大一线性代数期末考试试题及详细参考答案

大一线性代数期末考试试题及详细参考答案适用专业：大一工科、经管类各专业考试时长：120分钟满分：100分考试说明：本试卷共五大题，题型涵盖基础计算、性质应用、综合解答与证明，无附加题，答案步骤完整、贴合日常解题规范。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）1.设三阶行列式$D$的元素均为整数，若将$D$的所有行、列互换得到行列式$D_1$，则$D_1-D=$（）A.$2D$B.$0$C.$-D$D.$D^2$2.设$A,B$均为二阶方阵，若$|A|=2，|B|=-3$，则$|2A^*B^{-1}|=$（）A.$-\dfrac{8}{3}$B.$\dfrac{8}{3}$C.$-\dfrac{4}{3}$D.$\dfrac{4}{3}$3.若$n$阶方阵$A$满足$A^2=A$，且$A$不是零矩阵，则下列结论一定成立的是（）A.$A$可逆B.$A$不可逆C.$r(A)\geq1$D.$r(A)=n$4.向量组$\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_s$线性无关的充要条件是（）A.任意两个向量线性无关B.不存在零向量C.任一向量都不能由其余向量线性表示D.向量组的秩小于向量个数5.非齐次线性方程组$Ax=b$有唯一解的充分必要条件是（）A.$r(A)=r(\overline{A})$B.$r(A)=r(\overline{A})=n$C.$r(A)=n$D.$r(A)=r(\overline{A})<n$6.三阶方阵$A$的特征值为$1,2,-1$，则$|A^2+E|=$（）A.$0$B.$6$C.$12$D.$24$7.下列矩阵中，一定是正交矩阵的是（）A.对称矩阵B.行列式为1的方阵C.列向量组标准正交的方阵D.可逆矩阵8.二次型$f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2-3x_3^2$的正惯性指数为（）A.$0$B.$1$C.$2$D.$3$二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）9.四阶行列式中，项$a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$的符号为________。10.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}$，则$A^T=$________。11.若向量组$\alpha_1=(1,2,3)^T,\alpha_2=(2,4,k)^T$线性相关，则$k=$________。12.齐次线性方程组$\begin{cases}x_1+x_2=0\\x_2-x_3=0\end{cases}$的基础解系所含解向量的个数为________。13.二阶方阵$A=\begin{pmatrix}2&1\\0&2\end{pmatrix}$的全部特征值为________。14.二次型$f(x_1,x_2)=x_1x_2$的矩阵为________。三、计算题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15.计算四阶行列式的值：D=16.设矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\2&2&1\\3&4&3\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。17.求向量组$\alpha_1=(1,-1,2,4)^T,\alpha_2=(0,3,1,2)^T,\alpha_3=(3,0,7,14)^T,\alpha_4=(1,-1,2,0)^T$的秩和一个极大线性无关组。四、综合解答题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）18.设有线性方程组：x讨论参数$a$的取值，判断方程组解的情况，有解时求出全部解。19.设矩阵$A=\begin{pmatrix}3&2\\2&3\end{pmatrix}$，求$A$的特征值与特征向量，并判断$A$是否可对角化，若可对角化，求出可逆矩阵$P$及对角矩阵$\Lambda$，使得$P^{-1}AP=\Lambda$。五、证明题（本大题共2小题，每小题7分，共14分）20.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，证明：向量组$\beta_1=\alpha_1+\alpha_2,\beta_2=\alpha_2+\alpha_3,\beta_3=\alpha_3+\alpha_1$也线性无关。21.设$A$为$n$阶可逆对称矩阵，证明：$A^{-1}$也是对称矩阵。详细参考答案及解析一、单项选择题（每题3分，共24分）1.B解析：行列式转置后值不变，即$D_1=D$，故$D_1-D=0$。2.A解析：$n$阶方阵满足$|A^*|=|A|^{n-1}$，$|kA|=k^n|A|$，$|B^{-1}|=\dfrac{1}{|B|}$。二阶矩阵：$|2A^*B^{-1}|=2^2\cdot|A^*|\cdot\dfrac{1}{|B|}=4\times2^1\times\left(-\dfrac{1}{3}\right)=-\dfrac{8}{3}$。3.C解析：$A\neqO$，则矩阵至少有一个非零元素，秩至少为1；$A^2=A$可得$|A|=0$或$|A|=1$，无法确定是否可逆。4.C解析：向量组线性无关的定义等价于：组中任意向量均不能由其余向量线性表示；A、B为必要不充分条件，D是线性相关的条件。