：“今天我们量出的不仅是旗杆的高度，更是数学与生活之间的桥梁。”课后作业布置：①以小组为单位，写一篇测量报告，包含方案、数据、计算、误差分析、改进建议；②尝试用手机拍照法估算校园内另一座建筑物的高度，下节课交流。设计意图：回顾反思，使知识结构化；布置探究性作业，延伸学习时空，推动深度学习持续发生。七、教学评价设计本课采用过程性评价与终结性评价相结合的方式。过程性评价聚焦课堂中的参与度、合作交流能力、方案设计的合理性与操作的规范性，教师利用观察记录表对每组进行随时记录。终结性评价以课后测量报告为主，评价指标包括：方案的完整性与创新性、数据处理是否规范、误差分析是否到位、书写表达是否清晰。鼓励学生进行自评与互评，在小组内评选“最佳测量师”“最严谨数据分析员”等，激发内在动机。八、教学反思与改进预设本节活动课若按常规讲授模式上，10分钟即可完成，但那样学生只是听了个“别人的数学”，并没有获得真正的活动经验。把课堂搬到操场，把时间交给学生，看似“浪费”了讲授时间，实则是把学习真正还给了学生。在实际教学中可能出现两类突出问题，需要提前预案。其一，天气因素导致影子无法测量。对此，课前应关注天气预报，适时调整上课时间；同时准备室内模拟方案，利用投影灯光制造影子。其二，小组活动中个别学生“搭便车”。对此，组内分工要明确到人——测量员、记录员、计算员、核对员、汇报员各司其职，教师巡视时重点观察每个学生的参与状态，必要时进行个别干预。此外，数据计算环节可能出现较大误差。教师应提醒学生使用计算器，并且注意单位统一。对于误差特别离谱的数据，教师不要简单否定，而应引导该小组回溯测量步骤，寻找造成错误的环节，把“错误”变成“教学资源”。从更长远的视角看，本节活动课的意义不仅在于解决一个测高问题，更在于让学生获得一种数学化的眼光——面对未知高度，不再茫然无措，而是自然而然想到“构造相似三角形”。这种数学思维方式一旦养成，将惠及学生一生的学习与生活。今后再教本课时，教师还可尝试引入信息技术手段，如用几何画板动态演示影子长度随太阳高度角的变化，进一步将数学、地