5.B解析：非齐次线性方程组有唯一解的充要条件是系数矩阵秩=增广矩阵秩=未知数个数$n$。6.D解析：若$\lambda$是$A$的特征值，则$\lambda^2+1$是$A^2+E$的特征值。对应特征值：$1^2+1=2，2^2+1=5，(-1)^2+1=2$，故$|A^2+E|=2\times5\times2=24$。7.C解析：正交矩阵的定义：方阵的列（行）向量组为标准正交向量组；对称矩阵、可逆矩阵、行列式为1的矩阵不一定是正交矩阵。8.C解析：二次型正惯性指数为正平方项的个数，本题含$x_1^2、x_2^2$两个正项，故正惯性指数为2。二、填空题（每题3分，共18分）9.负（或$-$）解析：列标排列为$4,3,2,1$，逆序数$\tau=3+2+1=6$？修正：$\tau(4321)=6$为偶数？重新计算：四阶排列4321，逆序数：4后3个小数，3后2个，2后1个，共6，偶排列？纠正原题项：$a_{14}a_{23}a_{32}a_{41}$，行标自然序，列标4321，逆序数6，符号为正。正确答案：正（或$+$）10.$\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}$解析：矩阵转置即行列互换。11.$6$解析：两个向量线性相关则对应分量成比例，$\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{k}$，得$k=6$。12.$1$解析：未知数个数$n=3$，系数矩阵秩$r=2$，基础解系向量个数$n-r=1$。13.$2,2$解析：上三角矩阵特征值为主对角线元素，二重特征值2。14.$\begin{pmatrix}0&\dfrac{1}{2}\\\dfrac{1}{2}&0\end{pmatrix}$解析：二次型交叉项系数平分作为矩阵非对角元。三、计算题（每题8分，共24分）15.解：该行列式为四阶范德蒙德行列式，范德蒙德公式：D本题$x_1=1,x_2=2,x_3=3,x_4=4$，代入得：$D=(2-1)(3-1)(4-1)(3-2)(4-2)(4-3)$$=1\times2\times3\times1\times2\times1=12$综上，行列式值为$\boldsymbol{12}$。（8分）16.解：利用初等行变换求逆矩阵，构造增广矩阵$(A|E)$：(A|E)=行变换：$r_2-2r_1，r_3-3r_1$→$r_3-r_2$：→归一化：$r_3\times(-1)，r_2\div(-2)$→回代化简得：A（步骤完整，结果正确得8分）17.解：将向量按列构成矩阵，做初等行变换化简：A=(化简后得行阶梯形矩阵：→矩阵秩$r(A)=3$，故向量组的秩为3。极大线性无关组：$\boldsymbol{\alpha_1,\alpha_2,\alpha_4}$（答案不唯一）。（8分）四、综合解答题（每题10分，共20分）18.解：写出增广矩阵并化简：A（1）当$(a-1)(a-2)=0$时，即$a=1$或$a=2$：$a=1$时，第三行变为$0\\0\\0\\2$，矛盾，方程组无解；$a=2$时，第三行变为$0\\0\\0\\2$，矛盾，方程组无解；（2）当$a\neq1$且$a\neq2$时，$r(A)=r(\overline{A})=3=n$，方程组有唯一解。回代求解得：$x_3=\dfrac{2}{(a-1)(a-2)}，x_2=1-\dfrac{2}{a-2}，x_1=\dfrac{a}{a-2}$综上：$a=1$或$a=2$时无解；$a\neq1、a\neq2$时有唯一解（解如上）。（10分）19.解：（1）求特征值：特征方程$|\lambdaE-A|=0$|λE−A|=得特征值$\lambda_1=1，\lambda_2=5$。（2）求特征向量：当$\lambda_1=1$，代入$(E-A)x=0$，得基础解系$\xi_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$，对应全部特征向量：$k_1\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}(k_1\neq0)$；当$\lambda_2=5$，代入$(5E-A)x=0$，得基础解系$\xi_2=\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$，对应全部特征向量：$k_2\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}(k_2\neq0)$。（3）矩阵$A$有两个互异特征值，故$A$可对角化。取可逆矩阵$P=(\xi_1,\xi_2)=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$，对角矩阵$\Lambda=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix}$，满足$P^{-1}AP=\Lambda$。（10分）五、证明题（每题7分，共14分）20.证明：设$k_1\beta_1+k_2\beta_2+k_3\beta_3=0$，代入向量表达式：$k_1(\alpha_1+\alpha_2)+k_2(\alpha_2+\alpha_3)+k_3(\alpha_3+\alpha_1)=0$整理得：$(k_1+k_3)\alpha_1+(k_1+k_2)\alpha_2+(k_2+k_3)\alpha_3=0$由$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，得方程组：k解得唯一零解$k_1=k_2=k_3=0$，